Les nombres entiers cachent une vraie structure : certains se « cassent » en morceaux, d’autres jamais. Dans ce chapitre, tu apprends à décomposer un nombre, à trouver ce que deux nombres ont en commun et à simplifier une fraction en une seule fois. Ce sont des outils puissants pour résoudre des problèmes de partage !
1. Rappels : multiples, diviseurs et division euclidienne
Soit a et b deux entiers positifs, avec b ≠ 0. On dit que a est un multiple de b (et que b est un diviseur de a) s’il existe un entier k tel que a = b × k. Dans ce cas, la division de a par b « tombe juste » : le reste est 0.
63 = 9 × 7, donc 63 est un multiple de 9 et de 7 ; 9 et 7 sont des diviseurs de 63. Les diviseurs de 63 sont : 1, 3, 7, 9, 21 et 63.
Pour deux entiers a et b (b ≠ 0), il existe un unique couple (q ; r) d’entiers tel que a = b × q + r avec 0 ≤ r < b. q est le quotient et r le reste. b divise a exactement quand r = 0.
Division de 905 par 14 : 14 × 64 = 896 et 905 − 896 = 9. Donc 905 = 14 × 64 + 9, avec 9 < 14. Quotient 64, reste 9.
- par 2 : le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
- par 5 : le chiffre des unités est 0 ou 5 ;
- par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3 ;
- par 9 : la somme des chiffres est divisible par 9 ;
- par 10 : le chiffre des unités est 0.
5 472 : somme des chiffres 5 + 4 + 7 + 2 = 18, donc divisible par 3 et par 9 ; il est pair, donc divisible par 2 ; il ne finit ni par 0 ni par 5, donc pas par 5.
2. Les nombres premiers
Un entier est premier s’il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Ainsi 1 n’est pas premier (un seul diviseur), 2 est premier (c’est même le seul nombre premier pair), 9 n’est pas premier (1, 3 et 9 le divisent). Un nombre qui n’est pas premier (et qui est plus grand que 1) est dit composé.
| Intervalle | Nombres premiers |
|---|---|
| de 1 à 20 | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 |
| de 21 à 50 | 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 |
| de 51 à 100 | 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 |
- Calcule à peu près sa racine carrée (par exemple pour 221, √221 ≈ 14,9).
- Teste la divisibilité par chaque nombre premier inférieur à cette valeur : 2, 3, 5, 7, 11, 13…
- Si l’un d’eux divise le nombre, il n’est pas premier. Si aucun ne le divise, il est premier.
221 : pas pair, somme des chiffres 5 (pas multiple de 3), ne finit pas par 0 ou 5, 221 = 7 × 31 + 4 (pas multiple de 7), 221 = 11 × 20 + 1, mais 221 = 13 × 17. Donc 221 n’est pas premier.
Pas besoin de tester au-delà de la racine carrée : si un nombre a un diviseur plus grand que sa racine, il en a aussi un plus petit.
3. Décomposition en facteurs premiers
Tout entier supérieur ou égal à 2 s’écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique à l’ordre des facteurs près.
On divise le nombre par le plus petit nombre premier qui le divise, puis on recommence avec le quotient, jusqu’à obtenir 1 (ou le dernier quotient premier). On regroupe ensuite les facteurs identiques avec des puissances.
756 ÷ 2 = 378 ; 378 ÷ 2 = 189 ; 189 ÷ 3 = 63 ; 63 ÷ 3 = 21 ; 21 ÷ 3 = 7 ; 7 est premier.
Donc 756 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7 = 2² × 3³ × 7.
Arrête-toi seulement quand tous les facteurs sont premiers. Écrire 40 = 4 × 10 ne suffit pas : il faut aller jusqu’à 40 = 2³ × 5.
4. Trouver tous les diviseurs d’un nombre
La décomposition permet de lister les diviseurs sans en oublier : un diviseur de n est un produit de facteurs de n.
