Les lettres servent à écrire des calculs qui marchent pour tous les nombres à la fois. En 3ème, tu apprends à passer d’une écriture à une autre : développer (transformer un produit en somme) et factoriser (transformer une somme en produit). Ce sont les deux gestes de base du calcul littéral, indispensables pour résoudre des équations et démontrer des résultats.
1. Rappels : expressions littérales et distributivité
Une expression littérale contient une ou plusieurs lettres qui représentent des nombres. Pour calculer sa valeur, on remplace chaque lettre par un nombre. On rappelle les conventions : on n’écrit pas le signe × devant une lettre ou une parenthèse (3x veut dire 3 × x), et x² veut dire x × x.
Pour x = −2, l’expression 5x + 3 vaut 5 × (−2) + 3 = −10 + 3 = −7. L’expression x² vaut (−2)² = 4 et non −4 : on met les nombres négatifs entre parenthèses.
On sait aussi réduire une expression : on regroupe les termes de même nature. Par exemple 4x + 7 − x + 2 = 3x + 9, mais on ne peut pas additionner 3x et 5x² : ce ne sont pas des termes de même nature.
Pour tous nombres k, a et b :
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb
Lue de gauche à droite, c’est développer. Lue de droite à gauche, c’est factoriser.
2. Développer avec la distributivité simple
Développer, c’est transformer un produit en une somme (ou une différence). On multiplie le facteur placé devant la parenthèse par chaque terme de la parenthèse, sans oublier les signes.
- Repère le facteur devant la parenthèse (avec son signe).
- Multiplie-le par le premier terme, puis par le deuxième.
- Fais attention aux signes : (−) × (−) = (+) et (−) × (+) = (−).
- Réduis le résultat si c’est possible.
A = 6(x + 4) = 6 × x + 6 × 4 = 6x + 24
B = −3(2y − 5) = −3 × 2y − 3 × (−5) = −6y + 15
C = x(x + 7) = x × x + x × 7 = x² + 7x
D = 2x + 5(x − 3) = 2x + 5x − 15 = 7x − 15
Quand il y a un signe moins devant la parenthèse, il change le signe de tous les termes : −(x − 4) = −x + 4, et non −x − 4.
3. La double distributivité
Que faire quand on multiplie deux parenthèses ? On distribue chaque terme de la première parenthèse sur la seconde.
Pour tous nombres a, b, c, d :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
On obtient 4 produits : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
E = (2x + 3)(x − 5)
E = 2x × x + 2x × (−5) + 3 × x + 3 × (−5)
E = 2x² − 10x + 3x − 15
E = 2x² − 7x − 15
Pour ne rien oublier, compte tes produits : deux termes dans chaque parenthèse donnent toujours 4 produits avant la réduction. Écris-les tous, puis réduis seulement à la fin.
4. Les trois identités remarquables
Certains développements reviennent si souvent qu’on a intérêt à connaître le résultat par cœur. Ce sont les identités remarquables : des égalités vraies quelles que soient les valeurs de a et b.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
Démonstration. On développe avec la double distributivité : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². Pour la différence : (a − b)² = a² − ab − ba + b² = a² − 2ab + b². Enfin (a + b)(a − b) = a² − ab + ba − b² = a² − b² : les deux termes du milieu s’annulent.
On peut aussi « voir » la première identité. Un grand carré de côté a + b se découpe en un carré d’aire a², un carré d’aire b² et deux rectangles d’aire a × b.
(a + b)² n’est pas égal à a² + b². Il manque le double produit 2ab. Vérifie avec a = 3 et b = 1 : (3 + 1)² = 16, alors que 3² + 1² = 10.
5. Développer avec les identités remarquables
- Reconnais la forme : carré d’une somme, carré d’une différence, ou produit (somme)(différence).
- Identifie a et b : ce sont les « premier terme » et « second terme ».
- Applique la formule en mettant des parenthèses autour de a et de b quand ce sont des produits.
- Calcule chaque morceau (carrés, double produit) puis réduis.
(3x + 2)² : ici a = 3x et b = 2.
