Peindre un mur, remplir une piscine, calculer la durée d’un trajet : en 4ème, tu apprends à mesurer et à calculer avec des grandeurs. Au programme : les aires du parallélogramme, du triangle et du disque, le volume d’un prisme droit et d’un cylindre, les conversions d’unités, puis les grandeurs quotients (vitesse, débit). Une méthode claire accompagne chaque partie.
1. Rappels : périmètre et aire
Périmètre et aire
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour ; il s’exprime en unités de longueur (cm, m, km…). L’aire mesure la surface qu’elle occupe ; elle s’exprime en unités d’aire (cm², m², …).
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour ; il s’exprime en unités de longueur (cm, m, km…). L’aire mesure la surface qu’elle occupe ; elle s’exprime en unités d’aire (cm², m², …).
Formules déjà connues
Rectangle de longueur L et de largeur l : périmètre = 2 × (L + l) ; aire = L × l.
Carré de côté c : périmètre = 4 × c ; aire = c × c = c².
Cercle de rayon r (diamètre d = 2 × r) : périmètre = 2 × π × r = π × d ; aire du disque = π × r × r = π × r².
Rectangle de longueur L et de largeur l : périmètre = 2 × (L + l) ; aire = L × l.
Carré de côté c : périmètre = 4 × c ; aire = c × c = c².
Cercle de rayon r (diamètre d = 2 × r) : périmètre = 2 × π × r = π × d ; aire du disque = π × r × r = π × r².
Exemple
Un terrain rectangulaire de 30 m sur 12 m a pour périmètre 2 × (30 + 12) = 84 m et pour aire 30 × 12 = 360 m².
Un terrain rectangulaire de 30 m sur 12 m a pour périmètre 2 × (30 + 12) = 84 m et pour aire 30 × 12 = 360 m².
Piège
Un périmètre se mesure en m, une aire en m². Si tu écris « aire = 360 m », ton résultat est faux, même si le nombre est bon !
Un périmètre se mesure en m, une aire en m². Si tu écris « aire = 360 m », ton résultat est faux, même si le nombre est bon !
2. Aire d’un parallélogramme
Base et hauteur
Dans un parallélogramme, on choisit un côté comme base. La hauteur associée est le segment perpendiculaire à la base (ou à son prolongement) qui relie la base au côté opposé. Attention : la hauteur n’est pas un côté oblique du parallélogramme.
Dans un parallélogramme, on choisit un côté comme base. La hauteur associée est le segment perpendiculaire à la base (ou à son prolongement) qui relie la base au côté opposé. Attention : la hauteur n’est pas un côté oblique du parallélogramme.
Ici, la base mesure 9 cm et la hauteur correspondante 5 cm.
Aire d’un parallélogramme
Aire = base × hauteur. Pour un parallélogramme de base b et de hauteur h : A = b × h.
Aire = base × hauteur. Pour un parallélogramme de base b et de hauteur h : A = b × h.
Pourquoi ?
On découpe le petit triangle rectangle qui dépasse à gauche et on le recolle à droite : le parallélogramme devient un rectangle de longueur b et de largeur h. Les deux figures ont donc la même aire. Pour b = 9 cm et h = 5 cm : A = 9 × 5 = 45 cm².
On découpe le petit triangle rectangle qui dépasse à gauche et on le recolle à droite : le parallélogramme devient un rectangle de longueur b et de largeur h. Les deux figures ont donc la même aire. Pour b = 9 cm et h = 5 cm : A = 9 × 5 = 45 cm².
Astuce
Un parallélogramme possède deux bases possibles (deux couples base-hauteur). Les deux produits donnent la même aire. Si tu connais l’aire et une base, tu retrouves la hauteur : h = A ÷ b.
Un parallélogramme possède deux bases possibles (deux couples base-hauteur). Les deux produits donnent la même aire. Si tu connais l’aire et une base, tu retrouves la hauteur : h = A ÷ b.
