Tous les jours, tu croises des tableaux, des graphiques et des diagrammes : résultats sportifs, météo, sondages, factures… Dans ce chapitre, tu apprends à recueillir, organiser, lire et représenter des données, puis à calculer une moyenne. À la fin, tu sauras choisir la représentation la mieux adaptée à chaque situation.
1. Mener une enquête et recueillir des données
Vocabulaire de l’enquêteLa population est l’ensemble des personnes ou des objets que l’on étudie. Le caractère est ce que l’on observe chez chacun (un sport pratiqué, une taille, un moyen de transport…). L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où elle apparaît. L’effectif total est le nombre d’individus de la population.
Réaliser une enquête1) Choisir la population à étudier. 2) Choisir le caractère et poser une question claire. 3) Interroger tout le monde et noter les réponses (par exemple avec des bâtons dans une liste). 4) Compter, puis ranger les résultats dans un tableau.
ExempleDans la 6ème B, qui compte 24 élèves, on demande à chacun quel sport il pratique en dehors du collège. La population est la classe (24 élèves), le caractère est le sport pratiqué. On trouve 8 footballeurs, 5 danseurs, 6 nageurs, 3 judokas et 2 joueurs de tennis. Vérification : 8 + 5 + 6 + 3 + 2 = 24, c’est bien l’effectif total.
Pense à vérifierQuand chaque élève donne une seule réponse, la somme des effectifs doit être égale à l’effectif total. Si ce n’est pas le cas, tu as oublié ou compté deux fois quelqu’un.
2. Organiser les données dans un tableau
Tableau simple et tableau à double entréeUn tableau simple classe les données selon un seul critère. Un tableau à double entrée les classe selon deux critères à la fois : un critère en lignes, l’autre en colonnes. Les cases de la dernière ligne et de la dernière colonne contiennent les totaux.
Tableau simple : les sports de la 6ème B.
| Sport | Football | Danse | Natation | Judo | Tennis | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | 5 | 6 | 3 | 2 | 24 |
Tableau à double entrée : le moyen de transport des 30 élèves de la 6ème A, selon qu’ils sont filles ou garçons.
| Bus | Vélo | À pied | Voiture | Total | |
|---|---|---|---|---|---|
| Filles | 7 | 3 | 4 | 2 | 16 |
| Garçons | 5 | 4 | 3 | 2 | 14 |
| Total | 12 | 7 | 7 | 4 | 30 |
Lire et compléter un tableau à double entréePour lire une case, on repère la ligne et la colonne. Pour compléter une case manquante, on utilise les totaux : un total de ligne ou de colonne est la somme de ses cases. Exemple : le nombre de garçons venant à vélo est 7 − 3 = 4, car 7 élèves viennent à vélo en tout, dont 3 filles.
Contrôle croiséLe total des totaux de lignes doit être égal au total des totaux de colonnes : ici 16 + 14 = 30 et 12 + 7 + 7 + 4 = 30. C’est un excellent moyen de repérer une erreur.
3. Le diagramme en bâtons
Diagramme en bâtonsDans un diagramme en bâtons, chaque valeur du caractère a un bâton (un trait ou un rectangle étroit). La hauteur du bâton représente l’effectif. Ce diagramme permet de comparer facilement les données.
ProportionnalitéLes hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux effectifs : un effectif deux fois plus grand donne un bâton deux fois plus haut. Il faut donc que l’axe vertical parte bien de 0 et que la graduation soit régulière.
Ici, 1 carreau vertical représente 2 élèves. Le bâton du football atteint 8 : 8 élèves pratiquent ce sport.
Construire un diagramme en bâtons1) Trace deux axes. 2) Choisis une échelle pour l’axe vertical, adaptée au plus grand effectif (par exemple 1 cm pour 2 élèves). 3) Calcule la hauteur de chaque bâton avec l’échelle. 4) Dessine les bâtons avec la même largeur et les mêmes écarts. 5) Écris les noms sous les bâtons et donne un titre au diagramme.
Calculer une hauteurAvec l’échelle 1 cm pour 2 élèves, le bâton de la natation (6 élèves) mesure 6 ÷ 2 = 3 cm, et celui du tennis (2 élèves) mesure 1 cm.
4. Le diagramme circulaire et semi-circulaire
Diagramme circulaireUn diagramme circulaire est un disque partagé en secteurs. Chaque secteur représente une valeur du caractère. Il montre la répartition des données dans l’ensemble. Dans un diagramme semi-circulaire, on utilise un demi-disque.
Proportionnalité des anglesLes mesures des angles des secteurs sont proportionnelles aux effectifs. Le disque entier mesure 360° et le demi-disque 180°. La somme des angles des secteurs est donc toujours égale à 360° (ou 180°).
Calculer les angles1) Divise 360° (ou 180°) par l’effectif total : tu obtiens l’angle qui représente un individu. 2) Multiplie cet angle par l’effectif de chaque valeur. 3) Vérifie que la somme fait 360° (ou 180°). 4) Trace les secteurs avec un rapporteur.
ExemplePour les 30 élèves de la 6ème A : 360° ÷ 30 = 12° par élève. Bus : 12 × 12° = 144° ; vélo : 7 × 12° = 84° ; à pied : 84° ; voiture : 4 × 12° = 48°. Vérification : 144° + 84° + 84° + 48° = 360°.