(3x + 2)² = (3x)² + 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² + 12x + 4
(5 − 4y)² = 5² − 2 × 5 × 4y + (4y)² = 25 − 40y + 16y²
(2x + 7)(2x − 7) = (2x)² − 7² = 4x² − 49
Les identités remarquables servent aussi avec des nombres : 52² = (50 + 2)² = 2500 + 200 + 4 = 2704, et 49 × 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499.
6. Factoriser avec un facteur commun
Factoriser une somme, c’est l’écrire sous la forme d’un produit. C’est le chemin inverse du développement : on « remet en facteur » ce qui est commun à tous les termes.
- Repère le facteur commun : un nombre, une lettre, ou même une parenthèse.
- Écris-le devant, puis ouvre une parenthèse.
- À l’intérieur, écris ce qui reste de chaque terme une fois le facteur enlevé.
- Vérifie en redéveloppant : tu dois retrouver l’expression de départ.
12x + 18 = 6 × 2x + 6 × 3 = 6(2x + 3)
x² − 5x = x × x − x × 5 = x(x − 5)
(x + 2)(3x − 1) + (x + 2)(x + 4) : le facteur commun est (x + 2).
= (x + 2)[(3x − 1) + (x + 4)] = (x + 2)(4x + 3)
Quand un terme est entièrement le facteur commun, il reste un 1 : 7x + 7 = 7(x + 1) et non 7(x). Autre cas : (x − 3)² + 2(x − 3) = (x − 3)(x − 3 + 2) = (x − 3)(x − 1).
7. Factoriser avec les identités remarquables
Quand il n’y a pas de facteur commun, on regarde si l’expression ressemble à une identité remarquable lue à l’envers.
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² − 2ab + b² = (a − b)²
a² − b² = (a + b)(a − b)
- Compte les termes. Une différence de deux carrés (deux termes) donne (a + b)(a − b).
- Avec trois termes, regarde si le premier et le dernier sont des carrés (a² et b²), puis vérifie que le terme du milieu vaut 2ab (au signe près).
- Le signe du terme du milieu donne le signe dans la parenthèse.
9x² − 25 = (3x)² − 5² = (3x + 5)(3x − 5)
x² + 14x + 49 : a = x, b = 7 et 2 × x × 7 = 14x. Donc = (x + 7)².
4y² − 12y + 9 : a = 2y, b = 3 et 2 × 2y × 3 = 12y. Donc = (2y − 3)².
(x + 1)² − 16 = (x + 1)² − 4² = (x + 1 − 4)(x + 1 + 4) = (x − 3)(x + 5)
Mathbot te conseille : « Après chaque factorisation, redéveloppe dans ta tête ou teste avec x = 1. Si les deux écritures donnent la même valeur, tu as de grandes chances d’avoir juste ! »
8. Démontrer une égalité et étudier un programme de calcul
Pour prouver qu’une égalité est vraie pour tous les nombres, tester quelques valeurs ne suffit pas. On développe (ou on factorise) pour montrer que les deux membres ont la même écriture réduite. À l’inverse, un seul contre-exemple suffit pour prouver qu’une égalité est fausse.
Programme : choisir un nombre, lui ajouter 5, élever le résultat au carré, puis retrancher 25.
Avec x comme nombre de départ : (x + 5)² − 25 = x² + 10x + 25 − 25 = x² + 10x = x(x + 10).
Conclusion : le programme revient à multiplier le nombre de départ par ce même nombre augmenté de 10. Test avec 3 : (3 + 5)² − 25 = 64 − 25 = 39 et 3 × 13 = 39.
La forme factorisée sert aussi à trouver quand un résultat est nul : un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul. Ici, x(x + 10) = 0 pour x = 0 ou x = −10.
- Écris le membre le plus compliqué.
- Développe et réduis (ou factorise).
- Compare avec l’autre membre et conclus par une phrase.
À retenir
- k(a + b) = ka + kb : développer va dans un sens, factoriser dans l’autre.
- (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd : quatre produits à écrire.
- (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
- Factoriser : chercher un facteur commun (nombre, lettre ou parenthèse), ou reconnaître une identité remarquable.
- Une différence de deux carrés se factorise toujours : a² − b² = (a + b)(a − b).
- Pour démontrer une égalité vraie pour tout nombre, on développe ; pour la réfuter, un contre-exemple suffit.
- Vérifie toujours une factorisation en redéveloppant, ou avec une valeur test.