Comment dire où se trouve un point ? Sur une droite, sur une feuille, sur une carte, sur la Terre entière ou à l’intérieur d’un solide, on utilise toujours la même idée : donner des nombres qui repèrent le point. Dans ce chapitre de 3ème, tu calcules avec des coordonnées (milieu, distance), tu te repères sur le globe avec la latitude et la longitude, tu découvres les sections de solides par un plan et tu retrouves ce que devient un solide quand on l’agrandit ou le réduit.
1. Rappels : repérer sur une droite graduée
Abscisse
Sur une droite graduée d’origine O, chaque point est repéré par un nombre relatif appelé son abscisse. Elle est positive si le point est du côté du sens de la flèche, négative sinon. On écrit A(−2,5) pour dire que A a pour abscisse −2,5.
Sur une droite graduée d’origine O, chaque point est repéré par un nombre relatif appelé son abscisse. Elle est positive si le point est du côté du sens de la flèche, négative sinon. On écrit A(−2,5) pour dire que A a pour abscisse −2,5.
Distance entre deux points d’une droite graduée
Si A a pour abscisse xA et B pour abscisse xB, alors AB = |xB − xA| : on soustrait la plus petite abscisse à la plus grande. Le milieu de [AB] a pour abscisse xA+xB2.
Si A a pour abscisse xA et B pour abscisse xB, alors AB = |xB − xA| : on soustrait la plus petite abscisse à la plus grande. Le milieu de [AB] a pour abscisse xA+xB2.
Exemple
A(−3) et B(5,5) : AB = 5,5 − (−3) = 5,5 + 3 = 8,5. Le milieu M a pour abscisse (−3 + 5,5) ÷ 2 = 2,5 ÷ 2 = 1,25.
A(−3) et B(5,5) : AB = 5,5 − (−3) = 5,5 + 3 = 8,5. Le milieu M a pour abscisse (−3 + 5,5) ÷ 2 = 2,5 ÷ 2 = 1,25.
2. Coordonnées dans un repère orthonormé
Repère orthonormé
Un repère orthonormé du plan est formé de deux axes gradués perpendiculaires qui se coupent en O (l’origine) et qui ont la même unité de longueur. L’axe horizontal est l’axe des abscisses, l’axe vertical est l’axe des ordonnées. Un point M est repéré par son couple de coordonnées (x ; y), toujours dans cet ordre : abscisse d’abord, ordonnée ensuite. On note M(x ; y).
Un repère orthonormé du plan est formé de deux axes gradués perpendiculaires qui se coupent en O (l’origine) et qui ont la même unité de longueur. L’axe horizontal est l’axe des abscisses, l’axe vertical est l’axe des ordonnées. Un point M est repéré par son couple de coordonnées (x ; y), toujours dans cet ordre : abscisse d’abord, ordonnée ensuite. On note M(x ; y).
Ici : A(3 ; 2), B(−2 ; 3), C(−4 ; −2) et D(2 ; −3).
Lire ou placer un point
Pour lire les coordonnées : depuis le point, on descend (ou on monte) jusqu’à l’axe horizontal pour lire l’abscisse, puis on va horizontalement jusqu’à l’axe vertical pour lire l’ordonnée. Pour placer M(−2 ; 3) : on part de O, on se déplace de 2 vers la gauche (abscisse négative), puis de 3 vers le haut (ordonnée positive).
Pour lire les coordonnées : depuis le point, on descend (ou on monte) jusqu’à l’axe horizontal pour lire l’abscisse, puis on va horizontalement jusqu’à l’axe vertical pour lire l’ordonnée. Pour placer M(−2 ; 3) : on part de O, on se déplace de 2 vers la gauche (abscisse négative), puis de 3 vers le haut (ordonnée positive).
Piège
(2 ; −3) et (−3 ; 2) sont deux points différents : l’ordre compte. Un point de l’axe horizontal a une ordonnée égale à 0 ; un point de l’axe vertical a une abscisse égale à 0.
