En 5ème, tu as appris à calculer avec des fractions positives. Cette année, tu élargis ton territoire : le numérateur et le dénominateur peuvent être négatifs ou décimaux, et tu découvres les nombres rationnels. Tu vas apprendre à les simplifier, comparer, additionner, soustraire, multiplier et diviser, sans jamais te tromper de signe. Chaque partie se termine par une méthode à retenir.
1. Rappels : ce que tu sais déjà
Fraction partage
Quand on partage une unité en b parts égales et qu’on en prend a, on obtient la fraction ab. Le dénominateur b donne le nom de la part (huitièmes, cinquièmes…) ; le numérateur a donne leur nombre.
Quand on partage une unité en b parts égales et qu’on en prend a, on obtient la fraction ab. Le dénominateur b donne le nom de la part (huitièmes, cinquièmes…) ; le numérateur a donne leur nombre.
Ce rectangle est partagé en 8 parts égales ; 3 sont coloriées : on a colorié 38 du rectangle.
Rappels en vrac
Les multiples et diviseurs d’un entier, les critères de divisibilité (par 2, 3, 5, 9, 10), l’égalité 23 = 46 et l’addition de fractions de même dénominateur : 37 + 27 = 57. Prendre 25 de 30, c’est faire 30 ÷ 5 × 2 = 12.
Les multiples et diviseurs d’un entier, les critères de divisibilité (par 2, 3, 5, 9, 10), l’égalité 23 = 46 et l’addition de fractions de même dénominateur : 37 + 27 = 57. Prendre 25 de 30, c’est faire 30 ÷ 5 × 2 = 12.
2. Quotient et nombres rationnels
Quotient
Soient a et b deux nombres, b étant non nul. Le quotient ab est le nombre qui, multiplié par b, donne a : ab × b = a. On l’écrit aussi a ÷ b.
Soient a et b deux nombres, b étant non nul. Le quotient ab est le nombre qui, multiplié par b, donne a : ab × b = a. On l’écrit aussi a ÷ b.
Exemple
Le nombre qui, multiplié par 5, donne 2 est 25, car 25 × 5 = 2. Le nombre qui, multiplié par 4, donne −3 est −34 = −0,75.
Le nombre qui, multiplié par 5, donne 2 est 25, car 25 × 5 = 2. Le nombre qui, multiplié par 4, donne −3 est −34 = −0,75.
Vocabulaire
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme un quotient de deux nombres entiers relatifs (le dénominateur étant non nul). Une fraction est un quotient de deux entiers. Une écriture fractionnaire est un quotient dont le numérateur ou le dénominateur n’est pas forcément entier, par exemple 2,54 ou 70,3. Un pourcentage est une écriture fractionnaire de dénominateur 100 : 8 % = 8100.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme un quotient de deux nombres entiers relatifs (le dénominateur étant non nul). Une fraction est un quotient de deux entiers. Une écriture fractionnaire est un quotient dont le numérateur ou le dénominateur n’est pas forcément entier, par exemple 2,54 ou 70,3. Un pourcentage est une écriture fractionnaire de dénominateur 100 : 8 % = 8100.
Les entiers (5 = 51), les décimaux (0,25 = 14) et les fractions sont tous des nombres rationnels. En revanche, π n’est pas rationnel : aucun quotient d’entiers ne le donne exactement. On ne divise jamais par 0 : l’écriture 30 n’a pas de sens.
Signe d’un quotient
Pour tous nombres a et b (b non nul) : −ab = a−b = −ab et −a−b = ab.
Un quotient est positif si numérateur et dénominateur ont le même signe, négatif s’ils ont des signes contraires.
Pour tous nombres a et b (b non nul) : −ab = a−b = −ab et −a−b = ab.
Un quotient est positif si numérateur et dénominateur ont le même signe, négatif s’ils ont des signes contraires.
