Une équation, c’est une énigme : « quel nombre rend cette égalité vraie ? ». En 3ème, tu passes à la vitesse supérieure. Tu résous des équations du premier degré, des équations produit, des inéquations dont tu représentes les solutions sur une droite graduée, puis des systèmes de deux équations à deux inconnues. Tu t’en serviras enfin pour résoudre des problèmes concrets.
- Une égalité reste vraie si on ajoute (ou retranche) le même nombre aux deux membres.
- Elle reste vraie si on multiplie (ou divise) les deux membres par le même nombre non nul.
- Un produit de facteurs est nul si l’un au moins des facteurs est nul.
- Pour développer : k(a + b) = ka + kb, avec attention aux signes.
1. Équations du premier degré (rappel)
Une équation est une égalité qui contient une lettre, appelée inconnue. Une solution est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie. Résoudre l’équation, c’est trouver toutes ses solutions.
Le nombre 4 est-il solution de 3x − 5 = 2x + 1 ? À gauche : 3 × 4 − 5 = 7. À droite : 2 × 4 + 1 = 9. Comme 7 ≠ 9, 4 n’est pas solution. Pour x = 6 : 3 × 6 − 5 = 13 et 2 × 6 + 1 = 13, donc 6 est solution.
- Développer et réduire chaque membre si besoin.
- Regrouper les termes en x d’un côté et les nombres de l’autre.
- Diviser par le coefficient de x.
- Vérifier en remplaçant x dans l’équation de départ.
5x − 7 = 2x + 11
5x − 2x = 11 + 7 (on regroupe)
3x = 18
x = 183 = 6.
Vérification : 5 × 6 − 7 = 23 et 2 × 6 + 11 = 23. La solution est 6.
x+34 = x−12 : on multiplie les deux membres par 4 (le dénominateur commun).
x + 3 = 2(x − 1), donc x + 3 = 2x − 2, donc 5 = x.
Contrôle : 84 = 2 et 42 = 2. La solution est 5.
Quand tu changes un terme de côté, son signe change. Et n’oublie pas de multiplier tous les termes par le dénominateur commun, y compris ceux qui n’ont pas de fraction.
2. Les équations produit
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un au moins de ses facteurs est nul : A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.
- Vérifier que le second membre est 0 (sinon, on se ramène à 0 en passant tout d’un côté).
- Écrire que chaque facteur est nul.
- Résoudre chaque équation du premier degré obtenue.
- Conclure : « L’équation a pour solutions … et … ».
(2x − 1)(x + 6) = 0
2x − 1 = 0 ou x + 6 = 0
x = 12 ou x = −6.
Les solutions sont 12 et −6.
(x + 3)(2x − 1) = (x + 3)(x + 5)
(x + 3)(2x − 1) − (x + 3)(x + 5) = 0 (on passe tout à gauche)
(x + 3)[(2x − 1) − (x + 5)] = 0 (on factorise par x + 3)
(x + 3)(x − 6) = 0, donc x = −3 ou x = 6.
Ne divise jamais les deux membres par un facteur qui contient x : tu perdrais une solution (ici −3). Et si le second membre n’est pas 0, la propriété ne s’applique pas : (x − 2)(x + 1) = 4 ne donne pas x = 6 ou x = 3.
Une équation produit a au plus autant de solutions que de facteurs. Elle peut en avoir une seule : (x + 4)(x + 4) = 0 a pour unique solution −4.
3. Les inéquations du premier degré
Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue, avec l’un des symboles < (strictement inférieur), > (strictement supérieur), ≤ (inférieur ou égal), ≥ (supérieur ou égal). Une solution est un nombre qui rend l’inégalité vraie. En général, il y a une infinité de solutions.
- On peut ajouter ou retrancher le même nombre aux deux membres : le sens ne change pas.
- On peut multiplier ou diviser par un nombre positif : le sens ne change pas.
- Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l’inégalité est inversé.
On sait que 2 < 5. En multipliant par −3 : 2 × (−3) = −6 et 5 × (−3) = −15. Or −6 > −15. Le sens a bien changé.
3x − 5 ≤ 7 → 3x ≤ 12 → x ≤ 4.
−2x + 3 > 11 → −2x > 8 → x < −4 (on divise par −2 : le sens change).
Pour éviter de diviser par un nombre négatif, tu peux isoler le terme en x du côté positif : −2x + 3 > 11 devient 3 − 11 > 2x, soit −8 > 2x, donc x < −4. Même résultat, sans changer le sens.
4. Représenter les solutions sur une droite graduée
- On repère le nombre-borne sur la droite.
- On colorie la partie de la droite qui contient les solutions.
- On place un crochet à la borne : tourné vers les solutions si la borne est solution (≤ ou ≥), tourné vers l’extérieur si elle ne l’est pas (< ou >).
Solutions de x ≤ 4 : le 4 est inclus, le crochet est tourné vers la gauche (vers les solutions).
Solutions de x < −4 : le −4 est exclu, le crochet est tourné vers la droite (hors des solutions).
Si la partie coloriée part de 1 vers la droite avec un crochet fermé en 1, l’ensemble des solutions est x ≥ 1. Pour une double condition comme −2 < x ≤ 3, on colorie entre −2 (exclu) et 3 (inclus). Les entiers solutions sont −1, 0, 1, 2 et 3.