(2 ; −3) et (−3 ; 2) sont deux points différents : l’ordre compte. Un point de l’axe horizontal a une ordonnée égale à 0 ; un point de l’axe vertical a une abscisse égale à 0.
Les quatre zones
Les axes partagent le plan en quatre zones : en haut à droite (x > 0 et y > 0), en haut à gauche (x < 0 et y > 0), en bas à gauche (x < 0 et y < 0), en bas à droite (x > 0 et y < 0).
Les axes partagent le plan en quatre zones : en haut à droite (x > 0 et y > 0), en haut à gauche (x < 0 et y > 0), en bas à gauche (x < 0 et y < 0), en bas à droite (x > 0 et y < 0).
3. Milieu d’un segment
Coordonnées du milieu
Dans un repère, si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), le milieu M de [AB] a pour coordonnées
M( xA+xB2 ; yA+yB2 ) : on fait la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
Dans un repère, si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), le milieu M de [AB] a pour coordonnées
M( xA+xB2 ; yA+yB2 ) : on fait la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
Exemple
A(1 ; 1) et B(6 ; 5). Le milieu M a pour abscisse (1 + 6) ÷ 2 = 3,5 et pour ordonnée (1 + 5) ÷ 2 = 3. Donc M(3,5 ; 3).
A(1 ; 1) et B(6 ; 5). Le milieu M a pour abscisse (1 + 6) ÷ 2 = 3,5 et pour ordonnée (1 + 5) ÷ 2 = 3. Donc M(3,5 ; 3).
Trouver un symétrique
Si M est le milieu de [AB], alors B est le symétrique de A par rapport à M. On connaît A et M, on cherche B : xB = 2xM − xA et yB = 2yM − yA. Exemple : A(1 ; 1) et M(3,5 ; 3) donnent B(2×3,5 − 1 ; 2×3 − 1) = B(6 ; 5).
Si M est le milieu de [AB], alors B est le symétrique de A par rapport à M. On connaît A et M, on cherche B : xB = 2xM − xA et yB = 2yM − yA. Exemple : A(1 ; 1) et M(3,5 ; 3) donnent B(2×3,5 − 1 ; 2×3 − 1) = B(6 ; 5).
Parallélogramme
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu. On le vérifie en calculant les deux milieux.
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu. On le vérifie en calculant les deux milieux.
4. Distance entre deux points
Dans un repère orthonormé, on peut calculer la longueur d’un segment à partir des coordonnées de ses extrémités. L’idée : on construit un triangle rectangle dont le segment est l’hypoténuse, puis on applique le théorème de Pythagore.
A(1 ; 1), B(6 ; 5) et H(6 ; 1). Le triangle AHB est rectangle en H, avec AH = 6 − 1 = 5 et HB = 5 − 1 = 4.
Formule de la distance
Dans un repère orthonormé : AB = √( (xB − xA)² + (yB − yA)² ).
Dans un repère orthonormé : AB = √( (xB − xA)² + (yB − yA)² ).
Exemple
Avec la figure : AB² = 5² + 4² = 25 + 16 = 41, donc AB = √41 ≈ 6,4 (au dixième). Pour A(−2 ; 1) et C(4 ; −3) : AC² = 6² + (−4)² = 36 + 16 = 52, donc AC = √52 ≈ 7,2.
Avec la figure : AB² = 5² + 4² = 25 + 16 = 41, donc AB = √41 ≈ 6,4 (au dixième). Pour A(−2 ; 1) et C(4 ; −3) : AC² = 6² + (−4)² = 36 + 16 = 52, donc AC = √52 ≈ 7,2.
Pièges
Cette formule n’est valable que dans un repère orthonormé (même unité sur les deux axes). Attention aux signes : (−4)² = 16, mais −4² s’écrit −16 ! Enfin, on ne remplace pas √41 par 6,4 dans les calculs intermédiaires : on garde la valeur exacte, on arrondit à la fin.
