Une pizza partagée, une recette, une réduction en magasin : les fractions et les pourcentages sont partout. Dans ce chapitre, tu apprends à lire une fraction, à la placer sur une droite, à la comparer, à calculer avec elle, puis à comprendre ce que veut dire « 25 % de réduction ».
1. Une fraction, c’est un partage
Fraction d’une unité
Quand on partage une unité en b parts égales et que l’on en prend a parts, on obtient la fraction ab. Le nombre du bas, le dénominateur b, dit en combien de parts égales on a partagé. Le nombre du haut, le numérateur a, dit combien de parts on prend.
Quand on partage une unité en b parts égales et que l’on en prend a parts, on obtient la fraction ab. Le nombre du bas, le dénominateur b, dit en combien de parts égales on a partagé. Le nombre du haut, le numérateur a, dit combien de parts on prend.
Ici, le rectangle est partagé en 6 parts égales et 4 sont colorées : la partie colorée représente 46 du rectangle.
Les parts doivent être égales : sinon on ne peut pas parler de sixièmes.
Noms à connaître
Dénominateur 2 : demi ; 3 : tiers ; 4 : quart ; 5 : cinquième ; 6 : sixième ; 10 : dixième ; 100 : centième. Ainsi 34 se lit « trois quarts » et 710 « sept dixièmes ».
Dénominateur 2 : demi ; 3 : tiers ; 4 : quart ; 5 : cinquième ; 6 : sixième ; 10 : dixième ; 100 : centième. Ainsi 34 se lit « trois quarts » et 710 « sept dixièmes ».
Exemple
Un jardinier plante des tulipes sur 25 de son massif. Le massif est partagé en 5 parts égales et 2 sont occupées par des tulipes. Les 3 autres parts représentent 35 du massif, car 25 + 35 = 55 = 1.
Un jardinier plante des tulipes sur 25 de son massif. Le massif est partagé en 5 parts égales et 2 sont occupées par des tulipes. Les 3 autres parts représentent 35 du massif, car 25 + 35 = 55 = 1.
Piège classique
Une fraction ne se lit pas comme deux nombres séparés ! 34 n’est pas « 3 et 4 » : c’est 3 fois un quart. Et un seul quart s’écrit 14.
Une fraction ne se lit pas comme deux nombres séparés ! 34 n’est pas « 3 et 4 » : c’est 3 fois un quart. Et un seul quart s’écrit 14.
2. Une fraction, c’est aussi un quotient
Quotient
Pour deux nombres a et b (avec b différent de 0), la fraction ab est le quotient de a par b : ab = a ÷ b. C’est le nombre qui, multiplié par b, redonne a : ab × b = a.
Pour deux nombres a et b (avec b différent de 0), la fraction ab est le quotient de a par b : ab = a ÷ b. C’est le nombre qui, multiplié par b, redonne a : ab × b = a.
Exemples
72 = 7 ÷ 2 = 3,5. 34 = 3 ÷ 4 = 0,75. 93 = 3. Et 51 = 5 : tout nombre entier est une fraction de dénominateur 1.
72 = 7 ÷ 2 = 3,5. 34 = 3 ÷ 4 = 0,75. 93 = 3. Et 51 = 5 : tout nombre entier est une fraction de dénominateur 1.
Pourquoi est-ce logique ? Partager 3 tartes entre 4 amis, c’est donner à chacun 34 de tarte. Mais c’est aussi faire 3 ÷ 4 = 0,75 : chacun reçoit les trois quarts d’une tarte.
Valeur exacte ou valeur approchée ?
13 = 1 ÷ 3 = 0,3333… : les chiffres 3 ne s’arrêtent jamais. On ne peut pas écrire 13 exactement avec une virgule. « 0,33 » n’est qu’une valeur approchée (0,33 × 3 = 0,99 et non 1). La fraction 13 est la seule écriture exacte.
13 = 1 ÷ 3 = 0,3333… : les chiffres 3 ne s’arrêtent jamais. On ne peut pas écrire 13 exactement avec une virgule. « 0,33 » n’est qu’une valeur approchée (0,33 × 3 = 0,99 et non 1). La fraction 13 est la seule écriture exacte.