3. Aire d’un triangle
Hauteur d’un triangle
La hauteur issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (la base). Dans un triangle obtus, elle peut tomber à l’extérieur du triangle.
La hauteur issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (la base). Dans un triangle obtus, elle peut tomber à l’extérieur du triangle.
Aire d’un triangle
A = b × h ÷ 2 (base fois hauteur, divisé par 2) ; autrement dit, l’aire du triangle est la moitié de celle d’un parallélogramme de même base et de même hauteur.
A = b × h ÷ 2 (base fois hauteur, divisé par 2) ; autrement dit, l’aire du triangle est la moitié de celle d’un parallélogramme de même base et de même hauteur.
Justification
Deux triangles identiques, assemblés (on en retourne un), forment un parallélogramme de base b et de hauteur h, d’aire b × h. Un seul triangle a donc pour aire (b × h) ÷ 2.
Deux triangles identiques, assemblés (on en retourne un), forment un parallélogramme de base b et de hauteur h, d’aire b × h. Un seul triangle a donc pour aire (b × h) ÷ 2.
Exemple
Pour la base BC = 12 cm et la hauteur AH = 7 cm : A = 12 × 7 ÷ 2 = 84 ÷ 2 = 42 cm².
Pour la base BC = 12 cm et la hauteur AH = 7 cm : A = 12 × 7 ÷ 2 = 84 ÷ 2 = 42 cm².
Pièges
1) N’oublie pas de diviser par 2. 2) La base et la hauteur doivent se correspondre : on ne multiplie pas un côté par une hauteur qui part d’un autre côté. 3) Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont une base et sa hauteur.
1) N’oublie pas de diviser par 2. 2) La base et la hauteur doivent se correspondre : on ne multiplie pas un côté par une hauteur qui part d’un autre côté. 3) Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont une base et sa hauteur.
4. Aire et périmètre d’un disque ; figures composées
Disque de rayon r
Périmètre du cercle : 2 × π × r. Aire du disque : π × r². Le nombre π vaut environ 3,14 (valeur à la calculatrice : 3,141 59…). On garde souvent la valeur exacte (exemple : 16π cm²) avant d’arrondir.
Périmètre du cercle : 2 × π × r. Aire du disque : π × r². Le nombre π vaut environ 3,14 (valeur à la calculatrice : 3,141 59…). On garde souvent la valeur exacte (exemple : 16π cm²) avant d’arrondir.
Exemple
Pour r = 4 cm : périmètre = 2 × π × 4 = 8π ≈ 25,1 cm ; aire = π × 4² = 16π ≈ 50,3 cm².
Pour r = 4 cm : périmètre = 2 × π × 4 = 8π ≈ 25,1 cm ; aire = π × 4² = 16π ≈ 50,3 cm².
Rayon ou diamètre ?
Si l’énoncé donne le diamètre, tu divises par 2 avant d’utiliser π × r². Autre erreur fréquente : si le rayon double, l’aire n’est pas doublée mais multipliée par 4 (puisque r² devient 4 r²).
Si l’énoncé donne le diamètre, tu divises par 2 avant d’utiliser π × r². Autre erreur fréquente : si le rayon double, l’aire n’est pas doublée mais multipliée par 4 (puisque r² devient 4 r²).
Aire d’une figure composée
On découpe la figure en morceaux connus (rectangles, triangles, disques ou demi-disques) puis on additionne leurs aires ; ou bien on enlève une partie à une grande figure (on soustrait). Exemple d’une pelouse carrée de 10 m de côté avec un bassin rond de rayon 2 m : aire de pelouse = 10 × 10 − π × 2² = 100 − 4π ≈ 87,4 m².
On découpe la figure en morceaux connus (rectangles, triangles, disques ou demi-disques) puis on additionne leurs aires ; ou bien on enlève une partie à une grande figure (on soustrait). Exemple d’une pelouse carrée de 10 m de côté avec un bassin rond de rayon 2 m : aire de pelouse = 10 × 10 − π × 2² = 100 − 4π ≈ 87,4 m².
