Le théorème de Pythagore est l’un des plus célèbres des mathématiques : il relie les trois côtés d’un triangle rectangle. Pour bien l’utiliser, il faut d’abord maîtriser les carrés et les racines carrées. Dans ce chapitre, tu apprends à calculer une longueur manquante, puis à démontrer qu’un triangle est rectangle (ou qu’il ne l’est pas).
1. Rappels : triangle rectangle et carré
Vocabulaire du triangle rectangle
Un triangle rectangle possède un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse : c’est toujours le plus long côté. Les deux autres côtés sont les côtés de l’angle droit.
Un triangle rectangle possède un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse : c’est toujours le plus long côté. Les deux autres côtés sont les côtés de l’angle droit.
Le triangle ABC est rectangle en A : l’hypoténuse est [BC], face à l’angle droit.
Repérer l’hypoténuse
Cherche le sommet de l’angle droit : l’hypoténuse est le côté qui ne touche pas ce sommet. Si le triangle EFG est rectangle en F, l’hypoténuse est [EG].
Cherche le sommet de l’angle droit : l’hypoténuse est le côté qui ne touche pas ce sommet. Si le triangle EFG est rectangle en F, l’hypoténuse est [EG].
Carré d’un nombre
Le carré d’un nombre a est le nombre a × a ; on le note a². C’est l’aire d’un carré de côté a. Par exemple 5² = 5 × 5 = 25 et 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09.
Le carré d’un nombre a est le nombre a × a ; on le note a². C’est l’aire d’un carré de côté a. Par exemple 5² = 5 × 5 = 25 et 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09.
2. Carrés parfaits
Carré parfait
Un carré parfait est le carré d’un nombre entier. Voici les premiers :
Un carré parfait est le carré d’un nombre entier. Voici les premiers :
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 |
À connaître par cœur
Apprends au moins les carrés de 1 à 15 : tu les retrouveras sans cesse dans les calculs avec Pythagore (surtout 9, 16, 25, 36, 64, 100, 144 et 169).
Apprends au moins les carrés de 1 à 15 : tu les retrouveras sans cesse dans les calculs avec Pythagore (surtout 9, 16, 25, 36, 64, 100, 144 et 169).
Piège classique
a² ne veut pas dire a × 2 ! Par exemple 6² = 36 et non 12.
a² ne veut pas dire a × 2 ! Par exemple 6² = 36 et non 12.
3. Racine carrée d’un nombre positif
Racine carrée
La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif dont le carré est a. On la note √a. Elle représente la mesure du côté d’un carré d’aire a.
La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif dont le carré est a. On la note √a. Elle représente la mesure du côté d’un carré d’aire a.
Exemples
√49 = 7 car 7² = 49 · √0,25 = 0,5 car 0,5² = 0,25 · √0 = 0 · √1 = 1.
√49 = 7 car 7² = 49 · √0,25 = 0,5 car 0,5² = 0,25 · √0 = 0 · √1 = 1.
Propriétés (pour a positif)
(√a)² = a et √(a²) = a. Un carré n’est jamais négatif, donc on ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre négatif.
(√a)² = a et √(a²) = a. Un carré n’est jamais négatif, donc on ne peut pas calculer la racine carrée d’un nombre négatif.
Exemple
(√11)² = 11 ; √(9²) = 9 ; √(0,3²) = 0,3.
(√11)² = 11 ; √(9²) = 9 ; √(0,3²) = 0,3.
Quand a n’est pas un carré parfait, √a n’est pas un nombre entier. Sa valeur est alors une valeur approchée que l’on obtient avec la touche √ de la calculatrice. Par exemple, la calculatrice affiche pour √2 environ 1,414213562… et les chiffres continuent sans jamais se répéter régulièrement : on ne peut pas l’écrire exactement avec un nombre fini de décimales.
Encadrer une racine carrée
On cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui entourent le nombre. Pour √50 : 49 < 50 < 64, donc 7 < √50 < 8. Avec la calculatrice, √50 ≈ 7,07 (arrondi au centième).
On cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui entourent le nombre. Pour √50 : 49 < 50 < 64, donc 7 < √50 < 8. Avec la calculatrice, √50 ≈ 7,07 (arrondi au centième).
Attention
√9 + √16 = 3 + 4 = 7, mais √(9 + 16) = √25 = 5. La racine carrée d’une somme n’est pas la somme des racines carrées.
√9 + √16 = 3 + 4 = 7, mais √(9 + 16) = √25 = 5. La racine carrée d’une somme n’est pas la somme des racines carrées.
