Une température de −7 °C, un compte en banque à découvert, un plongeur à −20 m : certains nombres ont besoin d’un signe. Dans ce chapitre, tu apprends à repérer, comparer et calculer avec les nombres relatifs : additions, soustractions, multiplications, divisions, et expressions mélangeant tout cela.
1. Rappels : se repérer sur une droite graduée
Une droite graduée possède une origine (le point O, le nombre 0), un sens (la flèche) et une unité de longueur. Chaque point est repéré par un nombre appelé son abscisse. À droite de l’origine, les abscisses sont positives ; à gauche, elles sont négatives.
A a pour abscisse −3, B a pour abscisse 0,5 (une demi-graduation) et C a pour abscisse 3. On note A(−3), B(0,5), C(3).
2. Nombres relatifs, signe et distance à zéro
Nombre relatif
Un nombre relatif est un nombre positif ou négatif. Il s’écrit avec un signe (+ ou −) suivi d’une partie numérique. Le nombre 0 est à la fois positif et négatif : il n’a pas de signe.
Un nombre relatif est un nombre positif ou négatif. Il s’écrit avec un signe (+ ou −) suivi d’une partie numérique. Le nombre 0 est à la fois positif et négatif : il n’a pas de signe.
Distance à zéro
La partie numérique d’un nombre relatif s’appelle sa distance à zéro : c’est la distance entre le point qui le représente et l’origine de la droite graduée. Une distance n’est jamais négative.
La partie numérique d’un nombre relatif s’appelle sa distance à zéro : c’est la distance entre le point qui le représente et l’origine de la droite graduée. Une distance n’est jamais négative.
Exemples
Le nombre −6,4 est négatif et sa distance à zéro est 6,4. Le nombre +9 (que l’on écrit aussi 9) est positif et sa distance à zéro est 9.
Le nombre −6,4 est négatif et sa distance à zéro est 6,4. Le nombre +9 (que l’on écrit aussi 9) est positif et sa distance à zéro est 9.
Nombres opposés
Deux nombres sont opposés lorsqu’ils ont la même distance à zéro et des signes contraires. Sur la droite graduée, leurs points sont symétriques par rapport à l’origine. L’opposé de 0 est 0.
Deux nombres sont opposés lorsqu’ils ont la même distance à zéro et des signes contraires. Sur la droite graduée, leurs points sont symétriques par rapport à l’origine. L’opposé de 0 est 0.
Exemples
L’opposé de −2,5 est +2,5 ; l’opposé de 17 est −17. L’opposé de l’opposé d’un nombre est ce nombre lui-même.
L’opposé de −2,5 est +2,5 ; l’opposé de 17 est −17. L’opposé de l’opposé d’un nombre est ce nombre lui-même.
Piège
Un nombre écrit sans signe est positif. Mais attention : un nombre « négatif » n’est pas un nombre « sans valeur » ! −50 est très loin de 0, sa distance à zéro est grande.
Un nombre écrit sans signe est positif. Mais attention : un nombre « négatif » n’est pas un nombre « sans valeur » ! −50 est très loin de 0, sa distance à zéro est grande.
3. Comparer des nombres relatifs
Propriété
• Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif.
• Deux nombres positifs sont rangés dans l’ordre de leurs distances à zéro.
• Deux nombres négatifs sont rangés dans l’ordre inverse de leurs distances à zéro : le plus petit est celui qui est le plus loin de 0.
• Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif.
• Deux nombres positifs sont rangés dans l’ordre de leurs distances à zéro.
• Deux nombres négatifs sont rangés dans l’ordre inverse de leurs distances à zéro : le plus petit est celui qui est le plus loin de 0.
Exemples
−8 < 3 (négatif contre positif). 2,5 < 7 (deux positifs). −8 < −3, car 8 > 3 : le point d’abscisse −8 est plus à gauche que celui d’abscisse −3.
−8 < 3 (négatif contre positif). 2,5 < 7 (deux positifs). −8 < −3, car 8 > 3 : le point d’abscisse −8 est plus à gauche que celui d’abscisse −3.
Astuce
Pense à la température : −15 °C est plus froid que −5 °C. Plus un nombre négatif est « grand » en apparence, plus il est petit en réalité !
Pense à la température : −15 °C est plus froid que −5 °C. Plus un nombre négatif est « grand » en apparence, plus il est petit en réalité !
Piège
Pour comparer −2,4 et −2,41, on compare d’abord 2,4 et 2,41 : 2,4 < 2,41, donc, avec les signes inversés, −2,4 > −2,41.
Pour comparer −2,4 et −2,41, on compare d’abord 2,4 et 2,41 : 2,4 < 2,41, donc, avec les signes inversés, −2,4 > −2,41.
