Dans ce chapitre, tu apprends à lire, écrire, comparer et arrondir les nombres décimaux, puis à calculer avec eux : multiplier par 10 ou par 0,1, poser une addition, une soustraction, une multiplication ou une division. Chaque partie se termine par une méthode à retenir.
1. Le tableau de numération
Nombre décimal
Un nombre décimal est un nombre que l’on peut écrire avec une fraction décimale, c’est-à-dire une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000… Son écriture avec une virgule comprend deux parties : la partie entière (à gauche de la virgule) et la partie décimale (à droite).
Un nombre décimal est un nombre que l’on peut écrire avec une fraction décimale, c’est-à-dire une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000… Son écriture avec une virgule comprend deux parties : la partie entière (à gauche de la virgule) et la partie décimale (à droite).
| Partie entière | Partie décimale | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| unités de milliers | centaines | dizaines | unités | dixièmes | centièmes | millièmes |
| 4 | 5 | 0 | 7 | 3 | 8 | 2 |
Le nombre 4 507,382 dans le tableau : la virgule se place juste après le chiffre des unités.
Exemple
4 507,382 se lit « quatre mille cinq cent sept unités et trois cent quatre-vingt-deux millièmes ». Sa partie entière est 4 507 et sa partie décimale est 0,382.
4 507,382 se lit « quatre mille cinq cent sept unités et trois cent quatre-vingt-deux millièmes ». Sa partie entière est 4 507 et sa partie décimale est 0,382.
Ne pas confondre
Le chiffre des dizaines et le nombre de dizaines ne sont pas la même chose. Dans 4 507,382, le chiffre des dizaines est 0 mais il y a 450 dizaines en tout (4 507 unités, c’est 450 paquets de dix et il en reste 7).
Le chiffre des dizaines et le nombre de dizaines ne sont pas la même chose. Dans 4 507,382, le chiffre des dizaines est 0 mais il y a 450 dizaines en tout (4 507 unités, c’est 450 paquets de dix et il en reste 7).
2. Fractions décimales et écriture à virgule
À savoir par cœur
1 unité = 10 dixièmes = 100 centièmes = 1 000 millièmes. Un dixième vaut donc 110 = 0,1 ; un centième 1100 = 0,01 ; un millième 11000 = 0,001.
1 unité = 10 dixièmes = 100 centièmes = 1 000 millièmes. Un dixième vaut donc 110 = 0,1 ; un centième 1100 = 0,01 ; un millième 11000 = 0,001.
Passer d’une fraction décimale à l’écriture à virgule
Le nombre de zéros du dénominateur donne le nombre de chiffres après la virgule.
4710 = 4 + 710 = 4,7 · 253100 = 2 + 53100 = 2,53 · 71000 = 0,007.
Le nombre de zéros du dénominateur donne le nombre de chiffres après la virgule.
4710 = 4 + 710 = 4,7 · 253100 = 2 + 53100 = 2,53 · 71000 = 0,007.
Décomposer un nombre
6,25 = 6 + 210 + 5100 = 6 + 25100. Et 12,408 = 12 + 410 + 81000 (le chiffre des centièmes est 0).
6,25 = 6 + 210 + 5100 = 6 + 25100. Et 12,408 = 12 + 410 + 81000 (le chiffre des centièmes est 0).
3. Comparer, ranger, intercaler, encadrer
Vocabulaire
Comparer deux nombres, c’est dire lequel est le plus petit ou le plus grand, avec les symboles < (strictement inférieur), > (strictement supérieur), ≤ (inférieur ou égal) et ≥ (supérieur ou égal).
Ranger des nombres, c’est les écrire dans l’ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant.
Intercaler un nombre entre deux autres, c’est en trouver un compris entre les deux. Encadrer un nombre, c’est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand.
Comparer deux nombres, c’est dire lequel est le plus petit ou le plus grand, avec les symboles < (strictement inférieur), > (strictement supérieur), ≤ (inférieur ou égal) et ≥ (supérieur ou égal).
Ranger des nombres, c’est les écrire dans l’ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou décroissant.
Intercaler un nombre entre deux autres, c’est en trouver un compris entre les deux. Encadrer un nombre, c’est trouver un nombre plus petit et un nombre plus grand.
Comparer deux nombres décimaux
1) On compare les parties entières : la plus grande l’emporte. 2) Si elles sont égales, on compare les chiffres des dixièmes, puis des centièmes… 3) Pour s’y retrouver, on peut ajouter des zéros à droite de la partie décimale (cela ne change pas la valeur) afin d’avoir le même nombre de chiffres.
1) On compare les parties entières : la plus grande l’emporte. 2) Si elles sont égales, on compare les chiffres des dixièmes, puis des centièmes… 3) Pour s’y retrouver, on peut ajouter des zéros à droite de la partie décimale (cela ne change pas la valeur) afin d’avoir le même nombre de chiffres.
