Que devient le nombre de bactéries d’une culture au bout de très longtemps ? Et la quantité de médicament restant dans le sang après des dizaines de prises ? Étudier la limite d’une suite, c’est prédire le comportement de u_n lorsque n devient immense. Dans ce chapitre, tu apprends à dire si une suite explose, se stabilise ou ne se décide pas, à calculer des limites avec des règles sûres, à lever les cas douteux, à encadrer une suite pour la piéger, à maîtriser les suites géométriques, et à écrire un programme Python qui cherche à partir de quel rang une valeur est dépassée.
1. Rappels : suites, monotonie, majorant
Une suite (un) associe à chaque entier n (à partir d’un certain rang) un réel un. Tu l’as définie de deux façons : explicitement (un = 3n + 2) ou par récurrence (u0 = 1 et un+1 = 0,5 un + 4). Voici le vocabulaire utile pour la suite du chapitre.
- (un) est croissante si un+1 ≥ un pour tout n ; décroissante si un+1 ≤ un ; monotone si elle est l’un ou l’autre. Pour le prouver, on étudie le signe de un+1 − un (ou on compare un+1/un à 1 si tous les termes sont strictement positifs).
- (un) est majorée s’il existe un réel M tel que un ≤ M pour tout n ; minorée s’il existe m tel que un ≥ m ; bornée si elle est les deux.
- Le raisonnement par récurrence démontre qu’une propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ n0 : on vérifie P(n0) (initialisation), puis on prouve que P(n) ⇒ P(n+1) (hérédité).
Pour tout réel a ≥ 0 (et même a ≥ −1) et tout entier n ≥ 0 : (1 + a)n ≥ 1 + na.
Démonstration. Par récurrence sur n. Initialisation : pour n = 0, (1 + a)0 = 1 ≥ 1 + 0. Hérédité : supposons (1 + a)n ≥ 1 + na pour un entier n. Comme 1 + a ≥ 0, on multiplie par (1 + a) : (1 + a)n+1 ≥ (1 + na)(1 + a) = 1 + (n + 1)a + na² ≥ 1 + (n + 1)a, car na² ≥ 0. La propriété est donc vraie au rang n + 1, donc pour tout n.
2. Limite infinie
On dit que (un) tend vers +∞ si tout intervalle [A ; +∞[ contient tous les termes un à partir d’un certain rang. Autrement dit : quel que soit le réel A, on a un ≥ A dès que n est assez grand. On écrit limn→+∞ un = +∞.
De même, (un) tend vers −∞ si, pour tout réel A, on a un ≤ A à partir d’un certain rang : limn→+∞ un = −∞.
limn→+∞ n = +∞ ; limn→+∞ n² = +∞ ; limn→+∞ nk = +∞ pour tout entier k ≥ 1 ; limn→+∞ √n = +∞.
Soit un = 3n + 2. On veut un > 1 000. On résout 3n + 2 > 1 000 ⇔ n > 332,67. Donc un > 1 000 dès que n ≥ 333. Comme on peut faire de même avec n’importe quel A, limn→+∞ un = +∞.
Toute suite croissante et non majorée tend vers +∞.
Démonstration. Soit A un réel. Comme (un) n’est pas majorée, A n’est pas un majorant : il existe un rang p tel que up > A. La suite étant croissante, pour tout n ≥ p, un ≥ up > A. Ainsi tout intervalle [A ; +∞[ contient les termes à partir du rang p : limn→+∞ un = +∞.
Une suite qui tend vers +∞ n’est pas forcément croissante : un = n + 2(−1)n tend vers +∞ mais n’est pas monotone. Et une suite non majorée ne tend pas forcément vers +∞ : un = n × (1 + (−1)n) vaut 0 pour n impair, et 2n pour n pair.
3. Limite finie et convergence
La suite (un) converge vers le réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes un à partir d’un certain rang. On écrit limn→+∞ un = ℓ. Une suite qui ne converge pas est dite divergente (elle tend vers ±∞, ou elle n’a pas de limite).