3. Placer une fraction sur une demi-droite graduée
Lire ou placer une fraction
1) On regarde en combien de parts égales l’unité est partagée : c’est le dénominateur. 2) On compte les graduations depuis l’origine 0 : le numérateur donne le nombre de graduations à parcourir. 3) Quand le numérateur dépasse le dénominateur, on a dépassé 1.
1) On regarde en combien de parts égales l’unité est partagée : c’est le dénominateur. 2) On compte les graduations depuis l’origine 0 : le numérateur donne le nombre de graduations à parcourir. 3) Quand le numérateur dépasse le dénominateur, on a dépassé 1.
Ici, chaque unité est partagée en 4. Le point A est à 3 graduations de l’origine, B à 5 et C à 9.
A = 34 (avant 1) ; B = 54 (après 1) ; C = 94 (après 2).
Décomposer une fraction
Une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur se décompose en un entier plus une fraction inférieure à 1. Par exemple 94 = 84 + 14 = 2 + 14 : on est passé deux fois par 1 et on a avancé d’un quart de plus.
Une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur se décompose en un entier plus une fraction inférieure à 1. Par exemple 94 = 84 + 14 = 2 + 14 : on est passé deux fois par 1 et on a avancé d’un quart de plus.
Comment décomposer ?
On cherche combien de fois le dénominateur « rentre » dans le numérateur. 175 : 17 = 3 × 5 + 2, donc 175 = 3 + 25. Le quotient 3 est la partie entière, le reste 2 est le nouveau numérateur.
On cherche combien de fois le dénominateur « rentre » dans le numérateur. 175 : 17 = 3 × 5 + 2, donc 175 = 3 + 25. Le quotient 3 est la partie entière, le reste 2 est le nouveau numérateur.
Astuce
Pour transformer 3 + 25 en une seule fraction, fais l’inverse : 3 = 155, donc 3 + 25 = 175.
Pour transformer 3 + 25 en une seule fraction, fais l’inverse : 3 = 155, donc 3 + 25 = 175.
4. Prendre une fraction d’une quantité
Fraction d’une quantité
Prendre ab d’une quantité Q, c’est multiplier cette quantité par ab : ab de Q = ab × Q = (Q ÷ b) × a.
Prendre ab d’une quantité Q, c’est multiplier cette quantité par ab : ab de Q = ab × Q = (Q ÷ b) × a.
Méthode en deux temps
1) On divise la quantité par le dénominateur : on obtient la valeur d’une part. 2) On multiplie par le numérateur : on obtient la valeur de la fraction.
1) On divise la quantité par le dénominateur : on obtient la valeur d’une part. 2) On multiplie par le numérateur : on obtient la valeur de la fraction.
Exemple
Un sac contient 48 billes et 38 d’entre elles sont rouges. Une part vaut 48 ÷ 8 = 6 billes. Trois parts : 3 × 6 = 18. Il y a donc 18 billes rouges. Les autres billes sont au nombre de 48 − 18 = 30.
Un sac contient 48 billes et 38 d’entre elles sont rouges. Une part vaut 48 ÷ 8 = 6 billes. Trois parts : 3 × 6 = 18. Il y a donc 18 billes rouges. Les autres billes sont au nombre de 48 − 18 = 30.
Des fractions à connaître de tête
La moitié : ÷ 2. Le quart : ÷ 4. Le dixième : ÷ 10. Le tiers : ÷ 3. Les trois quarts : on prend le quart puis on le multiplie par 3.
La moitié : ÷ 2. Le quart : ÷ 4. Le dixième : ÷ 10. Le tiers : ÷ 3. Les trois quarts : on prend le quart puis on le multiplie par 3.
Avec le temps
Trois quarts d’heure : 60 ÷ 4 = 15 puis 3 × 15 = 45, donc 45 minutes. Deux tiers d’heure : 60 ÷ 3 = 20 puis 2 × 20 = 40 minutes.
Trois quarts d’heure : 60 ÷ 4 = 15 puis 3 × 15 = 45, donc 45 minutes. Deux tiers d’heure : 60 ÷ 3 = 20 puis 2 × 20 = 40 minutes.