Un rectangle prolongé par un demi-disque : on additionne l’aire du rectangle et la moitié de l’aire du disque.
5. Conversions d’unités
Longueurs
Chaque unité de longueur vaut 10 fois la suivante : 1 km = 1 000 m ; 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm. On utilise un tableau avec un seul chiffre par colonne.
Chaque unité de longueur vaut 10 fois la suivante : 1 km = 1 000 m ; 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm. On utilise un tableau avec un seul chiffre par colonne.
Aires
Une unité d’aire vaut 100 fois la suivante (car on multiplie deux longueurs, 10 × 10) : 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm². Dans le tableau, chaque unité occupe deux colonnes. À savoir : 1 ha (hectare) = 1 hm² = 10 000 m².
Une unité d’aire vaut 100 fois la suivante (car on multiplie deux longueurs, 10 × 10) : 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm². Dans le tableau, chaque unité occupe deux colonnes. À savoir : 1 ha (hectare) = 1 hm² = 10 000 m².
Exemple : 25 m² = 2 500 dm² = 250 000 cm² = 0,25 dam².
Volumes
Une unité de volume vaut 1 000 fois la suivante (10 × 10 × 10) : 1 m³ = 1 000 dm³ ; 1 dm³ = 1 000 cm³. Chaque unité occupe trois colonnes.
Une unité de volume vaut 1 000 fois la suivante (10 × 10 × 10) : 1 m³ = 1 000 dm³ ; 1 dm³ = 1 000 cm³. Chaque unité occupe trois colonnes.
| m³ | dm³ (= 1 L) | cm³ (= 1 mL) |
|---|---|---|
| 1 | 1 000 | 1 000 000 |
| 0,001 | 1 | 1 000 |
| 0,000 001 | 0,001 | 1 |
Capacités
1 L = 1 dm³ ; 1 mL = 1 cm³ ; 1 m³ = 1 000 L. De plus 1 L = 10 dL = 100 cL = 1 000 mL.
1 L = 1 dm³ ; 1 mL = 1 cm³ ; 1 m³ = 1 000 L. De plus 1 L = 10 dL = 100 cL = 1 000 mL.
| hL | daL | L | dL | cL | mL |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 5 | ||||
| 0 | 2 | 5 | 0 |
Le nombre 2,5 L = 25 dL = 250 cL ; et 0,25 L s’écrit 0,25 = 25 cL = 250 mL.
Exemples
3,6 m² = 360 dm² = 36 000 cm² · 5 400 cm² = 54 dm² · 0,8 m³ = 800 dm³ = 800 L · 12 500 mL = 12,5 L.
3,6 m² = 360 dm² = 36 000 cm² · 5 400 cm² = 54 dm² · 0,8 m³ = 800 dm³ = 800 L · 12 500 mL = 12,5 L.
Astuce Mathbot
Salut ! Pour ne pas te tromper de facteur : 1 pour les longueurs, 2 pour les aires, 3 pour les volumes. L’exposant de l’unité (m, m², m³) te donne le nombre de colonnes par unité.
Salut ! Pour ne pas te tromper de facteur : 1 pour les longueurs, 2 pour les aires, 3 pour les volumes. L’exposant de l’unité (m, m², m³) te donne le nombre de colonnes par unité.
6. Volume d’un prisme droit et d’un cylindre
Prisme droit et cylindre de révolution
Un prisme droit a deux bases identiques et parallèles (des polygones) reliées par des faces rectangulaires ; sa hauteur est la longueur des arêtes qui relient les deux bases. Un cylindre de révolution a deux bases qui sont des disques de même rayon, reliées par une surface courbe ; sa hauteur est la distance entre les deux bases. Le pavé droit est un prisme droit dont la base est un rectangle.
