Dans ce chapitre, tu apprends à construire le symétrique d’un point ou d’une figure, à repérer les axes de symétrie, puis à utiliser deux droites très utiles en géométrie : la médiatrice d’un segment et la bissectrice d’un angle. Tu auras besoin d’une règle, d’une équerre, d’un compas et d’un rapporteur.
1. Le symétrique d’un point
Symétrique d’un point par rapport à une droite
Soit (d) une droite et A un point qui n’est pas sur (d). Le symétrique de A par rapport à (d) est le point A′ tel que la droite (d) soit la médiatrice du segment [AA′] : (d) coupe [AA′] en son milieu et lui est perpendiculaire. La droite (d) s’appelle l’axe de symétrie.
Soit (d) une droite et A un point qui n’est pas sur (d). Le symétrique de A par rapport à (d) est le point A′ tel que la droite (d) soit la médiatrice du segment [AA′] : (d) coupe [AA′] en son milieu et lui est perpendiculaire. La droite (d) s’appelle l’axe de symétrie.
Le segment [AA′] est coupé en deux parties égales par l’axe (d), avec un angle droit. Les petits traits orange indiquent que les deux moitiés ont la même longueur.
Cas particulier
Si un point est sur l’axe, il est son propre symétrique. Et si A′ est le symétrique de A, alors A est le symétrique de A′ : on peut « revenir en arrière ».
Si un point est sur l’axe, il est son propre symétrique. Et si A′ est le symétrique de A, alors A est le symétrique de A′ : on peut « revenir en arrière ».
Construire le symétrique d’un point A avec la règle et l’équerre
1) Place l’équerre : un côté de l’angle droit sur l’axe (d), l’autre côté passant par A.
2) Trace la perpendiculaire à (d) passant par A. Elle coupe l’axe en un point H.
3) Mesure la distance AH avec la règle.
4) De l’autre côté de l’axe, sur la même perpendiculaire, place A′ tel que HA′ = AH.
Sur un quadrillage, on compte simplement les carreaux entre le point et l’axe, puis on les reporte de l’autre côté.
1) Place l’équerre : un côté de l’angle droit sur l’axe (d), l’autre côté passant par A.
2) Trace la perpendiculaire à (d) passant par A. Elle coupe l’axe en un point H.
3) Mesure la distance AH avec la règle.
4) De l’autre côté de l’axe, sur la même perpendiculaire, place A′ tel que HA′ = AH.
Sur un quadrillage, on compte simplement les carreaux entre le point et l’axe, puis on les reporte de l’autre côté.
Exemple
Un point M est à 2,5 cm de l’axe (d). Son symétrique M′ est de l’autre côté, lui aussi à 2,5 cm de l’axe. La distance MM′ vaut donc 2,5 + 2,5 = 5 cm.
Un point M est à 2,5 cm de l’axe (d). Son symétrique M′ est de l’autre côté, lui aussi à 2,5 cm de l’axe. La distance MM′ vaut donc 2,5 + 2,5 = 5 cm.
2. Le symétrique d’une figure
Symétrique d’une figure
Pour obtenir le symétrique d’une figure, on construit le symétrique de chacun de ses points. Pour un polygone, il suffit de construire les symétriques des sommets puis de les relier dans le même ordre.
Pour obtenir le symétrique d’une figure, on construit le symétrique de chacun de ses points. Pour un polygone, il suffit de construire les symétriques des sommets puis de les relier dans le même ordre.
Le triangle A′B′C′ est le symétrique du triangle ABC : on a construit A′, B′ et C′ un par un, puis on a relié les trois points.
Ce que la symétrie axiale conserve
Le symétrique d’une figure a la même forme et la même taille : la symétrie axiale conserve les longueurs, les mesures d’angles, les aires et le parallélisme. Un segment de 6 cm a pour symétrique un segment de 6 cm ; un angle de 40° a pour symétrique un angle de 40° ; le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon. Seul le sens de la figure change, comme dans un miroir.
Le symétrique d’une figure a la même forme et la même taille : la symétrie axiale conserve les longueurs, les mesures d’angles, les aires et le parallélisme. Un segment de 6 cm a pour symétrique un segment de 6 cm ; un angle de 40° a pour symétrique un angle de 40° ; le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon. Seul le sens de la figure change, comme dans un miroir.
Vérifier avec du papier calque
Décalque la première figure et l’axe, retourne le calque comme une page de livre en gardant l’axe en place : la figure décalquée doit tomber exactement sur la seconde. Tu peux aussi plier la feuille le long de l’axe.
