Dans ce chapitre, tu fais connaissance avec une famille de quadrilatères très utile : les parallélogrammes. Tu apprends à les reconnaître, à les construire, à utiliser leurs propriétés pour calculer des longueurs et des angles, puis tu découvres leurs cousins célèbres, le rectangle, le losange et le carré. Pour finir, tu calcules leur périmètre et leur aire.
1. Rappels : droites parallèles et perpendiculaires
Parallèles et perpendiculaires
Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ne se croisent jamais : elles gardent toujours le même écartement. On écrit (d₁) // (d₂). Deux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles se coupent en formant un angle droit (90°). On écrit (d₁) ⊥ (d₂).
Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ne se croisent jamais : elles gardent toujours le même écartement. On écrit (d₁) // (d₂). Deux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles se coupent en formant un angle droit (90°). On écrit (d₁) ⊥ (d₂).
Trois propriétés à connaître
- Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.
- Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est aussi perpendiculaire à l’autre.
- Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Les droites d₁ et d₂ sont toutes les deux perpendiculaires à d₃ : elles sont donc parallèles.
Tracer la parallèle à une droite (d) passant par un point M
- Place l’équerre contre la droite (d), puis cale la règle contre un autre côté de l’équerre.
- Fais glisser l’équerre le long de la règle jusqu’à ce que son bord passe par M.
- Trace le long de ce bord : c’est la parallèle cherchée.
Attention au dessin
Deux droites peuvent sembler parallèles sur un dessin sans l’être. En géométrie, on ne se fie jamais au dessin : on utilise le codage (flèches pour les parallèles, petits traits pour les longueurs égales, carré pour l’angle droit) et les propriétés du cours.
Deux droites peuvent sembler parallèles sur un dessin sans l’être. En géométrie, on ne se fie jamais au dessin : on utilise le codage (flèches pour les parallèles, petits traits pour les longueurs égales, carré pour l’angle droit) et les propriétés du cours.
2. Qu’est-ce qu’un parallélogramme ?
Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Sur ABCD, (AB) // (DC) et (AD) // (BC). Les flèches simples et doubles le codent.
Vocabulaire à bien employer
- Les côtés [AB] et [DC] sont opposés ; les côtés [AB] et [BC] sont consécutifs (ils se touchent).
- Les sommets A et C sont opposés ; les angles ∠DAB et ∠BCD sont opposés.
- Les segments [AC] et [BD] sont les diagonales : elles relient deux sommets opposés.
Astuce de lecture
Pour nommer un parallélogramme, on cite les sommets dans l’ordre en faisant le tour de la figure. ABCD est un parallélogramme, mais ACBD n’en est pas un : ses « côtés » seraient les diagonales.
Pour nommer un parallélogramme, on cite les sommets dans l’ordre en faisant le tour de la figure. ABCD est un parallélogramme, mais ACBD n’en est pas un : ses « côtés » seraient les diagonales.
3. Les propriétés du parallélogramme
Propriétés
Si ABCD est un parallélogramme, alors :
Si ABCD est un parallélogramme, alors :
- ses côtés opposés ont la même longueur : AB = DC et AD = BC ;
- ses angles opposés ont la même mesure : ∠A = ∠C et ∠B = ∠D ;
- deux angles consécutifs sont supplémentaires, c’est-à-dire que leur somme vaut 180° : ∠A + ∠B = 180° ;
- ses diagonales se coupent en leur milieu : si O est leur point d’intersection, O est le milieu de [AC] et de [BD] ;
- le point O est son centre de symétrie : en le faisant tourner d’un demi-tour autour de O, il se superpose à lui-même.
Les petits traits identiques codent les longueurs égales : AB = DC, AD = BC, OA = OC et OB = OD.
Exemple résolu
ABCD est un parallélogramme. On sait que AB = 6 cm, AD = 3,5 cm et ∠DAB = 70°.
• Les côtés opposés ont la même longueur : DC = AB = 6 cm et BC = AD = 3,5 cm.
• ∠BCD est opposé à ∠DAB : ∠BCD = 70°.
• ∠ABC est consécutif à ∠DAB : ∠ABC = 180° − 70° = 110°. Et ∠CDA = ∠ABC = 110° (angles opposés).
• Vérification : 70° + 110° + 70° + 110° = 360°, la somme des angles d’un quadrilatère.
ABCD est un parallélogramme. On sait que AB = 6 cm, AD = 3,5 cm et ∠DAB = 70°.
• Les côtés opposés ont la même longueur : DC = AB = 6 cm et BC = AD = 3,5 cm.
• ∠BCD est opposé à ∠DAB : ∠BCD = 70°.
• ∠ABC est consécutif à ∠DAB : ∠ABC = 180° − 70° = 110°. Et ∠CDA = ∠ABC = 110° (angles opposés).
• Vérification : 70° + 110° + 70° + 110° = 360°, la somme des angles d’un quadrilatère.
Pourquoi 180° ?
Les côtés (AD) et (BC) sont parallèles et (AB) les coupe : les angles ∠DAB et ∠ABC sont « du même côté » de la sécante, ils se complètent pour faire un angle plat.