Ramener le signe au numérateur
On écrit toujours un dénominateur positif. Exemples : 5−8 = −58 = −58 ; −7−3 = 73 ; −2−9 = 29.
On écrit toujours un dénominateur positif. Exemples : 5−8 = −58 = −58 ; −7−3 = 73 ; −2−9 = 29.
Piège
Le signe « − » devant une fraction porte sur toute la fraction : −34 = −34, et pas −3−4 (qui, lui, vaut +34).
Le signe « − » devant une fraction porte sur toute la fraction : −34 = −34, et pas −3−4 (qui, lui, vaut +34).
3. Égalité de fractions et simplification
Propriété fondamentale
On ne change pas un quotient en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre k non nul :
a×kb×k = ab et a÷kb÷k = ab.
On ne change pas un quotient en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre k non nul :
a×kb×k = ab et a÷kb÷k = ab.
Justification
Pourquoi 3×54×5 = 34 ? Parce que 1520 × 20 = 15, et que 34 × 20 = 15 aussi : les deux nombres multipliés par 20 donnent 15, ils sont donc égaux.
Pourquoi 3×54×5 = 34 ? Parce que 1520 × 20 = 15, et que 34 × 20 = 15 aussi : les deux nombres multipliés par 20 donnent 15, ils sont donc égaux.
Compléter une égalité de fractions
On cherche par quel nombre on est passé d’un dénominateur à l’autre. 2,46 = ?15 : 6 × 2,5 = 15 ; donc ? = 2,4 × 2,5 = 6. Ainsi 2,46 = 615.
On cherche par quel nombre on est passé d’un dénominateur à l’autre. 2,46 = ?15 : 6 × 2,5 = 15 ; donc ? = 2,4 × 2,5 = 6. Ainsi 2,46 = 615.
Égalité des produits en croix
Pour b et d non nuls : ab = cd équivaut à a × d = b × c.
Pour b et d non nuls : ab = cd équivaut à a × d = b × c.
Exemple
−69 et 2−3 sont-ils égaux ? Produits en croix : (−6) × (−3) = 18 et 9 × 2 = 18. Ils sont égaux, donc −69 = 2−3. En revanche, 25 et 37 : 2 × 7 = 14 et 5 × 3 = 15, ils sont différents.
−69 et 2−3 sont-ils égaux ? Produits en croix : (−6) × (−3) = 18 et 9 × 2 = 18. Ils sont égaux, donc −69 = 2−3. En revanche, 25 et 37 : 2 × 7 = 14 et 5 × 3 = 15, ils sont différents.
Fraction irréductible
Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier, c’est-à-dire quand son numérateur et son dénominateur n’ont pas d’autre diviseur commun que 1.
Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier, c’est-à-dire quand son numérateur et son dénominateur n’ont pas d’autre diviseur commun que 1.
Simplifier une fraction
1) On détermine le signe et on le place au numérateur. 2) On cherche un diviseur commun (critères de divisibilité, tables). 3) On divise en haut et en bas. 4) On recommence jusqu’à obtenir une fraction irréductible.
Exemple : −84126 = −84126 ; 84 et 126 sont divisibles par 42 (84 = 2 × 42 et 126 = 3 × 42), donc −84126 = −23.
1) On détermine le signe et on le place au numérateur. 2) On cherche un diviseur commun (critères de divisibilité, tables). 3) On divise en haut et en bas. 4) On recommence jusqu’à obtenir une fraction irréductible.
Exemple : −84126 = −84126 ; 84 et 126 sont divisibles par 42 (84 = 2 × 42 et 126 = 3 × 42), donc −84126 = −23.
Aller plus vite
Si tu hésites sur le diviseur commun, divise par 2, par 3 ou par 5 plusieurs fois de suite. Le résultat est le même qu’en une seule étape avec le plus grand diviseur commun, c’est juste plus long ! Pour 90150 : ÷10 donne 915, puis ÷3 donne 35.
