Remises en magasin, hausse du prix de l’énergie, croissance d’une population, résultats d’un sondage : les pourcentages sont partout, et on les utilise souvent mal. En 2de, tu vas apprendre à les manier avec rigueur : calculer des proportions, enchaîner des évolutions, trouver l’évolution qui annule une autre, et suivre une grandeur grâce aux indices. Un seul outil servira à tout : le coefficient multiplicateur.
Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : 35 % = 35100 = 0,35. Prendre 35 % d’une quantité, c’est la multiplier par 0,35. Pour passer d’un nombre décimal à un pourcentage, on multiplie par 100 : 0,07 = 7 %.
1. Proportion et pourcentage
Si un ensemble (la population) compte N éléments et qu’une partie (la sous-population) en compte n, la proportion de la partie dans l’ensemble est le quotient nN. On l’exprime sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. Elle est toujours comprise entre 0 et 1 (entre 0 % et 100 %) quand la partie est contenue dans l’ensemble.
Dans une chorale de 45 personnes, 18 sont des ténors. La proportion de ténors est 1845 = 25 = 0,4 = 40 %.
- Trouver la partie : partie = proportion × total. Exemple : 30 % de 250 élèves, c’est 0,30 × 250 = 75 élèves.
- Trouver le total : total = partie ÷ proportion. Exemple : 75 élèves représentent 30 % du total, donc le total est 75 ÷ 0,30 = 250.
Une proportion se rapporte toujours à un ensemble de référence. « 40 % des élèves sont des filles » et « 40 % des filles font du judo » ne parlent pas du même ensemble de référence : ne les mélange pas !
2. Proportion d’une proportion
Il arrive que l’on cherche la part d’une partie. Imagine trois ensembles emboîtés : un ensemble A, une partie B de A, puis une partie C de B.
Si B représente une proportion p1 de A et si C représente une proportion p2 de B, alors C représente la proportion p1 × p2 de A.
Justification. Si A compte N éléments, B en compte p1 × N, puis C en compte p2 × (p1 × N) = (p1 × p2) × N.
Dans une bibliothèque, 60 % des lecteurs empruntent des romans, et 25 % des lecteurs de romans choisissent des policiers. Proportion de lecteurs de policiers : 0,60 × 0,25 = 0,15, soit 15 % (et non 85 % ni 35 %).
Quand un taux passe de 12 % à 15 %, il augmente de 3 points de pourcentage. Mais ce n’est pas une hausse de 3 % : la hausse relative est 312 = 25 %. Les « points » comparent deux pourcentages, le « % » exprime une évolution relative.
3. Variation absolue, variation relative, taux d’évolution
Une grandeur passe d’une valeur initiale Vi à une valeur finale Vf.
- La variation absolue est Vf − Vi (elle s’exprime dans l’unité de la grandeur).
- La variation relative, ou taux d’évolution, est t = Vf − ViVi (elle n’a pas d’unité ; on l’exprime en pourcentage).
Si t > 0, c’est une hausse ; si t < 0, c’est une baisse.
Un abonnement passe de 40 € à 46 €. Variation absolue : 46 − 40 = +6 €. Taux d’évolution : 640 = 0,15, soit +15 %. Un autre passe de 80 € à 68 € : variation −12 €, taux −1280 = −0,15, soit −15 %.
On divise toujours par la valeur initiale, jamais par la finale. Et un taux ne s’additionne pas à n’importe quoi : de 40 à 46 on a +15 %, mais de 46 à 40 on n’a pas −15 % (on calcule −646 ≈ −13 %).
4. Le coefficient multiplicateur
Augmenter une valeur de t % revient à la multiplier par c = 1 + t100. Réciproquement, si une grandeur est multipliée par c, son taux d’évolution est t = c − 1. Le nombre c est le coefficient multiplicateur.
Justification. Vf = Vi + t × Vi = Vi × (1 + t), avec t écrit sous forme décimale.
| Évolution | Calcul | Coefficient multiplicateur |
|---|---|---|
| hausse de 8 % | 1 + 0,08 | 1,08 |
| baisse de 8 % | 1 − 0,08 | 0,92 |
| hausse de 100 % (doubler) | 1 + 1 | 2 |
| baisse de 50 % (diviser par 2) | 1 − 0,5 | 0,5 |
| hausse de 250 % | 1 + 2,5 | 3,5 |
- Écris le coefficient : c = 1 + t (hausse) ou 1 − |t| (baisse).
- Calcule Vf = c × Vi.
Exemple : un jeu à 45 € baisse de 20 % : c = 0,80 et 45 × 0,80 = 36 €.
Si c > 1, la grandeur augmente ; si 0 < c < 1, elle diminue. Un coefficient ne peut jamais être négatif dans ce chapitre : une baisse de 100 % donne c = 0 (la valeur s’annule).