Un prisme droit a deux bases identiques et parallèles (des polygones) reliées par des faces rectangulaires ; sa hauteur est la longueur des arêtes qui relient les deux bases. Un cylindre de révolution a deux bases qui sont des disques de même rayon, reliées par une surface courbe ; sa hauteur est la distance entre les deux bases. Le pavé droit est un prisme droit dont la base est un rectangle.
Volume
Pour un prisme droit ou un cylindre de révolution, avec B l’aire d’une base et h la hauteur : V = B × h.
Pavé droit : V = L × l × h. Cylindre : V = π × r² × h.
Pour un prisme droit ou un cylindre de révolution, avec B l’aire d’une base et h la hauteur : V = B × h.
Pavé droit : V = L × l × h. Cylindre : V = π × r² × h.
Méthode
1) Je repère la base et je calcule son aire B. 2) Je mets toutes les longueurs dans la même unité. 3) Je calcule V = B × h. 4) Je donne l’unité : cm³, dm³, m³… puis je convertis en litres si on le demande.
1) Je repère la base et je calcule son aire B. 2) Je mets toutes les longueurs dans la même unité. 3) Je calcule V = B × h. 4) Je donne l’unité : cm³, dm³, m³… puis je convertis en litres si on le demande.
Exemple 1 : prisme droit
La base est un triangle rectangle de côtés de l’angle droit 6 cm et 5 cm : B = 6 × 5 ÷ 2 = 15 cm². La hauteur du prisme est 12 cm. V = 15 × 12 = 180 cm³.
La base est un triangle rectangle de côtés de l’angle droit 6 cm et 5 cm : B = 6 × 5 ÷ 2 = 15 cm². La hauteur du prisme est 12 cm. V = 15 × 12 = 180 cm³.
Exemple 2 : cylindre
Une boîte de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm : V = π × 3² × 10 = 90π ≈ 282,7 cm³ ≈ 0,28 L.
Une boîte de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm : V = π × 3² × 10 = 90π ≈ 282,7 cm³ ≈ 0,28 L.
Piège
Ne confonds pas la hauteur du prisme (entre les deux bases) avec la hauteur du triangle qui sert de base : ce sont deux longueurs différentes !
Ne confonds pas la hauteur du prisme (entre les deux bases) avec la hauteur du triangle qui sert de base : ce sont deux longueurs différentes !
7. Grandeurs quotients : la vitesse
Vitesse moyenne
La vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue par la durée du trajet : v = d ÷ t. On en déduit d = v × t et t = d ÷ v. Les unités s’écrivent avec « par » : km/h, m/s.
La vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue par la durée du trajet : v = d ÷ t. On en déduit d = v × t et t = d ÷ v. Les unités s’écrivent avec « par » : km/h, m/s.
Méthode
1) Mets la durée dans l’unité voulue (heures si la vitesse est en km/h). 2) Choisis la bonne formule. 3) Écris l’unité.
Durées : 1 h = 60 min = 3 600 s. 1 h 30 min = 1,5 h ; 20 min = 2060 h = 13 h ; 45 min = 0,75 h.
1) Mets la durée dans l’unité voulue (heures si la vitesse est en km/h). 2) Choisis la bonne formule. 3) Écris l’unité.
Durées : 1 h = 60 min = 3 600 s. 1 h 30 min = 1,5 h ; 20 min = 2060 h = 13 h ; 45 min = 0,75 h.
Exemple
Un cycliste parcourt 36 km en 1 h 30 min, soit 1,5 h. v = 36 ÷ 1,5 = 24 km/h. À cette vitesse, en 2 h 30 min (2,5 h), il fait 24 × 2,5 = 60 km.
Un cycliste parcourt 36 km en 1 h 30 min, soit 1,5 h. v = 36 ÷ 1,5 = 24 km/h. À cette vitesse, en 2 h 30 min (2,5 h), il fait 24 × 2,5 = 60 km.
km/h et m/s
1 m/s = 3,6 km/h. Pour passer de m/s à km/h : × 3,6. De km/h à m/s : ÷ 3,6. Exemple : 20 m/s = 72 km/h ; 54 km/h = 15 m/s.
