Quand on apprend une information, la probabilité d’un événement peut changer : savoir qu’il pleut modifie la chance que tu prennes le bus. Ce chapitre apprend à calculer ces probabilités « sachant que », à les organiser dans des arbres pondérés et des tableaux, à décider si deux événements sont indépendants, et à remonter le temps : de la conséquence vers la cause.
1. Rappels sur les probabilités
Une expérience aléatoire a un ensemble de résultats possibles appelé univers, noté Ω. Un événement est une partie de Ω. On rappelle :
- 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω) = 1 et P(∅) = 0 ;
- l’événement contraire de A, noté Ā, vérifie P(Ā) = 1 − P(A) ;
- « A ∩ B » se lit « A et B » (les deux se réalisent), « A ∪ B » se lit « A ou B » (l’un au moins se réalise) ;
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Si A et B sont incompatibles (A ∩ B = ∅), alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
On lance un dé équilibré à six faces. Soit A : « le résultat est pair » et B : « le résultat est au moins 5 ». Alors P(A) = 12, P(B) = 13 et A ∩ B = {6}, donc P(A ∩ B) = 16. On en déduit P(A ∪ B) = 12 + 13 − 16 = 23 (les faces 2, 4, 5, 6 : quatre faces sur six).
2. Probabilité conditionnelle
Soit A un événement de probabilité non nulle. La probabilité de B sachant A est le nombre
PA(B) = P(A ∩ B) ÷ P(A).
Cette probabilité mesure la chance que B se réalise quand on sait déjà que A est réalisé : l’univers « se réduit » à A. On l’écrit aussi P(B | A) dans certains ouvrages ; nous utilisons la notation PA(B).
Si P(A) ≠ 0, alors P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).
Par symétrie, si P(B) ≠ 0 : P(A ∩ B) = P(B) × PB(A).
Démonstration. C’est la définition multipliée par P(A) des deux côtés.
PA(B) + PA(B̄) = 1.
Démonstration. Les événements A ∩ B et A ∩ B̄ sont incompatibles et leur réunion est A. Donc P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄). En divisant par P(A) : 1 = PA(B) + PA(B̄).
Dans une classe, 60 % des élèves aiment les échecs (événement E) et 24 % aiment à la fois les échecs et le jeu de go (événement G). On choisit un élève au hasard. Sachant qu’il aime les échecs, la probabilité qu’il aime aussi le go est PE(G) = 0,240,60 = 0,4.
PA(B) et PB(A) sont en général différentes. La probabilité d’être un joueur de basket sachant qu’on mesure plus de 2 m est élevée ; la probabilité de mesurer plus de 2 m sachant qu’on joue au basket est bien plus faible. Les dénominateurs ne sont pas les mêmes : P(A) d’un côté, P(B) de l’autre.
3. Tableaux croisés d’effectifs
Un tableau croisé classe une population selon deux critères. Les probabilités conditionnelles se lisent en changeant la population de référence : on divise par le total de la ligne ou de la colonne concernée.
| Aime la lecture (L) | N’aime pas (L̄) | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles (F) | 42 | 18 | 60 |
| Garçons (G) | 28 | 32 | 60 |
| Total | 70 | 50 | 120 |
On choisit un élève au hasard parmi ces 120 élèves.
- P(L) = 70120 = 712 (on divise par le total général) ;
- P(F ∩ L) = 42120 = 720 (la case « filles et lecture ») ;
- PF(L) = 4260 = 710 (on se limite à la ligne des filles) ;
- PL(F) = 4270 = 35 (on se limite à la colonne « aime la lecture »).
- Repère l’événement-condition A (celui qui suit « sachant que »).
- Prends le total de A comme dénominateur.
- Prends l’effectif de la case « A et B » comme numérateur.
Remarque : les effectifs donnent le même résultat que la formule, car diviser P(F ∩ L) par P(F) revient à diviser 42 par 60.
Si le tableau est en pourcentages ou en probabilités, c’est la même méthode : PA(B) = P(A ∩ B) ÷ P(A), la case divisée par le total de la ligne ou de la colonne.
4. Arbres pondérés
Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes. Chaque branche porte une probabilité ; au deuxième niveau, il s’agit d’une probabilité conditionnelle (sachant le chemin déjà parcouru).
- Règle des nœuds : la somme des probabilités des branches qui partent d’un même nœud vaut 1 (0,3 + 0,7 = 1 ; 0,5 + 0,5 = 1).
- Règle du produit : la probabilité d’un chemin (une feuille) est le produit des probabilités de ses branches. Ici P(A ∩ B) = 0,6 × 0,3 = 0,18.
- Règle de la somme : la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
- Identifie les deux étapes et donne un nom à chaque événement.
- Place sur les premières branches les probabilités simples, sur les suivantes les probabilités conditionnelles.
- Complète avec les contraires pour que chaque nœud ait une somme égale à 1.
- Multiplie le long des chemins, vérifie que le total des feuilles vaut 1.
Sur une branche du deuxième niveau, la probabilité est conditionnelle : 0,3 est PA(B), pas P(B). On ne l’additionne jamais avec une probabilité d’un autre nœud.
5. Formule des probabilités totales
Des événements A1, A2, …, An de probabilités non nulles forment une partition de Ω s’ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est Ω. Exemple le plus simple : A et Ā.
Si A1, …, An forment une partition de Ω, alors pour tout événement B :
P(B) = P(A1 ∩ B) + … + P(An ∩ B) = P(A1) × PA1(B) + … + P(An) × PAn(B).