Les côtés (AD) et (BC) sont parallèles et (AB) les coupe : les angles ∠DAB et ∠ABC sont « du même côté » de la sécante, ils se complètent pour faire un angle plat.
4. Reconnaître un parallélogramme
Les propriétés précédentes marchent aussi dans l’autre sens : si un quadrilatère les possède, c’est forcément un parallélogramme. Il suffit d’une seule de ces conditions.
Cinq façons de prouver qu’un quadrilatère ABCD est un parallélogramme
- Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
- Ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux.
- Il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur.
- Ses diagonales se coupent en leur milieu.
- Il possède un centre de symétrie.
Exemple
EFGH est un quadrilatère tel que EF = 4 cm, GH = 4 cm, FG = 2,5 cm et HE = 2,5 cm. Ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux, donc EFGH est un parallélogramme.
EFGH est un quadrilatère tel que EF = 4 cm, GH = 4 cm, FG = 2,5 cm et HE = 2,5 cm. Ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux, donc EFGH est un parallélogramme.
Un piège classique
« Deux côtés opposés de même longueur » ne suffit pas ! Il faut que les deux paires de côtés opposés soient égales, ou bien que les deux côtés égaux soient aussi parallèles. Un trapèze isocèle a deux côtés opposés égaux (les côtés non parallèles), mais ce n’est pas un parallélogramme.
« Deux côtés opposés de même longueur » ne suffit pas ! Il faut que les deux paires de côtés opposés soient égales, ou bien que les deux côtés égaux soient aussi parallèles. Un trapèze isocèle a deux côtés opposés égaux (les côtés non parallèles), mais ce n’est pas un parallélogramme.
5. Construire un parallélogramme
Méthode 1 : au compas (on connaît A, B et D)
- Trace [AB] et [AD].
- Avec le compas, prends l’écartement AD. Pointe en B et trace un arc vers l’endroit où sera C.
- Prends l’écartement AB. Pointe en D et trace un second arc qui coupe le premier : c’est le point C.
- Relie B à C et D à C. Les côtés opposés ont la même longueur deux à deux : ABCD est un parallélogramme.
Les deux arcs en pointillés se coupent en C : BC = AD et DC = AB.
Méthode 2 : avec l’équerre et la règle
Après avoir tracé [AB] et [AD], trace la parallèle à (AB) passant par D, puis la parallèle à (AD) passant par B. Elles se coupent en C.
Après avoir tracé [AB] et [AD], trace la parallèle à (AB) passant par D, puis la parallèle à (AD) passant par B. Elles se coupent en C.
Méthode 3 : avec les diagonales
Trace deux segments [AC] et [BD] qui se coupent en leur milieu O. Le quadrilatère ABCD obtenu est un parallélogramme (il suffit de bien reporter les longueurs OA = OC et OB = OD).
Trace deux segments [AC] et [BD] qui se coupent en leur milieu O. Le quadrilatère ABCD obtenu est un parallélogramme (il suffit de bien reporter les longueurs OA = OC et OB = OD).
Mathbot, le robot-coach, te conseille
Avant de construire, fais une figure à main levée et code-la : tu sauras quelle méthode choisir selon les mesures données.
Avant de construire, fais une figure à main levée et code-la : tu sauras quelle méthode choisir selon les mesures données.
6. Rectangle, losange et carré
Ce sont des parallélogrammes qui ont quelque chose de plus. Ils héritent donc de toutes les propriétés d’un parallélogramme.
Rectangle
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. C’est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur.
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. C’est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur.
Losange
Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur. C’est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.
Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur. C’est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.
Carré
Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. C’est à la fois un rectangle et un losange.
Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. C’est à la fois un rectangle et un losange.
Reconnaître un parallélogramme particulier
Soit ABCD un parallélogramme.
Soit ABCD un parallélogramme.
- S’il a un angle droit, alors c’est un rectangle.
- Si ses diagonales ont la même longueur, alors c’est un rectangle.
- S’il a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.
- Si ses diagonales sont perpendiculaires, alors c’est un losange.
- S’il est à la fois un rectangle et un losange, alors c’est un carré.
| Propriété | Parallélogramme | Rectangle | Losange | Carré |
|---|---|---|---|---|
| Côtés opposés parallèles | oui | oui | oui | oui |
| Côtés opposés égaux | oui | oui | oui | oui |
| Diagonales de même milieu | oui | oui | oui | oui |
| Quatre côtés égaux | non | non | oui | oui |
| Quatre angles droits | non | oui | non | oui |
| Diagonales égales | non | oui | non | oui |
| Diagonales perpendiculaires | non | non | oui | oui |
« Non » signifie « pas en général » : un cas particulier peut avoir la propriété (un rectangle peut être un carré).
Ne confonds pas
Dans un rectangle, les diagonales sont égales mais pas perpendiculaires (sauf si c’est un carré). Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires mais pas égales (sauf si c’est un carré).