Si tu hésites sur le diviseur commun, divise par 2, par 3 ou par 5 plusieurs fois de suite. Le résultat est le même qu’en une seule étape avec le plus grand diviseur commun, c’est juste plus long ! Pour 90150 : ÷10 donne 915, puis ÷3 donne 35.
Écriture fractionnaire à virgule
Pour supprimer les virgules, on multiplie numérateur et dénominateur par 10, 100…. Exemple : 2,43,6 = 2436 = 23.
Pour supprimer les virgules, on multiplie numérateur et dénominateur par 10, 100…. Exemple : 2,43,6 = 2436 = 23.
4. Comparer des nombres rationnels
Même dénominateur positif
Si b > 0, deux quotients ab et cb sont rangés dans le même ordre que leurs numérateurs a et c. Les nombres négatifs sont rangés « à l’envers » de leur valeur absolue : −9 < −6.
Si b > 0, deux quotients ab et cb sont rangés dans le même ordre que leurs numérateurs a et c. Les nombres négatifs sont rangés « à l’envers » de leur valeur absolue : −9 < −6.
Comparer deux fractions
1) On met les signes au numérateur (dénominateur > 0). 2) On réduit au même dénominateur (un multiple commun, le plus petit si possible). 3) On compare les numérateurs.
Exemple : 56 et 79 : dénominateur commun 18, 56 = 1518 et 79 = 1418. Comme 15 > 14, 56 > 79.
1) On met les signes au numérateur (dénominateur > 0). 2) On réduit au même dénominateur (un multiple commun, le plus petit si possible). 3) On compare les numérateurs.
Exemple : 56 et 79 : dénominateur commun 18, 56 = 1518 et 79 = 1418. Comme 15 > 14, 56 > 79.
Avec des nombres négatifs
Comparons −38 et −512. Dénominateur commun 24 : −38 = −924 et −512 = −1024. Comme −9 > −10, on a −38 > −512.
Comparons −38 et −512. Dénominateur commun 24 : −38 = −924 et −512 = −1024. Comme −9 > −10, on a −38 > −512.
Piège classique
Parmi deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de 0. Donc −12 est plus grand que −34, même si 1 < 3 est « vrai » pour les numérateurs de départ.
Parmi deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de 0. Donc −12 est plus grand que −34, même si 1 < 3 est « vrai » pour les numérateurs de départ.
Sur une droite graduée, plus un nombre est à droite, plus il est grand. Ici une unité est partagée en 4 : A = −74, B = −34, C = 12 et D = 54.
On lit A < B < C < D : −74 < −34 < 12 < 54. Le point C est au milieu entre 0 et 1.
5. Additionner et soustraire
Même dénominateur
Pour b non nul : ab + cb = a+cb et ab − cb = a−cb. On additionne (ou soustrait) les numérateurs, on garde le dénominateur.
Pour b non nul : ab + cb = a+cb et ab − cb = a−cb. On additionne (ou soustrait) les numérateurs, on garde le dénominateur.
Dénominateurs différents
1) On cherche un multiple commun aux dénominateurs (le plus petit possible). 2) On réécrit chaque fraction avec ce dénominateur. 3) On additionne ou soustrait les numérateurs. 4) On simplifie si possible.
1) On cherche un multiple commun aux dénominateurs (le plus petit possible). 2) On réécrit chaque fraction avec ce dénominateur. 3) On additionne ou soustrait les numérateurs. 4) On simplifie si possible.
Exemple résolu
710 + 415 : le plus petit multiple commun de 10 et 15 est 30. 710 = 2130 et 415 = 830 ; donc 710 + 415 = 2930.
Avec un négatif : −35 + 12 = −610 + 510 = −110.
710 + 415 : le plus petit multiple commun de 10 et 15 est 30. 710 = 2130 et 415 = 830 ; donc 710 + 415 = 2930.