Démonstration (cas de deux événements). B est la réunion des deux événements incompatibles A ∩ B et Ā ∩ B. Donc P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B), puis on remplace chaque intersection par P(A) × PA(B) et P(Ā) × PĀ(B). Le cas général est identique.
Avec l’arbre de la partie 4 : P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) = 0,6 × 0,3 + 0,4 × 0,5 = 0,18 + 0,20 = 0,38. Sur l’arbre, on additionne les deux chemins qui aboutissent à B.
Écris toujours : « D’après la formule des probabilités totales, comme A et Ā forment une partition de l’univers, … ». Cette phrase fait partie de la démonstration attendue.
6. Inverser le conditionnement
Souvent, l’arbre donne PA(B) mais on cherche PB(A) : on remonte de la conséquence vers la cause. La méthode ne demande aucune formule nouvelle.
- Calcule P(A ∩ B) par la règle du produit.
- Calcule P(B) par la formule des probabilités totales.
- Conclus : PB(A) = P(A ∩ B) ÷ P(B).
Un robot de cuisine tombe en panne (R) avec une probabilité 0,8 s’il est mal entretenu (M, qui concerne 30 % des cas) et 0,1 s’il est bien entretenu. On sait que le robot est en panne : quelle est la probabilité qu’il ait été mal entretenu ?
P(M ∩ R) = 0,3 × 0,8 = 0,24 ; P(M̄ ∩ R) = 0,7 × 0,1 = 0,07 ; donc P(R) = 0,24 + 0,07 = 0,31.
PR(M) = 0,240,31 = 2431 ≈ 0,774.
Même un test très fiable peut donner une probabilité « sachant que le test est positif » étonnamment faible quand la maladie est rare : c’est le poids du premier niveau de l’arbre (P(M) petit). Fais toujours le calcul.
Salut, c’est Mathbot ! Pour inverser un conditionnement, je dessine l’arbre, je calcule les deux chemins qui mènent à la conséquence, puis je divise le chemin qui m’intéresse par leur total. Zéro formule à apprendre par cœur.
7. Indépendance de deux événements
Deux événements A et B sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Intuitivement : savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B.
Si P(A) ≠ 0, alors A et B sont indépendants si et seulement si PA(B) = P(B).
Démonstration. PA(B) = P(A ∩ B) ÷ P(A). L’égalité PA(B) = P(B) équivaut à P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Si A et B sont indépendants, alors A et B̄ le sont aussi, ainsi que Ā et B, et Ā et B̄.
Démonstration (A et B̄). P(A ∩ B̄) = P(A) − P(A ∩ B) = P(A) − P(A) × P(B) = P(A) × (1 − P(B)) = P(A) × P(B̄).
- Calcule P(A), P(B) et P(A ∩ B).
- Compare P(A ∩ B) et P(A) × P(B).
- Si les nombres sont égaux : indépendants. S’ils diffèrent, même d’un peu : non indépendants.
Tirage d’une carte dans un jeu de 32 cartes. A : « roi » (P = 18), B : « cœur » (P = 14). A ∩ B : « roi de cœur » (P = 132). Comme 18 × 14 = 132, ces événements sont indépendants.
Incompatibles (A ∩ B = ∅) n’est pas indépendants. Si P(A) et P(B) ne sont pas nuls et que A, B sont incompatibles, alors P(A ∩ B) = 0 ≠ P(A) × P(B) : ils sont même fortement dépendants (si A se réalise, B ne peut plus se réaliser).
8. Répétition d’épreuves indépendantes
Lorsqu’on répète une expérience dans des conditions identiques, sans que le résultat de l’une influence les autres (lancers de pièce, tirages avec remise…), les épreuves sont indépendantes. Dans l’arbre, les probabilités du deuxième niveau sont alors les mêmes quelle que soit la branche d’origine : PA(B) = PĀ(B) = P(B).
Une joueuse réussit un lancer franc avec la probabilité 0,75. Elle en tire deux, indépendamment.
- Deux réussis : 0,75 × 0,75 = 0,5625.
- Aucun réussi : 0,25 × 0,25 = 0,0625.
- Au moins un réussi : 1 − 0,0625 = 0,9375 (on passe par le contraire).
- Exactement un : 2 × 0,75 × 0,25 = 0,375 (deux chemins).
Quand on tire sans remettre, la composition de l’urne change : les tirages ne sont pas indépendants. Il faut utiliser des probabilités conditionnelles (par exemple 58 puis 47 pour deux boules rouges dans une urne de 5 rouges et 3 vertes).
À retenir
- PA(B) = P(A ∩ B) ÷ P(A), avec P(A) ≠ 0 ; elle mesure la chance de B quand A est connu.
- P(A ∩ B) = P(A) × PA(B) = P(B) × PB(A) ; PA(B) + PA(B̄) = 1.
- Arbre pondéré : somme des branches d’un nœud = 1 ; on multiplie le long d’un chemin ; on additionne les chemins qui mènent à un événement.
- Probabilités totales : P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) (ou avec une partition de n événements).
- Inverser le conditionnement : PB(A) = P(A ∩ B) ÷ P(B), avec P(B) obtenu par les probabilités totales.
- A et B indépendants ⇔ P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ⇔ PA(B) = P(B) ; alors Ā, B̄ le sont aussi.
- Incompatibles ≠ indépendants. Sans remise, il n’y a pas d’indépendance.