Exemple
Comparons 3,45 et 3,5. On écrit 3,5 = 3,50. Les parties entières sont égales ; aux dixièmes, 4 < 5. Donc 3,45 < 3,5.
Comparons 3,45 et 3,5. On écrit 3,5 = 3,50. Les parties entières sont égales ; aux dixièmes, 4 < 5. Donc 3,45 < 3,5.
Piège classique
3,45 n’est pas plus grand que 3,5 sous prétexte que 45 est plus grand que 5 ! Compare toujours chiffre par chiffre, en partant de la gauche.
3,45 n’est pas plus grand que 3,5 sous prétexte que 45 est plus grand que 5 ! Compare toujours chiffre par chiffre, en partant de la gauche.
Sur une droite graduée, plus un nombre est à droite, plus il est grand. Ici, A = 2,3 ; B = 2,75 et C = 3,1 :
Sur cette droite, une unité est partagée en 10 : chaque petite graduation vaut un dixième. B se place entre 2,7 et 2,8, au milieu.
4. Arrondir un nombre décimal
Arrondi
Arrondir un nombre, c’est donner le nombre le plus proche de lui qui a la précision demandée (à l’unité, au dixième, au centième…). On utilise le symbole ≈ (« est environ égal à »).
Arrondir un nombre, c’est donner le nombre le plus proche de lui qui a la précision demandée (à l’unité, au dixième, au centième…). On utilise le symbole ≈ (« est environ égal à »).
Règle de l’arrondi
On regarde le chiffre qui suit celui où l’on s’arrête. S’il est 0, 1, 2, 3 ou 4, on garde le chiffre ; s’il est 5, 6, 7, 8 ou 9, on l’augmente de 1. On supprime ensuite tout ce qui est à droite.
On regarde le chiffre qui suit celui où l’on s’arrête. S’il est 0, 1, 2, 3 ou 4, on garde le chiffre ; s’il est 5, 6, 7, 8 ou 9, on l’augmente de 1. On supprime ensuite tout ce qui est à droite.
Exemple avec 7,846
À l’unité : le chiffre suivant est 8, donc 7,846 ≈ 8. Au dixième : le chiffre suivant est 4, donc ≈ 7,8. Au centième : le chiffre suivant est 6, donc ≈ 7,85.
À l’unité : le chiffre suivant est 8, donc 7,846 ≈ 8. Au dixième : le chiffre suivant est 4, donc ≈ 7,8. Au centième : le chiffre suivant est 6, donc ≈ 7,85.
Valeur approchée
Si on coupe simplement les chiffres, on obtient la valeur approchée par défaut (troncature) ; si on augmente le dernier chiffre conservé, la valeur approchée par excès. Pour 8,372 au centième : par défaut 8,37 ; par excès 8,38.
Si on coupe simplement les chiffres, on obtient la valeur approchée par défaut (troncature) ; si on augmente le dernier chiffre conservé, la valeur approchée par excès. Pour 8,372 au centième : par défaut 8,37 ; par excès 8,38.
5. Ordres de grandeur
Ordre de grandeur
C’est un nombre simple, proche du nombre de départ, qui permet de prévoir rapidement le résultat d’un calcul.
C’est un nombre simple, proche du nombre de départ, qui permet de prévoir rapidement le résultat d’un calcul.
Vérifier un résultat avec un ordre de grandeur
Avant de calculer, on remplace chaque nombre par un nombre proche et facile. Après le calcul exact, on vérifie que le résultat est proche de la prévision.
Exemple : 19,8 × 5,1 ≈ 20 × 5 = 100. Si ta calculatrice affiche 1 009,8 ou 10,098, tu as fait une erreur de virgule.
Avant de calculer, on remplace chaque nombre par un nombre proche et facile. Après le calcul exact, on vérifie que le résultat est proche de la prévision.
Exemple : 19,8 × 5,1 ≈ 20 × 5 = 100. Si ta calculatrice affiche 1 009,8 ou 10,098, tu as fait une erreur de virgule.
6. Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000 (et par 0,1, 0,01, 0,001)
Par 10, 100, 1 000
Multiplier par 10, 100 ou 1 000 revient à décaler la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la droite ; diviser, de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche. On ajoute des zéros si nécessaire. Le nombre de rangs est le nombre de zéros de 10, 100 ou 1 000.
3,47 × 10 = 34,7 · 0,052 × 100 = 5,2 · 8,6 × 1 000 = 8 600 · 45,3 ÷ 10 = 4,53 · 7 ÷ 100 = 0,07.
Multiplier par 10, 100 ou 1 000 revient à décaler la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la droite ; diviser, de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche. On ajoute des zéros si nécessaire. Le nombre de rangs est le nombre de zéros de 10, 100 ou 1 000.
3,47 × 10 = 34,7 · 0,052 × 100 = 5,2 · 8,6 × 1 000 = 8 600 · 45,3 ÷ 10 = 4,53 · 7 ÷ 100 = 0,07.
