Exercices de maths 1ère : Produit scalaire

1 Produit scalaire en coordonnées ★★★

Calcule les produits scalaires suivants dans un repère orthonormé.

1. u⃗(3 ; −2) et v⃗(4 ; 5)
2. u⃗(−1 ; 6) et w⃗(2 ; 3)
3. a⃗(0 ; 7) et b⃗(5 ; −1)
4. c⃗(2 ; −4) et d⃗(−3 ; 1,5)

2 Avec la norme et l’angle ★★★

Deux vecteurs u⃗ et v⃗ vérifient ‖u⃗‖ = 5 et ‖v⃗‖ = 4. Calcule u⃗ · v⃗ lorsque l’angle θ entre eux vaut :

1. 60°
2. 90°
3. 120°
4. 0°
5. 180°
6. 45° (valeur exacte puis arrondie au centième)

3 Dans un carré ★★★

ABCD est un carré de côté 6 cm. Calcule, en justifiant avec des projetés orthogonaux :

1. AB⃗ · AC⃗
2. AB⃗ · AD⃗
3. AB⃗ · CD⃗
4. AC⃗ · BD⃗

4 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. Si u⃗ · v⃗ = 0, alors u⃗ = 0⃗ ou v⃗ = 0⃗.
2. u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗.
3. Si u⃗ · v⃗ > 0, l’angle entre u⃗ et v⃗ est aigu (vecteurs non nuls).
4. ‖u⃗ + v⃗‖ = ‖u⃗‖ + ‖v⃗‖ pour tous vecteurs.
5. u⃗ · u⃗ = ‖u⃗‖².

5 Orthogonaux ou non ? ★★★

Dans un repère orthonormé, les vecteurs suivants sont-ils orthogonaux ?

1. (2 ; −3) et (6 ; 4)
2. (5 ; 1) et (−1 ; 5)
3. (4 ; 3) et (3 ; 4)
4. (0 ; 3) et (5 ; 0)

6 Trouver un paramètre ★★★

Détermine le réel m pour que les vecteurs soient orthogonaux.

1. u⃗(m ; 3) et v⃗(4 ; −2)
2. u⃗(m ; −1) et v⃗(m ; 4)

7 Règles de calcul ★★★

On donne ‖u⃗‖ = 3, ‖v⃗‖ = 5 et u⃗ · v⃗ = −4. Calcule :

1. ‖u⃗ + v⃗‖²
2. ‖u⃗ − v⃗‖²
3. (2u⃗ + v⃗) · (u⃗ − v⃗)

8 Angle d’un triangle ★★★

Dans un repère orthonormé, on donne A(−1 ; 1), B(3 ; 2) et C(1 ; 5). Calcule l’angle ABC arrondi au dixième de degré.

9 Un triangle rectangle ? ★★★

Dans un repère orthonormé, on donne A(−2 ; 1), B(2 ; 3) et C(−3 ; 3).

1. Montre que le triangle ABC est rectangle en A.
2. Calcule son aire.
3. Détermine le centre et le rayon de son cercle circonscrit.

10 Al-Kashi : une longueur ★★★

Dans un triangle ABC, calcule BC (valeur exacte puis arrondie au centième).

1. AB = 7, AC = 5 et  = 60°
2. AB = 4, AC = 6 et  = 120°

11 Al-Kashi : les angles ★★★

Un triangle a pour côtés 5 cm, 6 cm et 7 cm. Calcule ses trois angles, arrondis au dixième de degré.

12 Théorème de la médiane ★★★

I est le milieu de [AB] avec AB = 8. Un point M vérifie MA = 5 et MB = 7. Calcule MI.

Puis, dans un triangle ABC avec BC = 10, AB = 7 et AC = 9, calcule la longueur de la médiane issue de A.

13 Produit scalaire avec les trois côtés ★★★

Dans un triangle ABC, AB = 5, AC = 8 et BC = 7.

1. Calcule AB⃗ · AC⃗.
2. En déduire la mesure de l’angle Â.

14 Équation à partir d’un vecteur normal ★★★

Dans un repère orthonormé, donne une équation cartésienne de la droite d passant par A(2 ; −1) et de vecteur normal n⃗(3 ; 4). Le point B(−2 ; 1) appartient-il à d ?

15 Droite perpendiculaire ★★★

Soit d la droite d’équation 2x − 5y + 1 = 0 et B(3 ; 4). Détermine une équation de la perpendiculaire à d passant par B.

16 Équation d’un cercle ★★★

Dans un repère orthonormé, soit le cercle (C) de centre Ω(2 ; −3) et de rayon 4.

1. Écris son équation.
2. Développe-la.
3. Les points A(2 ; 1) et B(5 ; 0) sont-ils sur (C) ?

17 Reconnaître un cercle ★★★

Pour chaque équation, dis si elle représente un cercle ; si oui, donne centre et rayon.

1. x² + y² − 6x + 2y − 6 = 0
2. x² + y² + 4x + 10 = 0
3. x² + y² − 2x + 4y + 5 = 0

18 Cercle de diamètre [AB] ★★★

Dans un repère orthonormé, A(−1 ; 2) et B(5 ; −2).

1. Détermine l’équation du cercle de diamètre [AB] avec MA⃗ · MB⃗ = 0.
2. Donne son centre et son rayon.
3. Le point C(4 ; 2) est-il sur ce cercle ?

19 Tangente à un cercle ★★★

Le cercle (C) a pour centre Ω(1 ; 2) et pour rayon 5. Le point A(4 ; 6) lui appartient-il ? Si oui, détermine une équation de la tangente à (C) en A.

20 Droite et cercle : intersection ★★★

Dans un repère orthonormé, détermine les points d’intersection du cercle d’équation x² + y² = 25 et de la droite d’équation y = x + 1.

21 Orthocentre ★★★

Dans un repère orthonormé, A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(2 ; 4). Détermine les équations des hauteurs issues de C et de A, puis les coordonnées de leur point commun H (l’orthocentre). Vérifie que H est sur la hauteur issue de B.

22 Lignes de niveau ★★★

Dans un repère orthonormé, détermine et reconnais l’ensemble des points M(x ; y) vérifiant :

1. MA² − MB² = 8 avec A(0 ; 0) et B(4 ; 0) ;
2. MA⃗ · MB⃗ = 5 avec A(−2 ; 0) et B(2 ; 0).

23 Travail d’une force ★★★

En physique, le travail d’une force constante F⃗ dont le point d’application se déplace de A à B est W = F⃗ · AB⃗ (en joules). Un remorqueur tire une barge avec une force de 120 N sur un déplacement de 15 m.

1. Calcule W si la force fait un angle de 30° avec le déplacement.
2. Même question avec un angle de 120° (la force freine).
3. Que vaut W si la force est perpendiculaire au déplacement ?

24 Loi du parallélogramme ★★★

ABCD est un parallélogramme.

1. Démontre que AC² + BD² = 2 (AB² + AD²).
2. Application : AB = 7, AD = 5 et AC = 10. Calcule BD.