Cette formule n’est valable que dans un repère orthonormé (même unité sur les deux axes). Attention aux signes : (−4)² = 16, mais −4² s’écrit −16 ! Enfin, on ne remplace pas √41 par 6,4 dans les calculs intermédiaires : on garde la valeur exacte, on arrondit à la fin.
Nature d’un triangle avec les coordonnées
On calcule les trois carrés des longueurs. Deux carrés égaux : le triangle est isocèle. Trois carrés égaux : équilatéral. Si le plus grand carré est la somme des deux autres, le triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore). On compare les carrés, ça évite les racines.
On calcule les trois carrés des longueurs. Deux carrés égaux : le triangle est isocèle. Trois carrés égaux : équilatéral. Si le plus grand carré est la somme des deux autres, le triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore). On compare les carrés, ça évite les racines.
5. Se repérer sur la Terre
La Terre est assimilée à une sphère. Pour y repérer un lieu, on utilise deux angles, un peu comme une abscisse et une ordonnée.
Vocabulaire
L’équateur est le grand cercle perpendiculaire à l’axe des pôles. Les parallèles sont les cercles parallèles à l’équateur. Les méridiens sont les demi-cercles qui joignent le pôle Nord au pôle Sud ; celui qui passe par Greenwich (près de Londres) est le méridien origine.
L’équateur est le grand cercle perpendiculaire à l’axe des pôles. Les parallèles sont les cercles parallèles à l’équateur. Les méridiens sont les demi-cercles qui joignent le pôle Nord au pôle Sud ; celui qui passe par Greenwich (près de Londres) est le méridien origine.
Latitude
La latitude d’un point M est l’angle, mesuré depuis le centre O de la Terre, entre le rayon [OM] et le plan de l’équateur. Elle va de 0° (équateur) à 90° (pôles), avec la précision Nord ou Sud. Tous les points d’un même parallèle ont la même latitude.
La latitude d’un point M est l’angle, mesuré depuis le centre O de la Terre, entre le rayon [OM] et le plan de l’équateur. Elle va de 0° (équateur) à 90° (pôles), avec la précision Nord ou Sud. Tous les points d’un même parallèle ont la même latitude.
Longitude
La longitude de M est l’angle entre le méridien d’origine (Greenwich) et le méridien de M. Elle va de 0° à 180° avec la précision Est ou Ouest. Tous les points d’un même méridien ont la même longitude.
La longitude de M est l’angle entre le méridien d’origine (Greenwich) et le méridien de M. Elle va de 0° à 180° avec la précision Est ou Ouest. Tous les points d’un même méridien ont la même longitude.
Exemple
Tokyo se situe vers (36° N ; 140° E) : au nord de l’équateur et à l’est de Greenwich. New York se situe vers (41° N ; 74° O). Un point de coordonnées géographiques (0° ; 0°) est à la fois sur l’équateur et sur le méridien de Greenwich.
Tokyo se situe vers (36° N ; 140° E) : au nord de l’équateur et à l’est de Greenwich. New York se situe vers (41° N ; 74° O). Un point de coordonnées géographiques (0° ; 0°) est à la fois sur l’équateur et sur le méridien de Greenwich.
Longueurs sur la sphère
Le rayon de la Terre est environ 6 370 km. L’équateur est un cercle de longueur 2π × 6 370 ≈ 40 024 km. Le parallèle de latitude φ est un cercle de rayon 6 370 × cos φ, donc plus petit que l’équateur. Sur un même méridien (ou sur l’équateur), un angle de n° correspond à un arc de n360 de la longueur du grand cercle.
Le rayon de la Terre est environ 6 370 km. L’équateur est un cercle de longueur 2π × 6 370 ≈ 40 024 km. Le parallèle de latitude φ est un cercle de rayon 6 370 × cos φ, donc plus petit que l’équateur. Sur un même méridien (ou sur l’équateur), un angle de n° correspond à un arc de n360 de la longueur du grand cercle.
Astuce
Un degré de latitude correspond toujours à environ 40 024 ÷ 360 ≈ 111 km. Mathbot te le rappelle : Nord-Sud, c’est la latitude ; Est-Ouest, c’est la longitude !