Le plus grand secteur est celui du bus : c’est le moyen de transport le plus utilisé.
Un demi-disqueÀ la cantine, 20 élèves choisissent un dessert. 180° ÷ 20 = 9° par élève. Fruit : 8 × 9° = 72° ; yaourt : 6 × 9° = 54° ; gâteau : 4 × 9° = 36° ; rien : 2 × 9° = 18°. Total : 72° + 54° + 36° + 18° = 180°.
Retrouver un effectifSi l’on connaît l’angle d’un secteur, on retrouve l’effectif : on divise l’angle par l’angle d’un individu. Un secteur de 84° avec 12° par élève correspond à 84 ÷ 12 = 7 élèves.
5. Le graphique (ou courbe)
Graphique cartésienUn graphique montre comment une grandeur évolue en fonction d’une autre : par exemple la température en fonction de l’heure, ou la taille d’une plante en fonction du temps. On place des points puis on les relie dans l’ordre. Chaque point est repéré par deux nombres : l’un lu sur l’axe horizontal, l’autre sur l’axe vertical.
Température relevée toutes les 2 heures, de 6 h à 20 h.
Lire un graphiquePour connaître la valeur verticale à une heure donnée, on part de l’heure sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à la courbe, puis on lit la valeur sur l’axe vertical. Sur la courbe ci-dessus, à 12 h il fait 16 °C. Pour savoir à quel moment une valeur est atteinte, on fait le chemin inverse : il fait 18 °C à 14 h.
Décrire l’évolutionQuand la courbe monte, la grandeur augmente ; quand elle descend, elle diminue ; quand elle est horizontale, elle ne change pas. Ici la température augmente de 6 h à 14 h (de 8 °C à 18 °C), puis elle diminue jusqu’à 20 h. Le maximum est 18 °C.
Attention à l’échelleRegarde toujours la graduation des deux axes avant de lire. Sur cette courbe, un carreau vertical vaut 2 °C et un carreau horizontal vaut 2 h. Une mauvaise échelle fausse la lecture.
6. Quelle représentation choisir ?
| Je veux… | Je choisis… |
|---|---|
| classer des données selon un ou deux critères | un tableau (simple ou à double entrée) |
| comparer des effectifs ou des quantités | un diagramme en bâtons |
| montrer la répartition d’un ensemble en parts | un diagramme circulaire ou semi-circulaire |
| suivre l’évolution d’une grandeur | un graphique (courbe) |
Mathbot te conseilleAvant de lire un diagramme, lis son titre, ses axes et ses unités. Une fois sur deux, l’erreur vient d’une unité mal lue, pas du calcul !
7. La moyenne simple
MoyenneLa moyenne d’une série de nombres est la valeur que l’on obtiendrait si toutes les valeurs étaient égales, avec le même total. Elle résume la série par un seul nombre.
Calculer une moyenne1) Additionne toutes les valeurs. 2) Divise la somme par le nombre de valeurs.
moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs
moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs
ExempleLéo a eu 12, 15, 9, 14 et 10 aux cinq derniers devoirs. Somme : 12 + 15 + 9 + 14 + 10 = 60. Il y a 5 notes : moyenne = 605 = 12. Sa moyenne est 12 sur 20.
Deux conséquences utilesLa moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série. Si l’on connaît la moyenne et le nombre de valeurs, on retrouve la somme : somme = moyenne × nombre de valeurs. Avec une moyenne de 12 sur 5 notes, la somme est 12 × 5 = 60.
Ne pas confondreLa moyenne n’est pas forcément l’une des valeurs de la série, et elle n’est pas non plus « la valeur du milieu ». Elle peut même être un nombre décimal : la moyenne de 3, 4 et 6 est 133 (environ 4,3).
8. Éviter les pièges de lecture
Les erreurs classiques1) Un axe qui ne commence pas à 0 : les bâtons ont l’air très différents alors qu’ils sont presque égaux. 2) Une graduation irrégulière. 3) Des unités oubliées. 4) Sur un diagramme circulaire, confondre l’angle (en degrés) et l’effectif : l’angle d’un secteur n’est pas le nombre d’individus ! Il faut le diviser par l’angle d’un individu.
Mon réflexe de vérificationAvant de répondre : titre, unités, graduation des axes, effectif total. Après avoir répondu : la réponse est-elle plausible ? Les effectifs additionnés donnent-ils bien le total ?
À retenir
- Une enquête porte sur une population et un caractère ; l’effectif d’une valeur est le nombre de fois où elle apparaît, la somme des effectifs est l’effectif total.
- Un tableau simple classe selon un critère, un tableau à double entrée selon deux critères ; les totaux permettent de compléter les cases manquantes.
- Dans un diagramme en bâtons, les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs, et l’axe vertical commence à 0.
- Dans un diagramme circulaire (360°) ou semi-circulaire (180°), les angles sont proportionnels aux effectifs : angle d’un individu = 360° ÷ effectif total.
- Un graphique (courbe) montre l’évolution d’une grandeur en fonction d’une autre ; on lit toujours les deux axes et leur échelle.
- Moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs.