En 2de, tu as décrit des droites avec des équations réduites y = mx + p. Cette écriture a un défaut : elle ne sait pas parler des droites verticales, et elle cache l’orthogonalité. En 1ère, tu découvres l’équation cartésienne ax + by + c = 0, qui s’obtient très naturellement avec un vecteur normal. Grâce à elle, parallélisme et perpendicularité se testent en une ligne de calcul. Tu l’étendras ensuite aux cercles : équation, tangente, intersection avec une droite. Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; I, J).
1. Rappels : coordonnées, distance et orthogonalité
Pour deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB), le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA). Dans ce chapitre, les vecteurs sont écrits en gras : u, n, AB.
Dans un repère orthonormé, la distance AB est AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²). Pour u(x ; y) et v(x′ ; y′), le produit scalaire est u·v = xx′ + yy′.
Les vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement si u·v = 0. Ils sont colinéaires si et seulement si xy′ − x′y = 0.
u(4 ; −3) et v(3 ; 4) : u·v = 4 × 3 + (−3) × 4 = 0, donc ils sont orthogonaux. Par ailleurs u(4 ; −3) et w(−8 ; 6) sont colinéaires car 4 × 6 − (−8) × (−3) = 24 − 24 = 0.
2. Vecteur directeur et vecteur normal d’une droite
Un vecteur directeur d’une droite d est un vecteur non nul u qui donne sa direction : si A et B sont deux points distincts de d, alors AB est colinéaire à u. Un vecteur normal à d est un vecteur non nul n orthogonal à un (donc à tous les) vecteur(s) directeur(s) de d.
Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs (tous colinéaires entre eux) et une infinité de vecteurs normaux (eux aussi colinéaires entre eux). Une droite est entièrement déterminée par un point et un vecteur normal, exactement comme par un point et un vecteur directeur.
Soit A un point et n un vecteur non nul. L’ensemble des points M tels que AM·n = 0 est la droite passant par A et de vecteur normal n.
C’est évident sur un dessin : M est sur la droite si et seulement si AM est « couché » le long de la droite, donc perpendiculaire à n (le cas M = A donne le vecteur nul, orthogonal à tout).
3. Équation cartésienne d’une droite
(1) Toute droite d du plan admet une équation de la forme ax + by + c = 0, avec (a ; b) ≠ (0 ; 0). Le vecteur n(a ; b) est alors un vecteur normal à d, et u(−b ; a) en est un vecteur directeur.
(2) Réciproquement, si (a ; b) ≠ (0 ; 0), l’ensemble des points M(x ; y) vérifiant ax + by + c = 0 est une droite.
Démonstration. (1) Soit A(xA ; yA) un point de d et n(a ; b) un vecteur normal. Alors M(x ; y) appartient à d ⇔ AM·n = 0 ⇔ a(x − xA) + b(y − yA) = 0 ⇔ ax + by + c = 0, en posant c = −axA − byA. Le vecteur (−b ; a) est orthogonal à (a ; b) car a × (−b) + b × a = 0, c’est donc un vecteur directeur. (2) L’équation a au moins une solution : (−c/a ; 0) si a ≠ 0, sinon (0 ; −c/b). Notons A(xA ; yA) une solution. En soustrayant axA + byA + c = 0, l’équation devient a(x − xA) + b(y − yA) = 0, c’est-à-dire AM·n = 0 : on reconnaît la droite passant par A de vecteur normal n(a ; b). ∎
La droite d : 3x + 2y − 6 = 0 a pour vecteur normal n(3 ; 2) et pour vecteur directeur u(−2 ; 3). Elle passe par A(2 ; 0) car 3 × 2 + 0 − 6 = 0 et par B(0 ; 3) car 0 + 2 × 3 − 6 = 0. Sur la figure, n et u sont tracés depuis A : ils forment bien un angle droit.
Une droite n’a pas une seule équation cartésienne : on peut multiplier tous les coefficients par un même réel non nul. Ainsi 3x + 2y − 6 = 0 et 6x + 4y − 12 = 0 décrivent la même droite. Ne confonds pas non plus n(a ; b) (normal) et u(−b ; a) (directeur) : les coefficients de x et y donnent le vecteur normal.
Si b = 0, l’équation est x = k : droite verticale. Si a = 0, c’est y = k : droite horizontale. Si b ≠ 0, on isole y : y = −abx − cb, de coefficient directeur −ab et d’ordonnée à l’origine −cb.
4. Déterminer une équation cartésienne : deux méthodes
- On écrit que AM·n = 0 pour M(x ; y).
- On développe et on réduit.
- On vérifie en remplaçant les coordonnées de A.