Décalque la première figure et l’axe, retourne le calque comme une page de livre en gardant l’axe en place : la figure décalquée doit tomber exactement sur la seconde. Tu peux aussi plier la feuille le long de l’axe.
Piège
Un décalage (une translation) ou une rotation ne sont pas des symétries axiales. Une figure peut ressembler à l’autre sans être sa symétrique : vérifie toujours que les distances à l’axe sont égales de part et d’autre.
Un décalage (une translation) ou une rotation ne sont pas des symétries axiales. Une figure peut ressembler à l’autre sans être sa symétrique : vérifie toujours que les distances à l’axe sont égales de part et d’autre.
3. Les axes de symétrie d’une figure
Axe de symétrie d’une figure
Une droite est un axe de symétrie d’une figure si, en pliant le long de cette droite, les deux moitiés se superposent exactement. Autrement dit, le symétrique de la figure par rapport à cette droite est la figure elle-même.
Une droite est un axe de symétrie d’une figure si, en pliant le long de cette droite, les deux moitiés se superposent exactement. Autrement dit, le symétrique de la figure par rapport à cette droite est la figure elle-même.
Les droites orange sont les axes de symétrie de chaque figure.
À connaître
Le rectangle (non carré) a 2 axes ; le losange (non carré) a 2 axes ; le carré en a 4 ; le triangle équilatéral en a 3 ; le triangle isocèle (non équilatéral) en a 1 ; le cercle en a une infinité (toutes les droites qui passent par son centre). Un polygone régulier à n côtés a exactement n axes. Un parallélogramme quelconque n’en a aucun.
Le rectangle (non carré) a 2 axes ; le losange (non carré) a 2 axes ; le carré en a 4 ; le triangle équilatéral en a 3 ; le triangle isocèle (non équilatéral) en a 1 ; le cercle en a une infinité (toutes les droites qui passent par son centre). Un polygone régulier à n côtés a exactement n axes. Un parallélogramme quelconque n’en a aucun.
Astuce
Pour savoir si une droite est un axe de symétrie, choisis quelques sommets de la figure et regarde si leurs symétriques sont aussi des sommets de la figure.
Pour savoir si une droite est un axe de symétrie, choisis quelques sommets de la figure et regarde si leurs symétriques sont aussi des sommets de la figure.
4. La médiatrice d’un segment
Médiatrice
La médiatrice d’un segment est la droite qui est perpendiculaire au segment et qui passe par son milieu. C’est aussi l’axe de symétrie du segment : le symétrique d’une extrémité est l’autre extrémité.
La médiatrice d’un segment est la droite qui est perpendiculaire au segment et qui passe par son milieu. C’est aussi l’axe de symétrie du segment : le symétrique d’une extrémité est l’autre extrémité.
Le petit carré orange marque l’angle droit ; les traits simples montrent que I est le milieu ; les doubles traits montrent que MA = MB.
Propriété caractéristique
• Si un point est sur la médiatrice de [AB], alors il est à égale distance de A et de B.
• Réciproquement, si un point est à égale distance de A et de B, alors il est sur la médiatrice de [AB].
Ces deux phrases se résument ainsi : la médiatrice de [AB] est l’ensemble des points équidistants de A et de B.
• Si un point est sur la médiatrice de [AB], alors il est à égale distance de A et de B.
• Réciproquement, si un point est à égale distance de A et de B, alors il est sur la médiatrice de [AB].
Ces deux phrases se résument ainsi : la médiatrice de [AB] est l’ensemble des points équidistants de A et de B.
Exemple
AB = 9 cm et M est sur la médiatrice de [AB] avec MA = 6 cm. Alors MB = 6 cm aussi. Le périmètre du triangle MAB est 6 + 6 + 9 = 21 cm.
AB = 9 cm et M est sur la médiatrice de [AB] avec MA = 6 cm. Alors MB = 6 cm aussi. Le périmètre du triangle MAB est 6 + 6 + 9 = 21 cm.
Piège
La médiatrice ne passe pas par les extrémités A et B du segment : elle passe par son milieu. Un segment n’a qu’une seule médiatrice.
La médiatrice ne passe pas par les extrémités A et B du segment : elle passe par son milieu. Un segment n’a qu’une seule médiatrice.
