Une roue qui tourne, l’aiguille d’une horloge, la houle de la mer, le courant alternatif de ta prise électrique : tous ces phénomènes se répètent à l’identique, encore et encore. Pour les décrire, on a besoin d’un outil qui mesure des angles et qui « tourne en rond » : la trigonométrie. Dans ce chapitre, tu apprends une nouvelle unité d’angle, le radian, puis tu définis le cosinus et le sinus d’un nombre réel avec le cercle trigonométrique, tu résous des équations, et tu découvres les deux fonctions « ondulantes » les plus célèbres des mathématiques.
1. Le radian, une unité naturelle pour les angles
Dans un cercle de rayon r, un angle au centre qui intercepte un arc de longueur exactement égale à r a pour mesure 1 radian (1 rad). Les mesures en degrés et en radians d’un même angle sont proportionnelles : un angle plat mesure 180° ou π rad, un tour complet 360° ou 2π rad.
Pour passer d’une unité à l’autre, on utilise un tableau de proportionnalité :
| Degrés | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 | 2π3 | 3π4 | 5π6 | π | 3π2 | 2π |
- Degrés → radians : on multiplie par π180. Exemple : 40° = 40 × π180 = 2π9 rad.
- Radians → degrés : on multiplie par 180π. Exemple : π5 rad = π5 × 180π = 36°.
Dans un cercle de rayon r, un secteur d’angle α (en radians, 0 ≤ α ≤ 2π) a pour arc de longueur ℓ = r × α et pour aire 𝒜 = 12 × r² × α.
La longueur est proportionnelle à l’angle : pour α = 2π, on retrouve le périmètre complet 2πr.
Un cercle a pour rayon 8 cm. L’arc intercepté par un angle de 3π4 rad mesure ℓ = 8 × 3π4 = 6π ≈ 18,85 cm. L’aire du secteur est 𝒜 = 12 × 8² × 3π4 = 24π ≈ 75,40 cm².
Avec les radians, la longueur de l’arc se lit directement : ℓ = r × α, sans aucun facteur à retenir. C’est pour cette raison que les mathématiciens et les physiciens préfèrent cette unité. Sur ta calculatrice, pense à régler le mode RAD (et non DEG) dès que l’angle est exprimé avec π.
2. Le cercle trigonométrique et l’enroulement de la droite
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; I, J). Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. On l’oriente : le sens direct (ou sens positif) est le sens contraire des aiguilles d’une montre.
Imagine la droite réelle comme un fil gradué, posé verticalement et tangent au cercle en I. Le point d’abscisse 0 du fil est en I. On enroule ce fil autour du cercle : la partie positive s’enroule dans le sens direct, la partie négative dans le sens indirect. Comme le cercle a pour périmètre 2π, le réel 2π tombe de nouveau sur I après un tour complet.
À tout réel x, l’enroulement associe un unique point M(x) du cercle trigonométrique. L’angle orienté (OI, OM) a pour mesure x radians (ou, ce qui revient au même, tout réel de la forme x + 2kπ avec k entier relatif).
Deux réels ont le même point image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur différence est un multiple entier de 2π : M(x) = M(x + 2kπ) pour tout entier relatif k.
La mesure principale d’un angle est son unique mesure dans l’intervalle ]−π ; π]. Pour la trouver, on ajoute ou on retranche des multiples de 2π jusqu’à tomber dans cet intervalle.
Mesure principale de 19π4 : 19π4 − 2π = 11π4 ; 11π4 − 2π = 3π4. Et 3π4 est dans ]−π ; π]. Donc M(19π4) = M(3π4).
Mesure principale de −13π6 : −13π6 + 2π = −π6. C’est la réponse.
Une mesure principale est dans ]−π ; π], pas dans [0 ; 2π[. L’angle 3π2 a pour mesure principale −π2 et non 3π2. Et π est bien sa propre mesure principale (−π n’est pas dans l’intervalle, puisqu’il est ouvert en −π).
3. Cosinus et sinus d’un réel
Soit x un réel et M(x) son point image sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M(x). Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M(x). Autrement dit : M(x) a pour coordonnées (cos x ; sin x).
- Pour tout réel x : −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1.
- Pour tout réel x : cos² x + sin² x = 1.
- Pour tout réel x et tout entier relatif k : cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x.