Avec un négatif : −35 + 12 = −610 + 510 = −110.
Soustraire = ajouter l’opposé
a − b = a + (−b). Ainsi 16 − 56 = 1−56 = −46 = −23. Si tu soustrais une fraction négative, deux signes « − » se transforment en « + » : 14 − (−12) = 14 + 12 = 34.
a − b = a + (−b). Ainsi 16 − 56 = 1−56 = −46 = −23. Si tu soustrais une fraction négative, deux signes « − » se transforment en « + » : 14 − (−12) = 14 + 12 = 34.
Erreur à ne jamais faire
12 + 13 n’est pas égal à 25 ! On n’additionne jamais les dénominateurs. Le bon calcul : 36 + 26 = 56.
12 + 13 n’est pas égal à 25 ! On n’additionne jamais les dénominateurs. Le bon calcul : 36 + 26 = 56.
6. Multiplier
Produit de deux quotients
Pour b et d non nuls : ab × cd = a×cb×d. On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour un entier : n × ab = n×ab.
Pour b et d non nuls : ab × cd = a×cb×d. On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour un entier : n × ab = n×ab.
Une figure aide à comprendre : prendre les 23 des 34 d’un rectangle revient à colorier 6 cases sur 12.
23 × 34 = 612 = 12 : le produit donne bien 6 cases sur 12.
Méthode soignée : signe d’abord, simplification ensuite
1) On détermine le signe du produit : positif s’il y a un nombre pair de facteurs négatifs, négatif sinon. 2) On simplifie avant de multiplier. 3) On multiplie.
Exemple : −712 × 821 est négatif. Comme 7 × 3 = 21 et 12 = 4 × 3, 8 = 4 × 2 : 7×812×21 = 7×4×24×3×7×3 = 29. Donc −712 × 821 = −29.
1) On détermine le signe du produit : positif s’il y a un nombre pair de facteurs négatifs, négatif sinon. 2) On simplifie avant de multiplier. 3) On multiplie.
Exemple : −712 × 821 est négatif. Comme 7 × 3 = 21 et 12 = 4 × 3, 8 = 4 × 2 : 7×812×21 = 7×4×24×3×7×3 = 29. Donc −712 × 821 = −29.
Multiplier ne veut pas toujours dire « agrandir »
Multiplier un nombre positif par une fraction inférieure à 1 donne un résultat plus petit : 34 × 12 = 38 < 34. Multiplier par une fraction supérieure à 1 l’agrandit : 34 × 53 = 54.
Multiplier un nombre positif par une fraction inférieure à 1 donne un résultat plus petit : 34 × 12 = 38 < 34. Multiplier par une fraction supérieure à 1 l’agrandit : 34 × 53 = 54.
7. Inverse et division
Inverse
Deux nombres sont inverses l’un de l’autre quand leur produit vaut 1. L’inverse d’un nombre non nul x est 1x. L’inverse de ab (a et b non nuls) est ba. Le nombre 0 n’a pas d’inverse.
Deux nombres sont inverses l’un de l’autre quand leur produit vaut 1. L’inverse d’un nombre non nul x est 1x. L’inverse de ab (a et b non nuls) est ba. Le nombre 0 n’a pas d’inverse.
Exemples
L’inverse de 7 est 17 ; celui de 35 est 53 ; celui de −4 est −14 ; celui de −29 est −92 ; celui de 0,5 est 2. Vérification : 35 × 53 = 1515 = 1.
L’inverse de 7 est 17 ; celui de 35 est 53 ; celui de −4 est −14 ; celui de −29 est −92 ; celui de 0,5 est 2. Vérification : 35 × 53 = 1515 = 1.
Diviser, c’est multiplier par l’inverse
Pour b, c et d non nuls : ab ÷ cd = ab × dc.
Pour b, c et d non nuls : ab ÷ cd = ab × dc.