Concrètement, tu choisis une « bande » aussi étroite que tu veux autour de ℓ, par exemple ]ℓ − 0,001 ; ℓ + 0,001[ : les termes finissent tous par y rester. Sur la figure, la bande orangée autour de ℓ = 2 contient les points à partir du rang 10.
Si une suite converge, sa limite est unique. Et :
limn→+∞ 1/n = 0 ; limn→+∞ 1/n² = 0 ; limn→+∞ 1/nk = 0 (k entier ≥ 1) ; limn→+∞ 1/√n = 0. Une suite constante égale à c converge vers c.
Si (un) converge, alors elle est bornée. La réciproque est fausse : un = (−1)n est bornée mais n’a pas de limite.
Ne confonds pas « n’a pas de limite » et « tend vers l’infini ». La suite (−1)n alterne entre −1 et 1 : elle est divergente sans tendre vers +∞ ni −∞. Ne dis jamais que sa limite « est 1 » ou « est −1 ».
4. Opérations sur les limites
Dans les tableaux suivants, ℓ et ℓ′ sont des réels, et « F.I. » désigne une forme indéterminée : on ne peut pas conclure directement (voir la partie 5).
Somme limn→+∞(un + vn)
| limn→+∞ un | ℓ | ℓ | +∞ | −∞ | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| limn→+∞ vn | ℓ′ | ±∞ | +∞ | −∞ | −∞ |
| limn→+∞(un + vn) | ℓ + ℓ′ | ±∞ | +∞ | −∞ | F.I. |
Produit limn→+∞(un × vn) (on applique la règle des signes pour ±∞)
| limn→+∞ un | ℓ | ℓ ≠ 0 | 0 | ±∞ |
|---|---|---|---|---|
| limn→+∞ vn | ℓ′ | ±∞ | ±∞ | ±∞ |
| limn→+∞(un × vn) | ℓ × ℓ′ | ±∞ | F.I. | ±∞ |
Quotient limn→+∞(un / vn)
| limn→+∞ un | ℓ | ℓ | ±∞ | ±∞ | ℓ ≠ 0 ou ±∞ | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| limn→+∞ vn | ℓ′ ≠ 0 | ±∞ | ℓ′ | ±∞ | 0 (vn de signe constant) | 0 |
| limn→+∞(un / vn) | ℓ / ℓ′ | 0 | ±∞ | F.I. | ±∞ | F.I. |
- un = 5 + 3/n² : limn→+∞ 3/n² = 0, donc limn→+∞ un = 5.
- un = (n + 1)(n² − 4) : limn→+∞ (n + 1) = +∞ et limn→+∞ (n² − 4) = +∞, donc limn→+∞ un = +∞ (produit).
- un = 4/(n + 7) : le dénominateur tend vers +∞ et le numérateur est constant, donc limn→+∞ un = 0.
- un = 6/(1/n) = 6n : le dénominateur tend vers 0 en restant positif, donc limn→+∞ un = +∞.
5. Lever une forme indéterminée
Les quatre formes indéterminées sont : +∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞ et 0/0. Dans ces cas, il faut transformer l’expression avant de calculer la limite.
Pour un polynôme en n, on met en facteur le terme de plus haut degré. Exemple : un = n² − 5n. On a ∞ − ∞. On écrit un = n²(1 − 5/n). Or limn→+∞ (1 − 5/n) = 1 et limn→+∞ n² = +∞, donc limn→+∞ un = +∞.
Règle : la limite d’un polynôme en n est celle de son terme de plus haut degré.
On met en facteur, au numérateur et au dénominateur, la plus grande puissance de n. Exemple : un = (3n² + n)/(n² − 4) = n²(3 + 1/n) / n²(1 − 4/n²) = (3 + 1/n)/(1 − 4/n²). Donc limn→+∞ un = 3/1 = 3.
Règle : la limite d’une fraction rationnelle est celle du quotient des termes de plus haut degré : si les degrés sont égaux, on obtient le quotient des coefficients ; si le degré du numérateur est plus petit, la limite est 0 ; s’il est plus grand, la limite est infinie (signe par la règle des signes).