4. Additionner deux nombres relatifs
Additionner un nombre positif, c’est avancer sur la droite graduée ; additionner un nombre négatif, c’est reculer.
Départ en −3 ; on avance de 5 (on arrive en 2), puis on recule de 4 (on arrive en −2). Donc (−3) + (+5) + (−4) = −2.
Règle de l’addition
Même signe : on garde le signe commun et on additionne les distances à zéro.
Signes contraires : on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.
Même signe : on garde le signe commun et on additionne les distances à zéro.
Signes contraires : on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.
Exemples
(−7) + (−5) = −(7 + 5) = −12.
(−9) + (+4) = −(9 − 4) = −5, car 9 est plus grand que 4 et −9 est négatif.
(+3) + (−10) = −(10 − 3) = −7.
(−7) + (−5) = −(7 + 5) = −12.
(−9) + (+4) = −(9 − 4) = −5, car 9 est plus grand que 4 et −9 est négatif.
(+3) + (−10) = −(10 − 3) = −7.
Propriétés
• La somme de deux nombres opposés est nulle : (−6,5) + (+6,5) = 0.
• Ajouter 0 ne change rien. • On peut additionner dans n’importe quel ordre : a + b = b + a.
• La somme de deux nombres opposés est nulle : (−6,5) + (+6,5) = 0.
• Ajouter 0 ne change rien. • On peut additionner dans n’importe quel ordre : a + b = b + a.
5. Soustraire un nombre relatif
Règle de la soustraction
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé. Pour tous nombres a et b : a − b = a + (−b).
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé. Pour tous nombres a et b : a − b = a + (−b).
Exemples
(−2) − (−7) = (−2) + (+7) = +5.
(+4) − (+9) = (+4) + (−9) = −5.
(−3,5) − (+1,5) = (−3,5) + (−1,5) = −5.
(−2) − (−7) = (−2) + (+7) = +5.
(+4) − (+9) = (+4) + (−9) = −5.
(−3,5) − (+1,5) = (−3,5) + (−1,5) = −5.
Pourquoi ça marche ?
Mathbot, le robot-coach, t’explique : « Retirer une dette de 7 €, c’est comme recevoir 7 €. Donc soustraire −7 revient à ajouter +7 ! »
Mathbot, le robot-coach, t’explique : « Retirer une dette de 7 €, c’est comme recevoir 7 €. Donc soustraire −7 revient à ajouter +7 ! »
Piège
Dans (−2) − (−7), le premier signe « − » est une soustraction et le second est le signe du nombre −7. Ne les mélange pas.
Dans (−2) − (−7), le premier signe « − » est une soustraction et le second est le signe du nombre −7. Ne les mélange pas.
6. Suites d’additions et de soustractions : simplifier l’écriture
Méthode
1) On transforme chaque soustraction en addition de l’opposé. 2) On efface les signes « + » d’addition et les parenthèses : on n’écrit plus que les nombres avec leurs signes. 3) On calcule en regroupant, par exemple, tous les positifs d’un côté et tous les négatifs de l’autre.
1) On transforme chaque soustraction en addition de l’opposé. 2) On efface les signes « + » d’addition et les parenthèses : on n’écrit plus que les nombres avec leurs signes. 3) On calcule en regroupant, par exemple, tous les positifs d’un côté et tous les négatifs de l’autre.
Exemple
A = (+6) − (+11) + (−2) − (−9)
A = (+6) + (−11) + (−2) + (+9)
A = 6 − 11 − 2 + 9
A = (6 + 9) − (11 + 2) = 15 − 13 = 2.
A = (+6) − (+11) + (−2) − (−9)
A = (+6) + (−11) + (−2) + (+9)
A = 6 − 11 − 2 + 9
A = (6 + 9) − (11 + 2) = 15 − 13 = 2.
Attention au sens du signe
Dans l’écriture simplifiée 6 − 11 − 2 + 9, chaque signe « − » est le signe du nombre qui le suit : on additionne les nombres −11 et −2.
Dans l’écriture simplifiée 6 − 11 − 2 + 9, chaque signe « − » est le signe du nombre qui le suit : on additionne les nombres −11 et −2.
7. Multiplier deux nombres relatifs
Règle des signes pour le produit
Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs distances à zéro et on détermine le signe :
• deux nombres de même signe ont un produit positif ;
• deux nombres de signes contraires ont un produit négatif.
Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs distances à zéro et on détermine le signe :
• deux nombres de même signe ont un produit positif ;
• deux nombres de signes contraires ont un produit négatif.
| Règle des signes | + | − |
|---|---|---|
| + | + | − |
| − | − | + |
Pour un produit ou un quotient : deux signes identiques donnent +, deux signes différents donnent −.