Démonstration. Le point M(x) est sur le cercle de rayon 1, donc ses coordonnées sont comprises entre −1 et 1. Le triangle formé par O, le projeté de M sur l’axe des abscisses et M est rectangle : son hypoténuse OM vaut 1, ses côtés de l’angle droit valent |cos x| et |sin x|. Le théorème de Pythagore donne cos² x + sin² x = 1² = 1. La dernière propriété vient de M(x + 2kπ) = M(x). ∎
On sait que cos x = 35 et que sin x < 0. Alors sin² x = 1 − 925 = 1625, donc sin x = 45 ou sin x = −45. Comme sin x < 0, on conclut sin x = −45.
De sin² x = 1625, on tire deux valeurs possibles pour sin x. Le signe de l’énoncé (position de M dans le plan) permet de choisir. Oublier cette étape est l’erreur la plus fréquente.
4. Les valeurs remarquables
Pour quelques angles, les coordonnées de M(x) se calculent exactement. À connaître par cœur, ou à savoir retrouver très vite :
| x (rad) | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 | π |
|---|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 | −1 |
| sin x | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 | 0 |
Justifications. Pour π4 : M est sur la première bissectrice, donc cos x = sin x = c. Alors 2c² = 1, d’où c = √22 car c > 0. Pour π3 : le triangle OIM est isocèle avec un angle de 60°, donc équilatéral de côté 1. Le pied de la hauteur issue de M est le milieu de [OI], donc cos π3 = 12 ; puis sin π3 = √(1 − 14) = √32. Le cas π6 s’en déduit par symétrie par rapport à la première bissectrice.
Je retiens les sinus de 0, π6, π4, π3, π2 comme √0 / 2, √1 / 2, √2 / 2, √3 / 2, √4 / 2. Et pour les cosinus, je lis la même liste à l’envers. Bip bip, ça marche à tous les coups !
5. Les angles associés
Les points M(−x), M(π − x) et M(π + x) se déduisent de M(x) par des symétries : par rapport à l’axe des abscisses, à l’axe des ordonnées et à l’origine. Ces symétries changent les signes des coordonnées de façon contrôlée.
| Angle | cosinus | sinus | Symétrie de M(x) |
|---|---|---|---|
| −x | cos x | − sin x | axe des abscisses |
| π − x | − cos x | sin x | axe des ordonnées |
| π + x | − cos x | − sin x | centre O |
| π2 − x | sin x | cos x | première bissectrice |
| π2 + x | − sin x | cos x | rotation d’un quart de tour |
Démonstration pour π − x. M(π − x) est le symétrique de M(x) par rapport à l’axe des ordonnées : il a la même ordonnée et une abscisse opposée. Donc sin(π − x) = sin x et cos(π − x) = −cos x. ∎ Les autres lignes se justifient de la même manière.
- Ramène l’angle à un angle du premier quadrant : écris-le sous la forme π ± x, −x ou 2π ± x avec x remarquable.
- Applique la bonne ligne du tableau.
- Conclus avec la valeur remarquable.
cos 2π3 = cos(π − π3) = −cos π3 = −12.
sin 7π4 = sin(−π4 + 2π) = sin(−π4) = −sin π4 = −√22.
cos 7π6 = cos(π + π6) = −cos π6 = −√32.
6. Résoudre cos x = a et sin x = a
- Si |a| > 1, les équations cos x = a et sin x = a n’ont aucune solution.
- cos x = cos α ⇔ x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ (k ∈ ℤ).
- sin x = sin α ⇔ x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ (k ∈ ℤ).
Pourquoi ? Résoudre cos x = a, c’est chercher les points du cercle d’abscisse a : la droite verticale d’équation X = a coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses, d’angles α et −α. De même pour sin x = a : la droite horizontale Y = a coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l’axe des ordonnées, d’angles α et π − α.
- Isole cos x ou sin x pour obtenir une équation de base.
- Repère une valeur remarquable α telle que cos α (ou sin α) vaille a.
- Écris les deux familles de solutions, puis garde uniquement celles qui appartiennent à l’intervalle demandé (en faisant varier l’entier k).
On sait que sin π6 = 12. Donc sin x = sin π6, ce qui donne x = π6 + 2kπ ou x = π − π6 + 2kπ = 5π6 + 2kπ. Dans [0 ; 2π[, seul k = 0 convient : S = {π6 ; 5π6}.
L’équation équivaut à cos x = −√32. Or cos 5π6 = −√32. Donc x = 5π6 + 2kπ ou x = −5π6 + 2kπ. Dans ]−π ; π] : S = {−5π6 ; 5π6}.
Ne t’arrête jamais à la première solution que donne la calculatrice : il y a presque toujours deux points du cercle. Et n’oublie pas que l’intervalle de résolution (]−π ; π], [0 ; 2π[, ℝ tout entier…) change la réponse finale.