Dans un rectangle, les diagonales sont égales mais pas perpendiculaires (sauf si c’est un carré). Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires mais pas égales (sauf si c’est un carré).
7. Périmètre et aire
Périmètre
Le périmètre d’un parallélogramme dont les côtés mesurent a et b est P = 2 × (a + b). Pour un losange ou un carré de côté c, P = 4 × c.
Le périmètre d’un parallélogramme dont les côtés mesurent a et b est P = 2 × (a + b). Pour un losange ou un carré de côté c, P = 4 × c.
Hauteur
La hauteur relative à un côté (la base) est le segment perpendiculaire à ce côté, tracé depuis le côté opposé (ou depuis un sommet). Elle est plus courte que l’autre côté du parallélogramme.
La hauteur relative à un côté (la base) est le segment perpendiculaire à ce côté, tracé depuis le côté opposé (ou depuis un sommet). Elle est plus courte que l’autre côté du parallélogramme.
Aire d’un parallélogramme
L’aire d’un parallélogramme est le produit d’un côté (la base) par la hauteur relative à ce côté :
𝒜 = base × hauteur.
Les deux longueurs doivent être exprimées dans la même unité ; l’aire est en unité².
L’aire d’un parallélogramme est le produit d’un côté (la base) par la hauteur relative à ce côté :
𝒜 = base × hauteur.
Les deux longueurs doivent être exprimées dans la même unité ; l’aire est en unité².
On découpe le triangle ADH et on le déplace en BH’C : le parallélogramme devient un rectangle de même aire, de dimensions AB et h.
Exemple
Un parallélogramme a une base de 9 cm, une hauteur relative à cette base de 4 cm et l’autre côté de 5 cm.
Aire : 9 × 4 = 36 cm². Périmètre : 2 × (9 + 5) = 28 cm.
Un parallélogramme a une base de 9 cm, une hauteur relative à cette base de 4 cm et l’autre côté de 5 cm.
Aire : 9 × 4 = 36 cm². Périmètre : 2 × (9 + 5) = 28 cm.
Le piège du côté oblique
L’aire ne se calcule pas en multipliant deux côtés consécutifs (ici 9 × 5 = 45, c’est faux). Il faut la hauteur, qui est perpendiculaire à la base. De même, le périmètre n’utilise jamais la hauteur.
L’aire ne se calcule pas en multipliant deux côtés consécutifs (ici 9 × 5 = 45, c’est faux). Il faut la hauteur, qui est perpendiculaire à la base. De même, le périmètre n’utilise jamais la hauteur.
Cas particuliers
Rectangle de longueur L et de largeur l : 𝒜 = L × l. Carré de côté c : 𝒜 = c × c. Losange de diagonales d et D : 𝒜 = (d × D) ÷ 2, car il se partage en quatre triangles rectangles égaux, ou en deux triangles de base D et de hauteur d ÷ 2.
Rectangle de longueur L et de largeur l : 𝒜 = L × l. Carré de côté c : 𝒜 = c × c. Losange de diagonales d et D : 𝒜 = (d × D) ÷ 2, car il se partage en quatre triangles rectangles égaux, ou en deux triangles de base D et de hauteur d ÷ 2.
8. Rédiger une preuve en géométrie
La démarche en trois temps
- Ce que je sais : je cite les données de l’énoncé, ou le codage de la figure.
- Ce que j’utilise : je nomme la propriété du cours.
- Ce que j’en déduis : je conclus avec une phrase complète.
Exemple de rédaction
« Dans le quadrilatère RSTU, les diagonales [RT] et [SU] se coupent en leur milieu. Or si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. Donc RSTU est un parallélogramme. »
Si on sait en plus que RT = SU, on ajoute : « Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle. Donc RSTU est un rectangle. »
« Dans le quadrilatère RSTU, les diagonales [RT] et [SU] se coupent en leur milieu. Or si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. Donc RSTU est un parallélogramme. »
Si on sait en plus que RT = SU, on ajoute : « Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle. Donc RSTU est un rectangle. »
À ne pas faire
Ne justifie jamais « parce que ça se voit sur la figure » ni en mesurant : une mesure est approchée, une preuve est exacte.
Ne justifie jamais « parce que ça se voit sur la figure » ni en mesurant : une mesure est approchée, une preuve est exacte.
À retenir
- Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
- Il a ses côtés opposés égaux, ses angles opposés égaux, ses angles consécutifs supplémentaires (180°), ses diagonales qui se coupent en leur milieu : ce milieu est son centre de symétrie.
- Pour le reconnaître : côtés opposés parallèles ou égaux deux à deux, ou deux côtés opposés parallèles et égaux, ou diagonales de même milieu, ou centre de symétrie.
- Rectangle : parallélogramme avec un angle droit, ou à diagonales égales. Losange : parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux, ou à diagonales perpendiculaires. Carré : rectangle et losange à la fois.
- Périmètre : P = 2 × (a + b). Aire : 𝒜 = base × hauteur (hauteur perpendiculaire à la base).
- En géométrie, on prouve avec les propriétés, jamais avec le dessin ni la règle.