5. Systèmes de deux équations à deux inconnues
Un système de deux équations à deux inconnues x et y est formé de deux équations dont on cherche les solutions communes. Une solution est un couple (x ; y) qui vérifie les deux équations en même temps.
Le couple (4 ; 3) est-il solution de x + y = 7 et 2x − y = 5 ? 4 + 3 = 7 et 2 × 4 − 3 = 5. Les deux égalités sont vraies : oui. Le couple (5 ; 2) vérifie la première (5 + 2 = 7) mais pas la seconde (10 − 2 = 8 ≠ 5) : non.
Un couple qui ne vérifie qu’une seule équation n’est pas solution du système. L’ordre compte : (4 ; 3) n’est pas la même chose que (3 ; 4).
6. Résoudre par substitution
- Dans une équation, exprimer une inconnue en fonction de l’autre (par exemple y = 12 − x).
- Remplacer cette inconnue dans l’autre équation : on obtient une équation à une seule inconnue.
- La résoudre.
- Calculer l’autre inconnue, puis vérifier dans les deux équations.
Système : x + y = 12 et 3x + 2y = 29.
De la première : y = 12 − x.
Dans la seconde : 3x + 2(12 − x) = 29, donc 3x + 24 − 2x = 29, donc x = 5.
Alors y = 12 − 5 = 7.
Vérification : 5 + 7 = 12 et 3 × 5 + 2 × 7 = 29. La solution est le couple (5 ; 7).
Quand une inconnue a pour coefficient 1 (ou −1) dans une équation : l’isoler est alors facile et sans fractions.
7. Résoudre par combinaison
- Multiplier une équation (ou les deux) pour que les coefficients d’une inconnue soient opposés (ou égaux).
- Additionner (ou soustraire) membre à membre les deux équations : cette inconnue disparaît.
- Résoudre l’équation obtenue.
- Remplacer dans une équation pour trouver l’autre inconnue, puis vérifier.
Système : 3x + 2y = 16 et 5x − 3y = 14.
On veut faire disparaître y : on multiplie la première par 3 et la seconde par 2.
9x + 6y = 48 et 10x − 6y = 28.
On additionne : 19x = 76, donc x = 4.
Dans la première : 3 × 4 + 2y = 16, donc 2y = 4, donc y = 2.
Vérification : 5 × 4 − 3 × 2 = 14. La solution est (4 ; 2).
Quand tu multiplies une équation, multiplie bien les deux membres. Et en soustrayant, attention aux signes : soustraire −6y revient à ajouter 6y.
8. Interprétation graphique d’un système
Une équation comme y = x + 1 est celle d’une droite : chaque couple solution est un point de cette droite. Résoudre un système, c’est donc chercher les points communs aux deux droites.
Le système y = x + 1 et y = −x + 5 : les droites d1 et d2 se coupent en A(2 ; 3). Le couple (2 ; 3) est l’unique solution.
- Les droites sont sécantes : une seule solution (le point d’intersection).
- Les droites sont parallèles distinctes : aucune solution.
- Les droites sont confondues : une infinité de solutions.
2x + y = 3 et 4x + 2y = 7. En doublant la première : 4x + 2y = 6. Or 6 ≠ 7 : c’est impossible. Les droites sont parallèles, pas de solution.
9. Mettre un problème en équation ou en système
- Choisir l’inconnue (ou les deux) et la définir par une phrase : « Soit x le prix d’un cahier, en euros ».
- Traduire l’énoncé par une équation, une inéquation ou un système.
- Résoudre.
- Vérifier que la solution a du sens (un nombre de personnes est entier et positif) et qu’elle convient à l’énoncé.
- Conclure par une phrase réponse avec l’unité.
Un jardinier clôture un rectangle dont la longueur dépasse la largeur de 3 m, avec 46 m de grillage. Soit x la largeur (en m). Le périmètre vaut 2(x + x + 3) = 46, donc 4x + 6 = 46, donc x = 10. Le rectangle mesure 10 m sur 13 m.
On a 25 pièces de 1 € et de 2 €, pour 38 € au total. Soit x le nombre de pièces de 1 € et y celui de 2 €. Alors x + y = 25 et x + 2y = 38. En soustrayant : y = 13, puis x = 12. Il y a 12 pièces de 1 € et 13 pièces de 2 € (12 + 26 = 38).
Bip ! Écris toujours ce que représente chaque lettre avant de poser une équation. Sans cette phrase, même un robot se perd dans ses inconnues.
À retenir
- Une équation se résout en gardant l’égalité : on fait la même opération sur les deux membres.
- A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0 (le second membre doit être 0).
- Pour une inéquation, on inverse le sens quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
- Sur la droite graduée, le crochet est tourné vers les solutions si la borne est incluse (≤, ≥), vers l’extérieur sinon (<, >).
- Une solution d’un système est un couple qui vérifie les deux équations.
- Substitution : on isole une inconnue, on la remplace dans l’autre équation.
- Combinaison : on fabrique des coefficients opposés, on additionne pour éliminer une inconnue.
- Graphiquement, un système a 0, 1 ou une infinité de solutions selon la position des deux droites.
- Pour un problème : inconnue définie, mise en équation, résolution, vérification, phrase réponse.