5. Évolutions successives
Quand plusieurs évolutions se suivent, les coefficients multiplicateurs se multiplient. Si c1 puis c2 s’appliquent, le coefficient global est c = c1 × c2 et le taux global est c − 1.
Un loyer augmente de 20 % puis de 30 %. Coefficient global : 1,2 × 1,3 = 1,56. Le taux global est 1,56 − 1 = +56 %, et non 20 % + 30 % = 50 %. Sur le schéma, on part de 100 pour mieux lire le résultat.
La seconde évolution s’applique à la valeur déjà modifiée. Une baisse de 10 % suivie d’une baisse de 10 % donne 0,9 × 0,9 = 0,81, soit −19 % et non −20 %.
Les évolutions peuvent être de sens contraire : +50 % puis −50 % donne 1,5 × 0,5 = 0,75, soit −25 %. On ne revient pas au point de départ !
6. Évolution réciproque
L’évolution réciproque d’une évolution de coefficient c est l’évolution qui ramène à la valeur de départ. Son coefficient est cr = 1c (avec c ≠ 0) et son taux est tr = cr − 1.
Justification. On veut c × cr = 1 pour que le résultat soit V, d’où cr = 1c.
Une rivière monte de 25 % : c = 1,25. Pour revenir au niveau de départ, il faut cr = 11,25 = 0,8, soit une baisse de 20 %. Dans l’autre sens, une baisse de 20 % se « rattrape » par une hausse de 25 % (1 ÷ 0,8 = 1,25).
L’évolution réciproque d’une hausse de 25 % n’est pas une baisse de 25 %. Plus la hausse est forte, plus la baisse nécessaire est (en pourcentage) importante, mais elle reste toujours inférieure à 100 %.
Si on connaît Vf et le taux t : Vi = Vfc. Exemple : après une hausse de 8 %, un article coûte 54 € ; avant, il coûtait 54 ÷ 1,08 = 50 €. On ne retranche jamais 8 % de 54 !
7. Indices en base 100
Choisir une base 100, c’est décider qu’une valeur de référence (à une date donnée) correspond à l’indice 100. L’indice d’une autre valeur V est alors I = VVref × 100. Un indice est un nombre sans unité.
Les indices permettent de comparer rapidement des évolutions : de l’indice 100 à l’indice 125, la grandeur a augmenté de 25 %. En général, de l’indice I1 à l’indice I2, le coefficient est I2I1.
Sur le diagramme, entre 2019 (indice 100) et 2022 (indice 121), la hausse est de +21 %. Entre 2022 et 2023 : 115121 ≈ 0,950, soit une baisse d’environ 5 %. Attention : on ne compare pas 2022 et 2023 avec la différence 121 − 115 = 6 « points », mais par le quotient, car la base 100 est en 2019.
Entre deux dates quelconques, la différence d’indices n’est un taux d’évolution que si la date de départ est la base 100.
8. Résoudre un problème : choisir le bon outil
| Je dois… | Je fais… |
|---|---|
| calculer une partie d’un tout | proportion × total |
| calculer la part d’une partie | multiplier les deux proportions |
| calculer une valeur après évolution | Vf = c × Vi |
| trouver le taux entre deux valeurs | t = (Vf − Vi) ÷ Vi |
| enchaîner plusieurs évolutions | c = c1 × c2 × … |
| revenir à la valeur de départ | coefficient 1 ÷ c ; ou Vi = Vf ÷ c |
Un vélo coûte 600 €. Le magasin applique −10 % puis −20 % supplémentaires. Coefficient global : 0,9 × 0,8 = 0,72. Prix final : 600 × 0,72 = 432 €. Le taux global est −28 %, donc les deux remises ne valent pas −30 %. Pour retrouver les 600 € à partir de 432 €, il faudrait une hausse de 10,72 − 1 ≈ 0,3889, soit environ +38,9 %.
Bip bip ! Avant de calculer, demande-toi toujours : « Par quoi je multiplie ? » Si tu sais écrire le coefficient multiplicateur, tu as déjà presque gagné !
À retenir
- Proportion = partie ÷ total ; partie = proportion × total ; total = partie ÷ proportion.
- Proportion d’une proportion : on multiplie les proportions (0,6 × 0,25 = 0,15).
- Taux d’évolution : t = (Vf − Vi) ÷ Vi ; on divise par la valeur initiale.
- Coefficient multiplicateur : c = 1 + t ; Vf = c × Vi.
- Évolutions successives : les coefficients se multiplient, les taux ne s’additionnent pas.
- Évolution réciproque : coefficient 1 ÷ c ; une hausse de 25 % se compense par une baisse de 20 %.
- Valeur initiale : Vi = Vf ÷ c.
- Indice base 100 : I = V ÷ Vref × 100 ; comparer deux indices par leur quotient.
- Différencier « points de pourcentage » (écart entre deux taux) et « % » (variation relative).