Droite passant par A(1 ; −3) de vecteur normal n(2 ; 5). Pour M(x ; y), AM(x − 1 ; y + 3). La condition AM·n = 0 donne 2(x − 1) + 5(y + 3) = 0, soit 2x + 5y + 13 = 0. Vérification : 2 × 1 + 5 × (−3) + 13 = 0 ✔.
- On calcule AB, qui est un vecteur directeur.
- On en déduit un vecteur normal : si AB(p ; q), alors n(q ; −p) convient.
- On continue comme dans la méthode 1, puis on vérifie avec le second point.
A(−1 ; 2) et B(3 ; 4). AB(4 ; 2), donc n(2 ; −4) convient, ou plus simplement n(1 ; −2). L’équation est x − 2y + c = 0 ; avec A : −1 − 4 + c = 0, donc c = 5. La droite (AB) a pour équation x − 2y + 5 = 0. Vérification avec B : 3 − 8 + 5 = 0 ✔.
Pour ne pas te tromper de signe, calcule c en dernier : tu écris ax + by + c = 0 avec les bons a et b, puis tu remplaces x et y par les coordonnées d’un point connu pour trouver c. Et tu vérifies toujours avec un second point !
5. Droites parallèles, droites perpendiculaires
Soient d : ax + by + c = 0 et d′ : a′x + b′y + c′ = 0, de vecteurs normaux n(a ; b) et n′(a′ ; b′).
• d et d′ sont parallèles (ou confondues) ⇔ n et n′ colinéaires ⇔ ab′ − a′b = 0.
• d et d′ sont perpendiculaires ⇔ n et n′ orthogonaux ⇔ aa′ + bb′ = 0.
d : 2x + y − 3 = 0 et d′ : x − 2y − 4 = 0. On a 2 × 1 + 1 × (−2) = 0 : elles sont perpendiculaires. Pour d″ : 2x + y + 2 = 0, on a 2 × 1 − 2 × 1 = 0 : d″ est parallèle à d (et distincte, car les constantes diffèrent sans que l’équation soit proportionnelle).
- Parallèle à d : ax + by + c = 0 passant par P : on garde le même (a ; b) et on cherche la nouvelle constante c′ avec les coordonnées de P.
- Perpendiculaire à d passant par P : le vecteur normal n de d est un vecteur directeur de la perpendiculaire ; un vecteur normal de celle-ci est donc (−b ; a) (ou (b ; −a)). On cherche ensuite la constante avec P.
d : 2x + y − 3 = 0 et P(1 ; 4). Parallèle : 2x + y + c = 0 avec 2 + 4 + c = 0, donc 2x + y − 6 = 0. Perpendiculaire : on prend (−1 ; 2), soit x − 2y + c = 0 avec 1 − 8 + c = 0, donc x − 2y + 7 = 0.
Intersection de deux droites sécantes. Les coordonnées du point d’intersection vérifient les deux équations à la fois : on résout le système par substitution ou combinaison. Sur la figure ci-dessus, 2x + y = 3 et x − 2y = 4 donnent x = 2 et y = −1 : c’est le point I.
La hauteur issue de A est la perpendiculaire à (BC) passant par A : le vecteur BC en est un vecteur normal. La médiatrice de [AB] est la perpendiculaire à (AB) passant par le milieu de [AB] : le vecteur AB en est un vecteur normal.
6. Équation d’un cercle
Le cercle de centre Ω et de rayon r > 0 est l’ensemble des points M tels que ΩM = r.
Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation (x − a)² + (y − b)² = r². Réciproquement, une équation de cette forme avec r > 0 est celle du cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r.
Démonstration. ΩM = r ⇔ ΩM² = r² (deux nombres positifs sont égaux si et seulement si leurs carrés le sont) ⇔ (x − a)² + (y − b)² = r², d’après la formule de la distance. ∎
Le cercle de centre Ω(2 ; 1) et de rayon 3 a pour équation (x − 2)² + (y − 1)² = 9. Le point M(5 ; 1), dessiné sur la figure, est sur le cercle : (5 − 2)² + (1 − 1)² = 9 ✔ ; le point N(3 ; 2) n’y est pas : 1 + 1 = 2 ≠ 9. Le cercle de centre O et de rayon r a l’équation la plus simple : x² + y² = r².
Dans (x − a)² + (y − b)² = r², le second membre est r², pas r. Et les signes sont « inversés » : (x + 3)² + (y − 5)² = 16 est le cercle de centre (−3 ; 5) et de rayon 4.
7. Reconnaître un cercle ; cercle de diamètre [AB]
Un cercle est souvent donné sous forme développée, du type x² + y² + px + qy + s = 0. Pour savoir ce que c’est, on revient à la forme canonique avec les identités remarquables.