Exemple résolu
34 ÷ 58 = 34 × 85 = 2420 = 65. Et avec un négatif : −23 ÷ 49 = −23 × 94 = −1812 = −32.
34 ÷ 58 = 34 × 85 = 2420 = 65. Et avec un négatif : −23 ÷ 49 = −23 × 94 = −1812 = −32.
Mathbot dit
« Pour diviser par une fraction, je la retourne et je multiplie ! Mais je vérifie toujours que je ne retourne pas la première fraction. Seul le diviseur est inversé. »
« Pour diviser par une fraction, je la retourne et je multiplie ! Mais je vérifie toujours que je ne retourne pas la première fraction. Seul le diviseur est inversé. »
Cas des entiers : 6 ÷ 35 = 6 × 53 = 10, et 58 ÷ 10 = 58 × 110 = 116.
8. Priorités opératoires et problèmes
Ordre des calculs
Comme avec les entiers : 1) on calcule d’abord dans les parenthèses (de l’intérieur vers l’extérieur) ; 2) puis les multiplications et divisions, de gauche à droite ; 3) enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.
Comme avec les entiers : 1) on calcule d’abord dans les parenthèses (de l’intérieur vers l’extérieur) ; 2) puis les multiplications et divisions, de gauche à droite ; 3) enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.
Exemple résolu
A = 12 + 23 × 34. On commence par la multiplication : 23 × 34 = 612 = 12. Puis A = 12 + 12 = 1.
B = (56 − 13) ÷ 29. Parenthèses : 56 − 26 = 36 = 12. Puis B = 12 ÷ 29 = 12 × 92 = 94.
A = 12 + 23 × 34. On commence par la multiplication : 23 × 34 = 612 = 12. Puis A = 12 + 12 = 1.
B = (56 − 13) ÷ 29. Parenthèses : 56 − 26 = 36 = 12. Puis B = 12 ÷ 29 = 12 × 92 = 94.
Résoudre un problème avec des fractions
1) Repère le tout (l’unité de référence). 2) Traduis chaque partie par une fraction de ce tout. 3) « Prendre la fraction ab d’une quantité » se calcule en multipliant cette quantité par ab. 4) Conclus par une phrase avec l’unité.
Exemple : un trajet de 90 km dont on a parcouru 25 ; distance parcourue : 25 × 90 = 36 km ; il reste 54 km.
1) Repère le tout (l’unité de référence). 2) Traduis chaque partie par une fraction de ce tout. 3) « Prendre la fraction ab d’une quantité » se calcule en multipliant cette quantité par ab. 4) Conclus par une phrase avec l’unité.
Exemple : un trajet de 90 km dont on a parcouru 25 ; distance parcourue : 25 × 90 = 36 km ; il reste 54 km.
Vérifier avec une droite ou un dessin
Une fraction de fraction (« les 34 du reste ») se visualise très bien avec un rectangle partagé. Un résultat négatif dans un problème de partage doit t’alerter : il y a un signe oublié.
Une fraction de fraction (« les 34 du reste ») se visualise très bien avec un rectangle partagé. Un résultat négatif dans un problème de partage doit t’alerter : il y a un signe oublié.
À retenir
- Le quotient ab (b non nul) est le nombre qui, multiplié par b, donne a. Un nombre rationnel est un nombre qui s’écrit comme quotient de deux entiers relatifs.
- −ab = a−b = −ab et −a−b = ab : on ramène toujours le signe au numérateur.
- a×kb×k = ab : on simplifie jusqu’à une fraction irréductible. Égalité : ab = cd équivaut à a × d = b × c.
- Pour comparer, additionner ou soustraire : même dénominateur positif d’abord ; pour b non nul, ab + cb = a+cb.
- ab × cd = a×cb×d : signe d’abord, simplification avant de multiplier.
- L’inverse de ab est ba ; diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse. Le nombre 0 n’a pas d’inverse.
- Priorités : parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.