Pour un = √(n + 3) − √n (forme +∞ − ∞), on multiplie et on divise par la quantité conjuguée √(n + 3) + √n : un = ((n + 3) − n) / (√(n + 3) + √n) = 3/(√(n + 3) + √n). Le dénominateur tend vers +∞, donc limn→+∞ un = 0.
On n’écrit jamais « +∞ − ∞ = 0 » ni « ∞/∞ = 1 » : ce sont des formes indéterminées dont la valeur dépend de l’expression. Par exemple n² − n et n − n² sont deux formes +∞ − ∞ de limites +∞ et −∞.
6. Comparaison et théorème des gendarmes
Soit (un) et (vn) deux suites telles que un ≤ vn à partir d’un certain rang.
- Si limn→+∞ un = +∞, alors limn→+∞ vn = +∞.
- Si limn→+∞ vn = −∞, alors limn→+∞ un = −∞.
Démonstration de la première propriété. Soit A un réel. Comme limn→+∞ un = +∞, il existe p tel que un ≥ A pour tout n ≥ p. Il existe aussi n0 tel que un ≤ vn pour n ≥ n0. Donc, pour tout n ≥ max(p ; n0), vn ≥ un ≥ A : limn→+∞ vn = +∞.
Soit (un), (vn), (wn) trois suites et ℓ un réel. Si, à partir d’un certain rang, vn ≤ un ≤ wn, et si limn→+∞ vn = limn→+∞ wn = ℓ, alors (un) converge et limn→+∞ un = ℓ.
Les deux « gendarmes » vn et wn encadrent la suite (un) et la forcent à les suivre vers ℓ.
(1) un = n + 2 sin(n). Comme −1 ≤ sin(n) ≤ 1, on a un ≥ n − 2. Or limn→+∞ (n − 2) = +∞, donc par comparaison limn→+∞ un = +∞.
(2) un = sin(n)/n pour n ≥ 1. De −1 ≤ sin(n) ≤ 1 on tire, en divisant par n > 0 : −1/n ≤ un ≤ 1/n. Les deux bornes tendent vers 0, donc, d’après le théorème des gendarmes, limn→+∞ un = 0.
On cherche un encadrement de la partie « gênante » (sin, cos, (−1)n, …) : −1 ≤ cos(n) ≤ 1. On multiplie ou on ajoute pour former un (attention aux signes lorsque l’on multiplie !), puis on choisit : une seule minoration (ou majoration) si la limite est infinie, deux bornes de même limite si la suite converge.
7. Suites géométriques
Soit q un réel.
- Si q > 1 : limn→+∞ qn = +∞.
- Si q = 1 : la suite est constante égale à 1, donc limn→+∞ qn = 1.
- Si −1 < q < 1 : limn→+∞ qn = 0.
- Si q ≤ −1 : la suite (qn) n’a pas de limite.
Cas q > 1. On pose q = 1 + a avec a > 0. D’après l’inégalité de Bernoulli, qn ≥ 1 + na. Comme a > 0, limn→+∞ (1 + na) = +∞, donc par comparaison limn→+∞ qn = +∞.
Cas 0 < q < 1. Alors 1/q > 1, donc limn→+∞ (1/q)n = +∞, et qn = 1/(1/q)n tend vers 0.
Cas −1 < q < 0. On a |q|n → 0 d’après le cas précédent, et −|q|n ≤ qn ≤ |q|n : par les gendarmes, limn→+∞ qn = 0.
- un = 5 × (0,6)n : 0 < 0,6 < 1 donc limn→+∞ un = 0.
- un = 4 − 3 × (1/2)n : limn→+∞ (1/2)n = 0, donc limn→+∞ un = 4.
- un = −2 × 3n : limn→+∞ 3n = +∞, donc limn→+∞ un = −∞.
Pour q ≠ 1 : 1 + q + q² + … + qn = (1 − qn+1)/(1 − q). Si −1 < q < 1, cette somme tend vers 1/(1 − q) quand n tend vers +∞ ; si q ≥ 1, elle tend vers +∞. Exemple : 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2n = 2 − 1/2n tend vers 2.