360 = 2³ × 3² × 5. Les exposants possibles sont 0 à 3 pour 2, 0 à 2 pour 3 et 0 à 1 pour 5. Le nombre de diviseurs est donc (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24 diviseurs.
Pour un nombre n = pa × qb (avec p et q premiers), le nombre de diviseurs est (a + 1) × (b + 1).
5. Le PGCD de deux nombres
Le PGCD de deux entiers a et b est leur plus grand commun diviseur. On le note PGCD(a ; b). Si PGCD(a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.
Diviseurs de 84 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84. Diviseurs de 126 : 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126. Les diviseurs communs sont 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Donc PGCD(84 ; 126) = 42.
On décompose les deux nombres, puis on multiplie les facteurs communs, chacun avec le plus petit exposant.
84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7. Facteurs communs : 2 (exposant 1), 3 (exposant 1), 7 (exposant 1). PGCD = 2 × 3 × 7 = 42.
Tout diviseur commun de a et b divise leur PGCD.
6. Calculer un PGCD : Euclide et différences
- Si a = b × q + r, alors PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r).
- PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a − b) pour a > b.
On effectue des divisions euclidiennes successives : on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, etc. Le dernier reste non nul est le PGCD.
252 = 198 × 1 + 54
198 = 54 × 3 + 36
54 = 36 × 1 + 18
36 = 18 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 18, donc PGCD(252 ; 198) = 18.
On remplace le plus grand des deux nombres par la différence des deux, jusqu’à obtenir deux nombres égaux : cette valeur est le PGCD.
Exemple pour (48 ; 30) : (18 ; 30) puis (18 ; 12) puis (6 ; 12) puis (6 ; 6). PGCD(48 ; 30) = 6.
L’algorithme d’Euclide est bien plus rapide que les différences quand les nombres sont grands ou très éloignés. Mathbot te le confirme : « Pour 1 000 et 7, les différences demanderaient un long moment, Euclide termine en trois lignes ! »
7. Fractions irréductibles
Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1, c’est-à-dire si leur PGCD est 1.
On calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis on divise les deux par ce PGCD.
PGCD(84 ; 126) = 42, donc 84126 : 84 ÷ 42 = 2 et 126 ÷ 42 = 3, donc la fraction irréductible est 23.
Simplifier « petit à petit » par 2 puis par 3 donne aussi le bon résultat, mais seulement si tu vas jusqu’au bout. Pour être sûr que la fraction est irréductible, passe par le PGCD.
8. Problèmes de partage
Quand on veut répartir des objets en lots identiques et sans reste, on cherche un diviseur commun. Si l’on veut le plus grand nombre de lots possible (ou les plus gros morceaux possibles), c’est le PGCD.
- Repère ce qu’on partage (les deux quantités).
- Calcule leur PGCD.
- Le PGCD est le nombre maximal de lots (ou la taille maximale des morceaux) ; divise chaque quantité par le PGCD pour le contenu d’un lot.
- Rédige une phrase réponse.
Une boulangère a 96 croissants et 160 pains au chocolat. Elle veut faire le maximum de sachets identiques sans rien laisser. PGCD(160 ; 96) : 160 = 96 × 1 + 64 ; 96 = 64 × 1 + 32 ; 64 = 32 × 2 + 0. PGCD = 32. Elle fait 32 sachets, avec 96 ÷ 32 = 3 croissants et 160 ÷ 32 = 5 pains au chocolat par sachet.
À retenir
- b divise a si a = b × k avec k entier (reste nul dans la division euclidienne).
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même (1 n’est pas premier, 2 est le seul premier pair).
- Tout entier ≥ 2 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.
- Le PGCD de deux nombres est leur plus grand diviseur commun ; on le trouve par les facteurs premiers, par l’algorithme d’Euclide (dernier reste non nul) ou par les différences.
- Une fraction est irréductible quand le PGCD de son numérateur et de son dénominateur vaut 1 ; pour la rendre irréductible, on divise les deux termes par leur PGCD.
- Pour partager en lots identiques et en nombre maximal : on calcule le PGCD.