5. Fractions égales et simplification
Quotients égaux
On ne change pas la valeur d’une fraction quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul, ni quand on les divise par un même nombre non nul.
On ne change pas la valeur d’une fraction quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul, ni quand on les divise par un même nombre non nul.
Exemples
On multiplie par 5 : 2 × 5 = 10 et 3 × 5 = 15, donc 23 = 1015. On divise par 6 : 18 ÷ 6 = 3 et 24 ÷ 6 = 4, donc 1824 = 34.
On multiplie par 5 : 2 × 5 = 10 et 3 × 5 = 15, donc 23 = 1015. On divise par 6 : 18 ÷ 6 = 3 et 24 ÷ 6 = 4, donc 1824 = 34.
Les dessins le montrent bien : la moitié d’une barre, c’est aussi deux quarts, ou quatre huitièmes.
12 = 24 = 48 : la partie colorée a toujours la même taille.
Simplifier une fraction
Simplifier, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre, le plus grand possible, pour obtenir une fraction plus petite. 3045 : on divise par 5 pour obtenir 69, puis par 3 pour obtenir 23. On pouvait aussi diviser directement par 15.
Simplifier, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre, le plus grand possible, pour obtenir une fraction plus petite. 3045 : on divise par 5 pour obtenir 69, puis par 3 pour obtenir 23. On pouvait aussi diviser directement par 15.
Attention
On multiplie (ou on divise) le haut et le bas par le même nombre. Ajouter le même nombre en haut et en bas change la valeur : 23 n’est pas égal à 45.
On multiplie (ou on divise) le haut et le bas par le même nombre. Ajouter le même nombre en haut et en bas change la valeur : 23 n’est pas égal à 45.
6. Comparer des fractions
Règles de comparaison
Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur : 79 est plus grand que 59.
Une fraction est inférieure à 1 si son numérateur est plus petit que son dénominateur, égale à 1 s’ils sont égaux, supérieure à 1 sinon.
Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur : 79 est plus grand que 59.
Une fraction est inférieure à 1 si son numérateur est plus petit que son dénominateur, égale à 1 s’ils sont égaux, supérieure à 1 sinon.
Comparer deux fractions de dénominateurs différents
1) On regarde si l’une est inférieure à 1 et l’autre supérieure à 1. 2) Sinon, on les écrit avec le même dénominateur grâce aux fractions égales, puis on compare les numérateurs.
1) On regarde si l’une est inférieure à 1 et l’autre supérieure à 1. 2) Sinon, on les écrit avec le même dénominateur grâce aux fractions égales, puis on compare les numérateurs.
Exemple
Comparons 35 et 710. On écrit 35 = 610. Comme 6 < 7, on a 610 < 710, donc 35 < 710. Et pour 98 et 79 ? La première est supérieure à 1, la seconde est inférieure à 1 : 98 > 79.
Comparons 35 et 710. On écrit 35 = 610. Comme 6 < 7, on a 610 < 710, donc 35 < 710. Et pour 98 et 79 ? La première est supérieure à 1, la seconde est inférieure à 1 : 98 > 79.
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« Pour ranger plusieurs fractions, cherche un dénominateur commun : c’est comme découper plusieurs barres de chocolat en parts de même taille ! »
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7. Additionner et soustraire des fractions de même dénominateur
Règle
Quand les dénominateurs sont les mêmes, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur. 37 + 27 = 57 et 95 − 45 = 55 = 1.
Quand les dénominateurs sont les mêmes, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur. 37 + 27 = 57 et 95 − 45 = 55 = 1.
Cela se comprend bien : 3 septièmes plus 2 septièmes, cela fait 5 septièmes, comme 3 pommes plus 2 pommes font 5 pommes.
Erreur à éviter
Le dénominateur ne s’additionne pas ! 14 + 14 = 24 = 12 et non 28. Deux quarts, ce n’est pas deux huitièmes.
Le dénominateur ne s’additionne pas ! 14 + 14 = 24 = 12 et non 28. Deux quarts, ce n’est pas deux huitièmes.
Avec un entier
Pour calculer 2 − 34, on écrit 2 = 84. Alors 2 − 34 = 84 − 34 = 54. De même 1 − 25 = 55 − 25 = 35.