5. Construire une médiatrice
Avec la règle graduée et l’équerre
1) Trace le segment [AB] et mesure-le. Calcule la moitié : par exemple 7 cm donne 3,5 cm.
2) Place le milieu I à 3,5 cm de A sur [AB].
3) Place l’équerre : un côté sur (AB), l’autre côté passant par I.
4) Trace la perpendiculaire à (AB) en I : c’est la médiatrice.
5) Code la figure : un angle droit en I et un même trait sur [AI] et [IB].
1) Trace le segment [AB] et mesure-le. Calcule la moitié : par exemple 7 cm donne 3,5 cm.
2) Place le milieu I à 3,5 cm de A sur [AB].
3) Place l’équerre : un côté sur (AB), l’autre côté passant par I.
4) Trace la perpendiculaire à (AB) en I : c’est la médiatrice.
5) Code la figure : un angle droit en I et un même trait sur [AI] et [IB].
Avec la règle non graduée et le compas
1) Ouvre ton compas d’un écartement strictement plus grand que la moitié de [AB].
2) Pointe sèche en A : trace un arc de cercle de part et d’autre du segment.
3) Sans changer l’écartement, pointe sèche en B : trace un second arc qui coupe le premier en deux points P et Q.
4) Trace la droite (PQ) : c’est la médiatrice de [AB].
1) Ouvre ton compas d’un écartement strictement plus grand que la moitié de [AB].
2) Pointe sèche en A : trace un arc de cercle de part et d’autre du segment.
3) Sans changer l’écartement, pointe sèche en B : trace un second arc qui coupe le premier en deux points P et Q.
4) Trace la droite (PQ) : c’est la médiatrice de [AB].
Les points P et Q sont chacun à égale distance de A et de B ; la droite (PQ) est donc la médiatrice. Elle coupe [AB] en son milieu I.
Pourquoi ça marche ?
P est à la même distance de A et de B (même écartement du compas), donc P est sur la médiatrice. Il en est de même pour Q. Une droite est déterminée par deux points : (PQ) est la médiatrice.
P est à la même distance de A et de B (même écartement du compas), donc P est sur la médiatrice. Il en est de même pour Q. Une droite est déterminée par deux points : (PQ) est la médiatrice.
6. Médiatrice et triangles particuliers
Triangle isocèle
Un triangle est isocèle s’il a deux côtés de même longueur. Le sommet commun à ces deux côtés est le sommet principal et le troisième côté est la base. Un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux.
Un triangle est isocèle s’il a deux côtés de même longueur. Le sommet commun à ces deux côtés est le sommet principal et le troisième côté est la base. Un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux.
Le triangle ABC est isocèle en A : l’axe de symétrie passe par A et il est la médiatrice de la base [BC].
Propriétés
• Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base passe par le sommet principal : c’est son axe de symétrie.
• Un triangle isocèle a deux angles égaux : les angles à la base. Réciproquement, un triangle qui a deux angles égaux est isocèle.
• Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux à 60° et trois axes de symétrie.
• Dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base passe par le sommet principal : c’est son axe de symétrie.
• Un triangle isocèle a deux angles égaux : les angles à la base. Réciproquement, un triangle qui a deux angles égaux est isocèle.
• Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux à 60° et trois axes de symétrie.
Exemple
Un triangle a deux angles de 70° et 40°. Le troisième mesure 180° − 70° − 40° = 70°. Il a deux angles égaux à 70° : il est isocèle et son sommet principal est celui de l’angle de 40°.
Un triangle a deux angles de 70° et 40°. Le troisième mesure 180° − 70° − 40° = 70°. Il a deux angles égaux à 70° : il est isocèle et son sommet principal est celui de l’angle de 40°.
Mathbot te dit
Pour construire un triangle isocèle, trace la base, puis sa médiatrice : n’importe quel point de cette droite (hors de la base) est un sommet principal possible. Et si tu fais un cerf-volant, la diagonale qui est l’axe de symétrie est la médiatrice de l’autre diagonale !
Pour construire un triangle isocèle, trace la base, puis sa médiatrice : n’importe quel point de cette droite (hors de la base) est un sommet principal possible. Et si tu fais un cerf-volant, la diagonale qui est l’axe de symétrie est la médiatrice de l’autre diagonale !
7. La bissectrice d’un angle
Bissectrice
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui a pour origine le sommet de l’angle et qui le partage en deux angles de même mesure. C’est aussi l’axe de symétrie de l’angle : elle échange les deux côtés.