Mathbot
« Ma calculatrice me donne √2 ≈ 1,4142. Si je la mets au carré, je trouve 1,99996…, très proche de 2 mais pas exactement 2. C’est normal : mon résultat n’est qu’une valeur approchée ! »
« Ma calculatrice me donne √2 ≈ 1,4142. Si je la mets au carré, je trouve 1,99996…, très proche de 2 mais pas exactement 2. C’est normal : mon résultat n’est qu’une valeur approchée ! »
4. Le théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
Sur le triangle de côtés 3, 4 et 5, l’aire du carré de l’hypoténuse (25) est la somme des aires des deux autres carrés : 9 + 16 = 25.
Vérifier sur un exemple
Dans un triangle rectangle de côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm : 6² + 8² = 36 + 64 = 100 et 10² = 100. L’égalité est vraie.
Dans un triangle rectangle de côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm : 6² + 8² = 36 + 64 = 100 et 10² = 100. L’égalité est vraie.
Trois erreurs à éviter
1) Le théorème ne s’applique que dans un triangle rectangle. 2) Le carré le plus grand est celui de l’hypoténuse, il est seul d’un côté de l’égalité. 3) Il ne faut pas additionner les longueurs (6 + 8 ≠ 10) : on additionne les carrés.
1) Le théorème ne s’applique que dans un triangle rectangle. 2) Le carré le plus grand est celui de l’hypoténuse, il est seul d’un côté de l’égalité. 3) Il ne faut pas additionner les longueurs (6 + 8 ≠ 10) : on additionne les carrés.
5. Calculer la longueur de l’hypoténuse
Méthode
1) Faire (ou lire) la figure et repérer l’angle droit. 2) Écrire : « Le triangle … est rectangle en …, donc d’après le théorème de Pythagore : … ² = … ² + … ². » 3) Remplacer par les valeurs et calculer le carré de l’hypoténuse. 4) Prendre la racine carrée. 5) Conclure avec l’unité.
1) Faire (ou lire) la figure et repérer l’angle droit. 2) Écrire : « Le triangle … est rectangle en …, donc d’après le théorème de Pythagore : … ² = … ² + … ². » 3) Remplacer par les valeurs et calculer le carré de l’hypoténuse. 4) Prendre la racine carrée. 5) Conclure avec l’unité.
Exemple résolu
EFG est rectangle en E, donc d’après le théorème de Pythagore : FG² = EF² + EG² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. Donc FG = √225 = 15 cm.
EFG est rectangle en E, donc d’après le théorème de Pythagore : FG² = EF² + EG² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. Donc FG = √225 = 15 cm.
Quand le résultat n’est pas entier
Dans un triangle MNP rectangle en M avec MN = 3 cm et MP = 5 cm : NP² = 9 + 25 = 34, donc NP = √34 ≈ 5,83 cm (arrondi au centième).
Dans un triangle MNP rectangle en M avec MN = 3 cm et MP = 5 cm : NP² = 9 + 25 = 34, donc NP = √34 ≈ 5,83 cm (arrondi au centième).
6. Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit
Méthode
On écrit la même égalité, mais on isole le carré inconnu : si BC est l’hypoténuse et AB un côté connu, alors AC² = BC² − AB². On retranche toujours le plus petit carré au plus grand.
On écrit la même égalité, mais on isole le carré inconnu : si BC est l’hypoténuse et AB un côté connu, alors AC² = BC² − AB². On retranche toujours le plus petit carré au plus grand.
Exemple résolu
Le triangle RST est rectangle en S, avec RT = 17 cm et RS = 8 cm. D’après le théorème de Pythagore : RT² = RS² + ST², donc ST² = RT² − RS² = 289 − 64 = 225, d’où ST = √225 = 15 cm.
Le triangle RST est rectangle en S, avec RT = 17 cm et RS = 8 cm. D’après le théorème de Pythagore : RT² = RS² + ST², donc ST² = RT² − RS² = 289 − 64 = 225, d’où ST = √225 = 15 cm.
Contrôle de bon sens
L’hypoténuse est le plus long côté. Si tu trouves un côté de l’angle droit plus grand que l’hypoténuse, tu as additionné au lieu de soustraire.
L’hypoténuse est le plus long côté. Si tu trouves un côté de l’angle droit plus grand que l’hypoténuse, tu as additionné au lieu de soustraire.
Le théorème permet aussi de calculer des longueurs dans des figures courantes : la diagonale d’un rectangle, la diagonale d’un carré, la hauteur d’un triangle isocèle… à condition de repérer un triangle rectangle.
Diagonale d’un rectangle
ABCD est un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 6 cm. Le triangle ABC est rectangle en B, donc AC² = AB² + BC² = 64 + 36 = 100 et AC = 10 cm.
ABCD est un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 6 cm. Le triangle ABC est rectangle en B, donc AC² = AB² + BC² = 64 + 36 = 100 et AC = 10 cm.
7. La réciproque du théorème de Pythagore
Réciproque
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est le plus grand côté.
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est le plus grand côté.