Pour calculer 2 − 34, on écrit 2 = 84. Alors 2 − 34 = 84 − 34 = 54. De même 1 − 25 = 55 − 25 = 35.
8. Les pourcentages
Pourcentage
Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100. « 35 % » se lit « 35 pour cent » et veut dire 35100. Le symbole % remplace « sur 100 ».
Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100. « 35 % » se lit « 35 pour cent » et veut dire 35100. Le symbole % remplace « sur 100 ».
Quelques pourcentages à connaître
100 % = le tout (1) · 50 % = 12 = 0,5 · 25 % = 14 = 0,25 · 75 % = 34 = 0,75 · 10 % = 110 = 0,1 · 1 % = 1100 = 0,01.
100 % = le tout (1) · 50 % = 12 = 0,5 · 25 % = 14 = 0,25 · 75 % = 34 = 0,75 · 10 % = 110 = 0,1 · 1 % = 1100 = 0,01.
| Pourcentage | Fraction | Fraction simplifiée | Nombre décimal |
|---|---|---|---|
| 20 % | 20100 | 15 | 0,2 |
| 40 % | 40100 | 25 | 0,4 |
| 5 % | 5100 | 120 | 0,05 |
Calculer un pourcentage d’une quantité
Prendre 25 % d’une quantité, c’est prendre 25100 de cette quantité. On utilise les repères : 50 % = la moitié ; 25 % = le quart ; 10 % = diviser par 10 ; 1 % = diviser par 100.
Exemple : 20 % de 150 € = deux fois 10 % de 150 € = 2 × 15 = 30 €.
Prendre 25 % d’une quantité, c’est prendre 25100 de cette quantité. On utilise les repères : 50 % = la moitié ; 25 % = le quart ; 10 % = diviser par 10 ; 1 % = diviser par 100.
Exemple : 20 % de 150 € = deux fois 10 % de 150 € = 2 × 15 = 30 €.
Exprimer une proportion en pourcentage
On cherche la fraction égale de dénominateur 100. Dans un groupe de 20 élèves dont 7 jouent aux échecs : 720 = 35100 (on multiplie par 5), soit 35 %. Avec un tableau de proportionnalité :
On cherche la fraction égale de dénominateur 100. Dans un groupe de 20 élèves dont 7 jouent aux échecs : 720 = 35100 (on multiplie par 5), soit 35 %. Avec un tableau de proportionnalité :
| Élèves qui jouent aux échecs | 7 | 35 |
|---|---|---|
| Nombre total d’élèves | 20 | 100 |
Un exemple complet
Un jeu vidéo coûte 40 € et le vendeur propose 30 % de remise. 10 % de 40 € = 4 €, donc 30 % = 3 × 4 = 12 €. Le nouveau prix est 40 − 12 = 28 €.
Un jeu vidéo coûte 40 € et le vendeur propose 30 % de remise. 10 % de 40 € = 4 €, donc 30 % = 3 × 4 = 12 €. Le nouveau prix est 40 − 12 = 28 €.
Jamais plus de 100 %
Pour une partie d’un groupe, le pourcentage ne peut pas dépasser 100 % : 100 % veut dire « tout le groupe ». Si tu trouves 130 %, il y a une erreur.
Pour une partie d’un groupe, le pourcentage ne peut pas dépasser 100 % : 100 % veut dire « tout le groupe ». Si tu trouves 130 %, il y a une erreur.
À retenir
- ab : le dénominateur b dit en combien de parts égales on partage, le numérateur a dit combien on en prend.
- ab = a ÷ b : une fraction est un quotient ; 13 n’a pas d’écriture décimale exacte.
- Une fraction plus grande que 1 se décompose : 175 = 3 + 25.
- Prendre ab d’une quantité : on divise par b puis on multiplie par a.
- On ne change pas une fraction en multipliant ou divisant le haut et le bas par le même nombre.
- Pour comparer, on met au même dénominateur (ou on compare à 1) ; pour additionner, on garde le dénominateur et on additionne les numérateurs.
- Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : 50 % = 12, 25 % = 14, 10 % = 110.