Un degré de latitude correspond toujours à environ 40 024 ÷ 360 ≈ 111 km. Mathbot te le rappelle : Nord-Sud, c’est la latitude ; Est-Ouest, c’est la longitude !
6. Sections de solides par un plan
Couper un solide par un plan, c’est comme trancher un fruit avec un couteau parfaitement plat. La section est la forme de la coupe.
Pavé droit et cylindre
Un plan parallèle à une face d’un pavé droit coupe le solide suivant un rectangle de mêmes dimensions que cette face. Un plan parallèle à une arête donne aussi un rectangle, dont un côté est de la longueur de cette arête. Pour un cylindre de révolution, un plan parallèle aux bases donne un disque de même rayon ; un plan parallèle à l’axe donne un rectangle.
Un plan parallèle à une face d’un pavé droit coupe le solide suivant un rectangle de mêmes dimensions que cette face. Un plan parallèle à une arête donne aussi un rectangle, dont un côté est de la longueur de cette arête. Pour un cylindre de révolution, un plan parallèle aux bases donne un disque de même rayon ; un plan parallèle à l’axe donne un rectangle.
Pyramide et cône
Quand on coupe une pyramide (ou un cône de révolution) par un plan parallèle à la base, la section est une réduction de la base : même forme, avec le coefficient k = SO’ ÷ SO, où S est le sommet, O le centre de la base et O’ le centre de la section. Un carré de côté c devient un carré de côté k × c ; un disque de rayon R devient un disque de rayon k × R. La petite pyramide (ou le petit cône) ainsi découpée est, elle aussi, une réduction du solide de départ.
Quand on coupe une pyramide (ou un cône de révolution) par un plan parallèle à la base, la section est une réduction de la base : même forme, avec le coefficient k = SO’ ÷ SO, où S est le sommet, O le centre de la base et O’ le centre de la section. Un carré de côté c devient un carré de côté k × c ; un disque de rayon R devient un disque de rayon k × R. La petite pyramide (ou le petit cône) ainsi découpée est, elle aussi, une réduction du solide de départ.
Exemple
Un cône de hauteur 12 cm et de rayon de base 6 cm est coupé à 3 cm du sommet par un plan parallèle à la base. Le coefficient est k = 3 ÷ 12 = 14. La section est un disque de rayon 6 × 14 = 1,5 cm.
Un cône de hauteur 12 cm et de rayon de base 6 cm est coupé à 3 cm du sommet par un plan parallèle à la base. Le coefficient est k = 3 ÷ 12 = 14. La section est un disque de rayon 6 × 14 = 1,5 cm.
Boule (sphère)
La section d’une boule de rayon R par un plan est toujours un disque. Si le plan passe par le centre, le disque a pour rayon R (c’est un grand cercle). Si le plan est à la distance d du centre (avec d < R), le rayon r du disque vérifie r² = R² − d² (Pythagore dans le triangle rectangle OHM de la figure). Si d = R, le plan touche la boule en un seul point.
La section d’une boule de rayon R par un plan est toujours un disque. Si le plan passe par le centre, le disque a pour rayon R (c’est un grand cercle). Si le plan est à la distance d du centre (avec d < R), le rayon r du disque vérifie r² = R² − d² (Pythagore dans le triangle rectangle OHM de la figure). Si d = R, le plan touche la boule en un seul point.
Exemple
Boule de rayon 10 cm coupée à 6 cm du centre : r² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, donc r = 8 cm.
Boule de rayon 10 cm coupée à 6 cm du centre : r² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, donc r = 8 cm.
7. Agrandissement et réduction de solides
Effet d’un coefficient k
Quand on agrandit (k > 1) ou réduit (0 < k < 1) un solide de coefficient k : les longueurs sont multipliées par k, les angles ne changent pas, les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³.
Quand on agrandit (k > 1) ou réduit (0 < k < 1) un solide de coefficient k : les longueurs sont multipliées par k, les angles ne changent pas, les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³.