Démontrer qu’un triangle est rectangle
1) Identifier le plus grand côté. 2) Calculer séparément son carré, puis la somme des carrés des deux autres côtés. 3) Comparer. Si les deux résultats sont égaux, conclure : « D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle … est rectangle en … » (le sommet de l’angle droit est celui qui est opposé au plus grand côté).
1) Identifier le plus grand côté. 2) Calculer séparément son carré, puis la somme des carrés des deux autres côtés. 3) Comparer. Si les deux résultats sont égaux, conclure : « D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle … est rectangle en … » (le sommet de l’angle droit est celui qui est opposé au plus grand côté).
Exemple résolu
Un triangle a pour côtés 7,5 cm ; 4,5 cm et 6 cm. Le plus grand côté mesure 7,5 cm. 7,5² = 56,25 et 4,5² + 6² = 20,25 + 36 = 56,25. Les deux résultats sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle ; son angle droit est opposé au côté de 7,5 cm.
Un triangle a pour côtés 7,5 cm ; 4,5 cm et 6 cm. Le plus grand côté mesure 7,5 cm. 7,5² = 56,25 et 4,5² + 6² = 20,25 + 36 = 56,25. Les deux résultats sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle ; son angle droit est opposé au côté de 7,5 cm.
Ne jamais écrire BC² = AB² + AC² avant de savoir !
Pour démontrer qu’un triangle est rectangle, on ne peut pas partir de l’égalité de Pythagore : c’est justement ce qu’on veut prouver. On calcule les deux côtés de l’égalité séparément, puis on compare.
Pour démontrer qu’un triangle est rectangle, on ne peut pas partir de l’égalité de Pythagore : c’est justement ce qu’on veut prouver. On calcule les deux côtés de l’égalité séparément, puis on compare.
8. Prouver qu’un triangle n’est pas rectangle
Contraposée du théorème de Pythagore
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.
Exemple résolu
Le triangle KLM a pour côtés KL = 9 cm, LM = 7 cm et MK = 6 cm. Le plus grand côté est [KL] : KL² = 81. LM² + MK² = 49 + 36 = 85. Comme 81 ≠ 85, le triangle KLM n’est pas rectangle (d’après la contraposée du théorème de Pythagore).
Le triangle KLM a pour côtés KL = 9 cm, LM = 7 cm et MK = 6 cm. Le plus grand côté est [KL] : KL² = 81. LM² + MK² = 49 + 36 = 85. Comme 81 ≠ 85, le triangle KLM n’est pas rectangle (d’après la contraposée du théorème de Pythagore).
Que dire de la somme ?
Ici 85 > 81 : le triangle est « plus pointu » qu’un triangle rectangle. Mais au collège, on conclut simplement qu’il n’est pas rectangle.
Ici 85 > 81 : le triangle est « plus pointu » qu’un triangle rectangle. Mais au collège, on conclut simplement qu’il n’est pas rectangle.
9. Rédiger et résoudre des problèmes
Quel théorème choisir ?
- Le triangle est rectangle et il manque une longueur : théorème de Pythagore.
- On connaît les trois longueurs et on se demande si l’angle est droit : réciproque (ou sa contraposée).
Dans un problème concret (échelle contre un mur, câble d’un mât, chemin en diagonale), on commence par dessiner un schéma, on repère le triangle rectangle, puis on applique la méthode et on termine par une phrase réponse avec l’unité.
Exemple
Une échelle de 4 m est posée contre un mur vertical, son pied à 1,6 m du mur. Le triangle formé par le mur, le sol et l’échelle est rectangle ; l’échelle est son hypoténuse. h² = 4² − 1,6² = 16 − 2,56 = 13,44 donc h = √13,44 ≈ 3,67. L’échelle atteint environ 3,67 m de hauteur.
Une échelle de 4 m est posée contre un mur vertical, son pied à 1,6 m du mur. Le triangle formé par le mur, le sol et l’échelle est rectangle ; l’échelle est son hypoténuse. h² = 4² − 1,6² = 16 − 2,56 = 13,44 donc h = √13,44 ≈ 3,67. L’échelle atteint environ 3,67 m de hauteur.
À retenir
- Le carré de a est a² = a × a ; la racine carrée √a est le nombre positif dont le carré vaut a ; (√a)² = a.
- Connais les carrés parfaits de 1 à 15 et encadre une racine carrée entre deux entiers.
- L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est le plus long côté.
- Théorème de Pythagore : dans un triangle ABC rectangle en A, BC² = AB² + AC².
- Hypoténuse : on additionne les carrés. Côté de l’angle droit : on soustrait au carré de l’hypoténuse. Puis on prend la racine carrée.
- Réciproque : si le carré du plus grand côté égale la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle. Sinon, il ne l’est pas.
- On rédige toujours : triangle rectangle en…, donc d’après le théorème de Pythagore…, calcul, conclusion avec l’unité.