- On regroupe : (x² + px) + (y² + qy) + s = 0.
- On complète les carrés : x² + px = (x + p/2)² − p²/4 (même chose pour y).
- On isole : (x − a)² + (y − b)² = k.
- On conclut : si k > 0, cercle de centre (a ; b) et de rayon √k ; si k = 0, le seul point (a ; b) ; si k < 0, aucun point.
x² + y² − 6x + 8y + 9 = 0. On écrit (x − 3)² − 9 + (y + 4)² − 16 + 9 = 0, soit (x − 3)² + (y + 4)² = 16. C’est le cercle de centre (3 ; −4) et de rayon 4.
Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M tels que MA·MB = 0. Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), son équation est (x − xA)(x − xB) + (y − yA)(y − yB) = 0.
En effet, un point M distinct de A et de B est sur le cercle de diamètre [AB] si et seulement si le triangle AMB est rectangle en M, c’est-à-dire si MA et MB sont orthogonaux ; les points A et B vérifient eux aussi l’égalité car l’un des deux vecteurs est nul. Autre méthode : le centre est le milieu de [AB] et le rayon est la moitié de AB.
8. Tangente à un cercle
Une droite est tangente à un cercle en un point A lorsqu’elle le touche en ce seul point A.
La tangente en A au cercle de centre Ω est la droite passant par A perpendiculaire au rayon (ΩA). Le vecteur ΩA en est donc un vecteur normal, et son équation est ΩA·AM = 0.
Justification. Soit t la perpendiculaire à (ΩA) passant par A et M un point de t distinct de A. Le triangle ΩAM est rectangle en A, donc ΩM² = ΩA² + AM² > ΩA² = r² : M est à l’extérieur du cercle. Ainsi t ne touche le cercle qu’en A.
Cercle de centre Ω(1 ; −1) et de rayon 5 ; le point A(4 ; 3) lui appartient car (4 − 1)² + (3 + 1)² = 9 + 16 = 25. On a ΩA(3 ; 4). La tangente en A vérifie 3(x − 4) + 4(y − 3) = 0, soit 3x + 4y − 24 = 0.
9. Intersection d’une droite et d’un cercle
- On exprime y en fonction de x (ou l’inverse) grâce à l’équation de la droite.
- On remplace dans l’équation du cercle : on obtient une équation du second degré en x.
- On calcule le discriminant Δ : si Δ > 0, la droite coupe le cercle en deux points ; si Δ = 0, elle est tangente (un seul point) ; si Δ < 0, elle ne le rencontre pas.
- On revient aux ordonnées avec l’équation de la droite.
Cercle x² + y² = 10 et droite d : y = x + 2. On remplace : x² + (x + 2)² = 10, soit 2x² + 4x − 6 = 0, ou x² + 2x − 3 = 0. Δ = 4 + 12 = 16 > 0 : deux solutions x = 1 et x = −3. Les points d’intersection sont P(1 ; 3) et Q(−3 ; −1).
Avec le même type de calcul, la droite x + y = 4 et le cercle x² + y² = 8 donnent 2x² − 8x + 8 = 0, soit 2(x − 2)² = 0 : un seul point (2 ; 2), la droite est tangente. Pour x + y = 6, on obtient 2x² − 12x + 28 = 0 de discriminant 144 − 224 < 0 : aucune intersection.
Dans le calcul, n’oublie pas de développer entièrement (x + 2)² = x² + 4x + 4 : l’erreur « x² + 4 » est la plus fréquente. Pense aussi à vérifier chaque point trouvé dans les deux équations.
À retenir
- Dans un repère orthonormé : u·v = xx′ + yy′ ; orthogonaux ⇔ produit scalaire nul ; colinéaires ⇔ xy′ − x′y = 0.
- Droite d’équation ax + by + c = 0 : vecteur normal n(a ; b), vecteur directeur u(−b ; a).
- Droite passant par A de vecteur normal n : AM·n = 0 ; avec deux points, on part de AB directeur.
- Parallèles ⇔ ab′ − a′b = 0 ; perpendiculaires ⇔ aa′ + bb′ = 0.
- Hauteur issue de A : normal BC ; médiatrice de [AB] : normal AB, passe par le milieu.
- Cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r : (x − a)² + (y − b)² = r² ; cercle de diamètre [AB] : MA·MB = 0.
- Forme développée : on complète les carrés ; second membre positif, nul ou négatif selon le cas.
- Tangente en A : perpendiculaire à (ΩA), de vecteur normal ΩA.
- Droite et cercle : on substitue, on étudie le discriminant (2, 1 ou 0 point commun).