Exemple
Une maquette est à l’échelle 1/20 (k = 120). Un bâtiment de 30 m de haut a une maquette de 30 ÷ 20 = 1,5 m. Un volume de 8 000 cm³ sur la maquette correspond à 8 000 × 20³ = 8 000 × 8 000 = 64 000 000 cm³ dans la réalité.
Une maquette est à l’échelle 1/20 (k = 120). Un bâtiment de 30 m de haut a une maquette de 30 ÷ 20 = 1,5 m. Un volume de 8 000 cm³ sur la maquette correspond à 8 000 × 20³ = 8 000 × 8 000 = 64 000 000 cm³ dans la réalité.
Piège
Si les longueurs sont multipliées par 3, le volume n’est pas multiplié par 3 mais par 3³ = 27, et l’aire par 3² = 9. Dans une pyramide coupée parallèlement à sa base, le petit solide a un volume égal à k³ fois celui de la grande pyramide.
Si les longueurs sont multipliées par 3, le volume n’est pas multiplié par 3 mais par 3³ = 27, et l’aire par 3² = 9. Dans une pyramide coupée parallèlement à sa base, le petit solide a un volume égal à k³ fois celui de la grande pyramide.
8. Lire un plan ou une carte
Échelle
L’échelle d’une carte est le coefficient de réduction : une carte à l’échelle 125000 signifie que 1 cm sur la carte représente 25 000 cm (soit 250 m) sur le terrain. Les distances réelles sont proportionnelles aux distances sur la carte.
L’échelle d’une carte est le coefficient de réduction : une carte à l’échelle 125000 signifie que 1 cm sur la carte représente 25 000 cm (soit 250 m) sur le terrain. Les distances réelles sont proportionnelles aux distances sur la carte.
Convertir une distance
De la carte vers le terrain : on multiplie par le dénominateur de l’échelle, puis on convertit. Du terrain vers la carte : on divise. Exemple (échelle 125000) : 6,4 cm sur la carte représentent 6,4 × 25 000 = 160 000 cm = 1,6 km.
De la carte vers le terrain : on multiplie par le dénominateur de l’échelle, puis on convertit. Du terrain vers la carte : on divise. Exemple (échelle 125000) : 6,4 cm sur la carte représentent 6,4 × 25 000 = 160 000 cm = 1,6 km.
Aires sur une carte
Comme sur une réduction, les aires sont multipliées par k². À l’échelle 125000, 1 cm² sur la carte représente 250 m × 250 m = 62 500 m², soit 6,25 ha.
Comme sur une réduction, les aires sont multipliées par k². À l’échelle 125000, 1 cm² sur la carte représente 250 m × 250 m = 62 500 m², soit 6,25 ha.
Repérage par quadrillage
Les plans de ville et les cartes sont souvent quadrillés avec des lettres en colonne et des chiffres en ligne (par exemple « D5 ») : c’est exactement un système de coordonnées, simplifié !
Les plans de ville et les cartes sont souvent quadrillés avec des lettres en colonne et des chiffres en ligne (par exemple « D5 ») : c’est exactement un système de coordonnées, simplifié !
À retenir
- Dans un repère, un point se repère par son couple (abscisse ; ordonnée), dans cet ordre.
- Milieu de [AB] : M( xA+xB2 ; yA+yB2 ).
- Repère orthonormé : AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²) ; sur un axe, AB = |xB − xA|.
- Un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme.
- Sur la Terre : latitude (0° à 90°, Nord ou Sud, depuis l’équateur) et longitude (0° à 180°, Est ou Ouest, depuis Greenwich).
- Section d’un pavé parallèle à une face : rectangle de mêmes dimensions ; section d’une pyramide ou d’un cône parallèle à la base : réduction de la base de coefficient k.
- Section d’une boule : un disque, de rayon r = √(R² − d²).
- Coefficient k : longueurs × k, aires × k², volumes × k³.
- Échelle 1N : 1 cm sur la carte = N cm sur le terrain.