Exemples
(−6) × (−4) = +24 · (+5) × (−3) = −15 · (−0,5) × 8 = −4 · 0 × (−12) = 0.
(−6) × (−4) = +24 · (+5) × (−3) = −15 · (−0,5) × 8 = −4 · 0 × (−12) = 0.
Une justification
(+4) × (−3) c’est trois fois de suite « −3 » ajouté quatre fois : (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = −12. Quant à (−4) × (−3), on sait que (−4) × 3 = −12 ; en remplaçant 3 par son opposé −3, le résultat devient l’opposé de −12, soit +12.
(+4) × (−3) c’est trois fois de suite « −3 » ajouté quatre fois : (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = −12. Quant à (−4) × (−3), on sait que (−4) × 3 = −12 ; en remplaçant 3 par son opposé −3, le résultat devient l’opposé de −12, soit +12.
Produit de plusieurs facteurs
Un produit de plusieurs nombres relatifs non nuls est positif s’il y a un nombre pair de facteurs négatifs, et négatif s’il y en a un nombre impair. Si un facteur est nul, le produit est nul.
Un produit de plusieurs nombres relatifs non nuls est positif s’il y a un nombre pair de facteurs négatifs, et négatif s’il y en a un nombre impair. Si un facteur est nul, le produit est nul.
Exemple
P = (−2) × 5 × (−3) × (−4) : il y a 3 facteurs négatifs (impair) donc P est négatif. P = −(2 × 5 × 3 × 4) = −120.
P = (−2) × 5 × (−3) × (−4) : il y a 3 facteurs négatifs (impair) donc P est négatif. P = −(2 × 5 × 3 × 4) = −120.
8. Diviser deux nombres relatifs
Règle de la division
Pour diviser un nombre relatif par un nombre relatif non nul, on divise les distances à zéro et on applique la même règle des signes que pour le produit. On ne divise jamais par 0.
Pour diviser un nombre relatif par un nombre relatif non nul, on divise les distances à zéro et on applique la même règle des signes que pour le produit. On ne divise jamais par 0.
Exemples
(−48) ÷ (−6) = +8 · 35 ÷ (−5) = −7 · (−9) ÷ 4 = −2,25 · 0 ÷ (−3) = 0.
(−48) ÷ (−6) = +8 · 35 ÷ (−5) = −7 · (−9) ÷ 4 = −2,25 · 0 ÷ (−3) = 0.
Vérifier un quotient
Si (−48) ÷ (−6) = 8, alors on doit retrouver (−6) × 8 = −48. Le signe est le bon quand cette multiplication marche.
Si (−48) ÷ (−6) = 8, alors on doit retrouver (−6) × 8 = −48. Le signe est le bon quand cette multiplication marche.
9. Calculer une expression avec les quatre opérations
Priorités
1) On calcule d’abord ce qui est entre parenthèses. 2) Puis les multiplications et divisions, de gauche à droite. 3) Enfin les additions et soustractions, de gauche à droite. On écrit un calcul par ligne.
1) On calcule d’abord ce qui est entre parenthèses. 2) Puis les multiplications et divisions, de gauche à droite. 3) Enfin les additions et soustractions, de gauche à droite. On écrit un calcul par ligne.
Exemple
B = 4 − 3 × (−5) + (2 − 9) × 2
B = 4 − (−15) + (−7) × 2
B = 4 + 15 + (−14)
B = 19 − 14 = 5.
B = 4 − 3 × (−5) + (2 − 9) × 2
B = 4 − (−15) + (−7) × 2
B = 4 + 15 + (−14)
B = 19 − 14 = 5.
Piège
Dans 4 − 3 × (−5), on calcule le produit avant de soustraire. Écrire (4 − 3) × (−5) = −5 serait faux : il n’y a pas de parenthèses autour de 4 − 3.
Dans 4 − 3 × (−5), on calcule le produit avant de soustraire. Écrire (4 − 3) × (−5) = −5 serait faux : il n’y a pas de parenthèses autour de 4 − 3.
À retenir
- Un nombre relatif a un signe (+ ou −) et une distance à zéro ; deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires.
- Un négatif est inférieur à un positif ; entre deux négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.
- Addition : même signe, on additionne les distances et on garde le signe ; signes contraires, on soustrait et on garde le signe de la plus grande distance.
- Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé : a − b = a + (−b).
- Produit et quotient : même signe, résultat positif ; signes contraires, résultat négatif. Pour un produit, tout dépend de la parité du nombre de facteurs négatifs.
- On respecte les priorités : parenthèses, puis × et ÷, puis + et −.