1 m/s = 3,6 km/h. Pour passer de m/s à km/h : × 3,6. De km/h à m/s : ÷ 3,6. Exemple : 20 m/s = 72 km/h ; 54 km/h = 15 m/s.
Piège classique
1 h 30 min ne s’écrit pas 1,30 h ! Convertis les minutes en fraction d’heure : 30 min = 0,5 h. Et une vitesse moyenne sur deux parties n’est pas la moyenne des deux vitesses : on calcule toujours distance totale ÷ durée totale.
1 h 30 min ne s’écrit pas 1,30 h ! Convertis les minutes en fraction d’heure : 30 min = 0,5 h. Et une vitesse moyenne sur deux parties n’est pas la moyenne des deux vitesses : on calcule toujours distance totale ÷ durée totale.
8. Débit et autres grandeurs produits ou quotients
Débit
Le débit est le quotient d’un volume par une durée : D = V ÷ t, par exemple en L/min, m³/h, L/s. On en déduit V = D × t et t = V ÷ D.
Le débit est le quotient d’un volume par une durée : D = V ÷ t, par exemple en L/min, m³/h, L/s. On en déduit V = D × t et t = V ÷ D.
Exemple
Un robinet débite 8 L par minute. Pour remplir un bidon de 20 L : t = 20 ÷ 8 = 2,5 min, soit 2 min 30 s. En 1 h (60 min), il débite 8 × 60 = 480 L.
Un robinet débite 8 L par minute. Pour remplir un bidon de 20 L : t = 20 ÷ 8 = 2,5 min, soit 2 min 30 s. En 1 h (60 min), il débite 8 × 60 = 480 L.
D’autres grandeurs
Grandeurs quotients : consommation d’une voiture (L pour 100 km), masse volumique (g/cm³), densité de population (habitants/km²), prix au kilo (€/kg).
Grandeurs produits : énergie en kilowattheures (kWh) = puissance (kW) × durée (h) ; surface = longueur × largeur (m × m = m²).
Grandeurs quotients : consommation d’une voiture (L pour 100 km), masse volumique (g/cm³), densité de population (habitants/km²), prix au kilo (€/kg).
Grandeurs produits : énergie en kilowattheures (kWh) = puissance (kW) × durée (h) ; surface = longueur × largeur (m × m = m²).
Exemple
Un radiateur de 2 kW fonctionne 3 h : il consomme 2 × 3 = 6 kWh. Si le kWh coûte 0,20 €, la dépense est 6 × 0,20 = 1,20 €.
Un radiateur de 2 kW fonctionne 3 h : il consomme 2 × 3 = 6 kWh. Si le kWh coûte 0,20 €, la dépense est 6 × 0,20 = 1,20 €.
Astuce
Pour les problèmes mêlant volume et débit, convertis le volume en litres (1 dm³ = 1 L), puis divise par le débit. Vérifie toujours que les unités de temps sont les mêmes.
Pour les problèmes mêlant volume et débit, convertis le volume en litres (1 dm³ = 1 L), puis divise par le débit. Vérifie toujours que les unités de temps sont les mêmes.
À retenir
- Parallélogramme : A = b × h ; triangle : A = b × h ÷ 2 ; disque : A = π × r² et périmètre 2 × π × r.
- La hauteur est toujours perpendiculaire à la base choisie.
- Aires : 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² ; 1 ha = 10 000 m². Volumes : 1 m³ = 1 000 dm³ ; 1 dm³ = 1 L.
- Prisme droit et cylindre : V = B × h (cylindre : V = π × r² × h).
- Vitesse : v = d ÷ t ; 1 m/s = 3,6 km/h ; 1 h 30 min = 1,5 h.
- Débit : D = V ÷ t ; énergie : kWh = kW × h.
- Toujours écrire l’unité, et convertir avant de calculer.