Pour une suite géométrique de raison q et de premier terme u0, un = u0 qn. Si u0 < 0 et q > 1, la limite est −∞ (et non +∞) : on multiplie la limite de qn par le signe de u0.
8. Suites monotones et suites récurrentes
- Toute suite croissante et majorée converge.
- Toute suite décroissante et minorée converge.
- Toute suite croissante non majorée tend vers +∞ (démontré plus haut) ; toute suite décroissante non minorée tend vers −∞.
Attention : le théorème donne l’existence de la limite, pas sa valeur. Le majorant n’est pas la limite.
Soit (un) définie par un+1 = f(un) avec f continue. Si (un) converge vers ℓ, alors ℓ vérifie ℓ = f(ℓ). On résout cette équation pour trouver les valeurs possibles de ℓ.
Soit u0 = 0 et un+1 = √(un + 2).
- 0 ≤ un ≤ 2 pour tout n. Initialisation : u0 = 0. Hérédité : si 0 ≤ un ≤ 2, alors 2 ≤ un + 2 ≤ 4, donc √2 ≤ un+1 ≤ 2 (la racine est croissante), donc 0 ≤ un+1 ≤ 2.
- (un) est croissante. un+1 − un = (un + 2 − u_n²)/(√(un + 2) + un) = (2 − un)(1 + un)/(√(un + 2) + un) ≥ 0, car 0 ≤ un ≤ 2.
- Convergence. (un) est croissante et majorée par 2 : elle converge vers un réel ℓ.
- Valeur de ℓ. ℓ = √(ℓ + 2), donc ℓ ≥ 0 et ℓ² = ℓ + 2, soit ℓ² − ℓ − 2 = 0, dont les racines sont −1 et 2. Comme ℓ ≥ 0, ℓ = 2.
9. Algorithmes de seuil en Python
Savoir qu’une suite tend vers +∞ garantit qu’elle dépassera n’importe quel seuil ; un algorithme permet de trouver le premier rang où cela se produit. On utilise une boucle while tant que la condition n’est pas réalisée.
On veut le plus petit entier n tel que un > 1 000 pour u0 = 2 et un+1 = 1,5 un + 1.
def seuil(S):
n = 0
u = 2
while u <= S:
u = 1.5 * u + 1
n = n + 1
return n
print(seuil(1000))
La boucle s’arrête dès que u > S, et n contient alors le premier rang qui convient. Pour une suite qui tend vers 0 ou vers une limite ℓ, on change la condition (par exemple while abs(u - 5) >= 0.001).
La condition du while est celle pour continuer, c’est la négation de ce que l’on cherche : pour trouver u > S, on écrit while u <= S. Pense aussi à vérifier à la main le rang obtenu : un doit dépasser le seuil, et un−1 non.
Pour une suite géométrique décroissante comme un = 200 × 0,9n, la boucle while u >= 5 donne n = 36 : on a bien 200 × 0,936 < 5 alors que 200 × 0,935 ≥ 5.
À retenir
- limn→+∞ un = +∞ : un dépasse tout réel A à partir d’un certain rang ; limn→+∞ un = ℓ : un finit par rester dans tout intervalle ouvert autour de ℓ.
- Références : n, n², √n → +∞ ; 1/n, 1/n², 1/√n → 0.
- Un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré ; une fraction rationnelle comme le quotient des termes dominants.
- Formes indéterminées : +∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0. On factorise, on simplifie ou on utilise la quantité conjuguée.
- Comparaison : un ≤ vn et un → +∞ ⇒ vn → +∞. Gendarmes : vn ≤ un ≤ wn, vn et wn → ℓ ⇒ un → ℓ.
- q > 1 : qn → +∞ ; −1 < q < 1 : qn → 0 ; q ≤ −1 : pas de limite.
- Croissante majorée (ou décroissante minorée) ⇒ convergente ; la limite ℓ d’une suite un+1 = f(un) vérifie ℓ = f(ℓ).
- Un algorithme de seuil utilise une boucle while dont la condition est la négation de l’objectif.