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui a pour origine le sommet de l’angle et qui le partage en deux angles de même mesure. C’est aussi l’axe de symétrie de l’angle : elle échange les deux côtés.
La demi-droite [Oz) est la bissectrice de l’angle xOy : les deux petits arcs codés de la même façon indiquent que les deux angles sont égaux.
Calculer avec une bissectrice
Si [Oz) est la bissectrice de l’angle xOy, alors xOz = zOy = xOy ÷ 2. L’angle total est le double de chaque moitié.
Si [Oz) est la bissectrice de l’angle xOy, alors xOz = zOy = xOy ÷ 2. L’angle total est le double de chaque moitié.
Exemples
• xOy = 84° donc xOz = 84 ÷ 2 = 42°.
• La bissectrice d’un angle droit (90°) forme deux angles de 45°.
• Si xOz = 27° et [Oz) est la bissectrice, alors xOy = 27 × 2 = 54°.
• xOy = 84° donc xOz = 84 ÷ 2 = 42°.
• La bissectrice d’un angle droit (90°) forme deux angles de 45°.
• Si xOz = 27° et [Oz) est la bissectrice, alors xOy = 27 × 2 = 54°.
Piège
Une bissectrice est une demi-droite (elle part du sommet), alors qu’une médiatrice est une droite entière. Ne mélange pas les deux : la bissectrice coupe un angle en deux, la médiatrice coupe un segment en deux.
Une bissectrice est une demi-droite (elle part du sommet), alors qu’une médiatrice est une droite entière. Ne mélange pas les deux : la bissectrice coupe un angle en deux, la médiatrice coupe un segment en deux.
8. Construire une bissectrice
Avec le rapporteur
1) Mesure l’angle xOy, par exemple 64°.
2) Calcule la moitié : 64 ÷ 2 = 32°.
3) Place le zéro du rapporteur sur [Ox) et marque un point à 32°.
4) Trace la demi-droite [Oz) qui passe par ce point : c’est la bissectrice.
1) Mesure l’angle xOy, par exemple 64°.
2) Calcule la moitié : 64 ÷ 2 = 32°.
3) Place le zéro du rapporteur sur [Ox) et marque un point à 32°.
4) Trace la demi-droite [Oz) qui passe par ce point : c’est la bissectrice.
Avec la règle non graduée et le compas
1) Pointe sèche en O : trace un arc de cercle qui coupe [Ox) en M et [Oy) en N.
2) Pointe sèche en M : trace un arc à l’intérieur de l’angle.
3) Sans changer l’écartement, pointe sèche en N : trace un arc qui coupe le précédent en P.
4) Trace la demi-droite [OP) : c’est la bissectrice de l’angle xOy.
1) Pointe sèche en O : trace un arc de cercle qui coupe [Ox) en M et [Oy) en N.
2) Pointe sèche en M : trace un arc à l’intérieur de l’angle.
3) Sans changer l’écartement, pointe sèche en N : trace un arc qui coupe le précédent en P.
4) Trace la demi-droite [OP) : c’est la bissectrice de l’angle xOy.
OM = ON (même arc de centre O) et PM = PN (même écartement du compas) : la figure OMPN est symétrique par rapport à (OP).
Astuce
Pour que les deux arcs se croisent bien, prends un écartement assez grand (plus grand que la moitié de MN). Pour vérifier ton travail, mesure les deux demi-angles : ils doivent être égaux.
Pour que les deux arcs se croisent bien, prends un écartement assez grand (plus grand que la moitié de MN). Pour vérifier ton travail, mesure les deux demi-angles : ils doivent être égaux.
À retenir
- Le symétrique de A par rapport à (d) est le point A′ tel que (d) soit la médiatrice de [AA′].
- La symétrie axiale conserve longueurs, angles, aires et parallélisme.
- Un point de l’axe est son propre symétrique.
- Un axe de symétrie d’une figure : en pliant, les deux moitiés se superposent. Rectangle : 2 ; carré : 4 ; triangle équilatéral : 3 ; triangle isocèle : 1 ; polygone régulier à n côtés : n.
- La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire passant par son milieu ; ses points sont équidistants des extrémités.
- Médiatrice au compas : deux arcs de même rayon (plus grand que la moitié du segment) centrés sur les extrémités.
- Un triangle isocèle a deux côtés égaux et deux angles égaux ; il a un axe de symétrie.
- La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui le partage en deux angles égaux : chaque angle mesure la moitié de l’angle de départ.