7. Les fonctions cosinus et sinus
La fonction cosinus est la fonction x ↦ cos x, la fonction sinus est x ↦ sin x. Elles sont définies sur ℝ et prennent leurs valeurs dans [−1 ; 1].
- La fonction cosinus est paire : cos(−x) = cos x. Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- La fonction sinus est impaire : sin(−x) = −sin x. Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine O.
- Les deux fonctions sont périodiques de période 2π : f(x + 2π) = f(x) pour tout réel x. Leurs courbes se « répètent » par translation de vecteur 2π · i.
Démonstration. Les points M(x) et M(−x) sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses : ils ont la même abscisse (cos(−x) = cos x) et des ordonnées opposées (sin(−x) = −sin x). La périodicité vient de M(x + 2π) = M(x). ∎
Conséquence pratique. Il suffit d’étudier ces fonctions sur [0 ; π] : la parité donne le reste de [−π ; π], puis la périodicité donne tout ℝ.
| x | 0 | π2 | π |
|---|---|---|---|
| cos x | 1 | ↘ 0 | ↘ −1 |
| sin x | 0 | ↗ 1 | ↘ 0 |
La fonction cosinus est donc décroissante sur [0 ; π]. La fonction sinus est croissante sur [0 ; π2] puis décroissante sur [π2 ; π].
Voici les courbes sur l’intervalle [−2π ; 2π] :
- cos x = 0 ⇔ x = π2 + kπ ; sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).
- cos x = 1 ⇔ x = 2kπ ; cos x = −1 ⇔ x = π + 2kπ.
- sin x = 1 ⇔ x = π2 + 2kπ ; sin x = −1 ⇔ x = −π2 + 2kπ.
- Comme sin x = cos(π2 − x) = cos(x − π2), la courbe du sinus s’obtient en translatant celle du cosinus de π2 vers la droite.
Soit f(x) = x · sin x. Pour tout réel x, f(−x) = (−x) · sin(−x) = (−x) · (−sin x) = x sin x = f(x). La fonction f est donc paire.
8. Inéquations trigonométriques
Pour résoudre cos x ≥ a ou sin x ≤ a, on lit la réponse sur le cercle (quels arcs sont à droite de la droite verticale, au-dessus de la droite horizontale…) ou sur la courbe (où la courbe est au-dessus ou en dessous de la droite y = a).
- Résous d’abord l’équation associée sur l’intervalle demandé : ses solutions sont les bornes possibles.
- Repère, sur le cercle ou sur la courbe, de quel côté se trouve l’inégalité.
- Écris l’ensemble solution sous forme d’intervalle(s), en précisant si les bornes sont incluses (inégalité large) ou non (inégalité stricte).
Équation associée : cos x = 12 ⇔ x = π3 ou x = −π3 sur ]−π ; π]. La courbe du cosinus est au-dessus de la droite y = 12 autour de 0, entre ces deux valeurs. Donc S = [−π3 ; π3].
Une inéquation ne se résout pas en « faisant comme une équation » : si tu obtiens seulement les deux solutions, il faut encore déterminer quel arc (intérieur ou extérieur aux deux points) vérifie l’inégalité. Teste toujours une valeur, par exemple x = 0.
À retenir
- π rad = 180°. Conversion : degrés × π180 = radians. Arc : ℓ = rα ; aire du secteur : 12r²α.
- Le cercle trigonométrique est orienté dans le sens direct (contraire des aiguilles d’une montre) ; M(x) = M(x + 2kπ). Mesure principale dans ]−π ; π].
- M(x) a pour coordonnées (cos x ; sin x). −1 ≤ cos x ≤ 1, −1 ≤ sin x ≤ 1 et cos² x + sin² x = 1.
- Valeurs remarquables : cos(0 ; π6 ; π4 ; π3 ; π2) = 1 ; √32 ; √22 ; 12 ; 0 et sin = 0 ; 12 ; √22 ; √32 ; 1.
- Angles associés : cos(−x) = cos x, sin(−x) = −sin x ; cos(π − x) = −cos x, sin(π − x) = sin x ; cos(π + x) = −cos x, sin(π + x) = −sin x ; cos(π2 − x) = sin x.
- cos x = cos α ⇔ x = ±α + 2kπ ; sin x = sin α ⇔ x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ.
- Cosinus : paire, 2π-périodique. Sinus : impaire, 2π-périodique. Leurs courbes oscillent entre −1 et 1.
- Pour une inéquation : on résout l’équation associée, puis on lit sur le cercle ou sur la courbe quel arc convient.