Par 0,1, 0,01, 0,001
Multiplier par 0,1 revient à prendre le dixième du nombre, donc à diviser par 10. De même, × 0,01 = ÷ 100 et × 0,001 = ÷ 1 000. Exemples : 52 × 0,1 = 5,2 ; 480 × 0,01 = 4,8.
Multiplier par 0,1 revient à prendre le dixième du nombre, donc à diviser par 10. De même, × 0,01 = ÷ 100 et × 0,001 = ÷ 1 000. Exemples : 52 × 0,1 = 5,2 ; 480 × 0,01 = 4,8.
7. Calculer avec des nombres décimaux
Additionner ou soustraire
On pose l’opération en alignant les virgules (chiffre des unités sous chiffre des unités…) et on complète avec des zéros pour que les deux nombres aient autant de décimales. Puis on calcule comme avec des entiers et on place la virgule dans le résultat, juste en dessous des autres.
On pose l’opération en alignant les virgules (chiffre des unités sous chiffre des unités…) et on complète avec des zéros pour que les deux nombres aient autant de décimales. Puis on calcule comme avec des entiers et on place la virgule dans le résultat, juste en dessous des autres.
45,70 + 8,36 ------ 54,06
Multiplier
On multiplie sans tenir compte des virgules, puis on place la virgule : le résultat a autant de décimales que les deux facteurs réunis. 0,35 × 4,2 : 35 × 42 = 1 470 ; il y a 2 + 1 = 3 décimales, donc 0,35 × 4,2 = 1,470 = 1,47.
On multiplie sans tenir compte des virgules, puis on place la virgule : le résultat a autant de décimales que les deux facteurs réunis. 0,35 × 4,2 : 35 × 42 = 1 470 ; il y a 2 + 1 = 3 décimales, donc 0,35 × 4,2 = 1,470 = 1,47.
Diviser
Dans la division euclidienne de 587 par 12, on cherche le quotient entier q et le reste r tels que 587 = 12 × q + r avec r < 12 : ici q = 48 et r = 11, car 12 × 48 = 576 et 587 − 576 = 11. Pour obtenir un quotient décimal, on continue après la virgule : 7 ÷ 8 = 0,875 ou 45,6 ÷ 4 = 11,4.
Dans la division euclidienne de 587 par 12, on cherche le quotient entier q et le reste r tels que 587 = 12 × q + r avec r < 12 : ici q = 48 et r = 11, car 12 × 48 = 576 et 587 − 576 = 11. Pour obtenir un quotient décimal, on continue après la virgule : 7 ÷ 8 = 0,875 ou 45,6 ÷ 4 = 11,4.
8. Résoudre un problème
Les trois étapes
1) Comprendre : lire tout l’énoncé, repérer la question, les données utiles et leurs liens ; faire un schéma si cela aide. 2) Chercher : choisir les opérations utiles, essayer, recommencer si la piste échoue. 3) Répondre : poser les calculs avec les bonnes données, puis conclure par une phrase réponse avec l’unité.
1) Comprendre : lire tout l’énoncé, repérer la question, les données utiles et leurs liens ; faire un schéma si cela aide. 2) Chercher : choisir les opérations utiles, essayer, recommencer si la piste échoue. 3) Répondre : poser les calculs avec les bonnes données, puis conclure par une phrase réponse avec l’unité.
Exemple
Léa achète 3 cahiers à 2,35 € l’un et un stylo à 1,80 €. Elle paie avec un billet de 10 €. Combien lui rend-on ? — Prix des cahiers : 3 × 2,35 = 7,05 €. Total : 7,05 + 1,80 = 8,85 €. Monnaie : 10 − 8,85 = 1,15 €. On lui rend 1,15 €.
Léa achète 3 cahiers à 2,35 € l’un et un stylo à 1,80 €. Elle paie avec un billet de 10 €. Combien lui rend-on ? — Prix des cahiers : 3 × 2,35 = 7,05 €. Total : 7,05 + 1,80 = 8,85 €. Monnaie : 10 − 8,85 = 1,15 €. On lui rend 1,15 €.
À retenir
- Un nombre décimal s’écrit avec une partie entière et une partie décimale ; 1 unité = 10 dixièmes = 100 centièmes = 1 000 millièmes.
- Pour comparer, on regarde les chiffres de gauche à droite ; on peut ajouter des zéros à droite de la partie décimale.
- Pour arrondir, on regarde le chiffre suivant : 0 à 4 on garde, 5 à 9 on augmente.
- × 10, × 100, × 1 000 : virgule vers la droite ; ÷ 10, ÷ 100, ÷ 1 000 : virgule vers la gauche ; × 0,1 revient à ÷ 10.
- Pour poser une addition ou une soustraction, on aligne les virgules ; pour une multiplication, on compte les décimales des facteurs.
- Un problème se résout en trois étapes : comprendre, chercher, répondre par une phrase avec l’unité.