Pour dire où se trouve un point, il faut un système de repérage : sur une droite, un nombre suffit ; dans un plan, il en faut deux ; sur la Terre, deux angles ; dans une boîte, trois nombres. Dans ce chapitre, tu apprends à lire et placer des points dans un repère, à utiliser les symétries et les distances, puis à te repérer sur la sphère terrestre et dans un pavé droit.
1. Rappel : l’axe gradué
Un axe gradué est une droite sur laquelle on a choisi une origine O, un sens et une unité de longueur. L’abscisse d’un point est le nombre relatif qui le repère : sa valeur absolue est la distance à l’origine, son signe dépend du côté où se trouve le point (+ dans le sens de l’axe, − dans l’autre sens).
Le point A a pour abscisse −3 : on écrit A(−3). Le point B a pour abscisse 2 : B(2).
Si A a pour abscisse a et B pour abscisse b, avec a < b, alors la distance AB vaut b − a (le plus grand moins le plus petit). Le milieu de [AB] a pour abscisse a+b2.
Avec A(−3) et B(2) : AB = 2 − (−3) = 2 + 3 = 5 unités. Le milieu M de [AB] a pour abscisse −3+22 = −12 = −0,5.
2. Le repère orthogonal du plan
Un repère orthogonal est formé de deux axes gradués perpendiculaires qui se coupent en leur origine commune O. L’axe horizontal est l’axe des abscisses, l’axe vertical est l’axe des ordonnées. Si l’unité de longueur est la même sur les deux axes, le repère est dit orthonormé.
Chaque point M du plan est repéré par un couple de nombres (x ; y) : x est son abscisse (lue sur l’axe horizontal), y est son ordonnée (lue sur l’axe vertical). On écrit M(x ; y). L’origine O a pour coordonnées (0 ; 0).
Ici A(3 ; 2), B(−2 ; 3), C(−4 ; −1) et D(2 ; −3). Pour A : on part de 0, on va de 3 vers la droite, puis de 2 vers le haut.
On donne toujours l’abscisse en premier, puis l’ordonnée. Les points (3 ; 2) et (2 ; 3) sont deux points différents. Les deux nombres sont séparés par un point-virgule, car la virgule sert déjà pour les nombres décimaux : (2,5 ; −1,5).
3. Lire et placer des points
1) Depuis le point, on descend ou on monte verticalement jusqu’à l’axe horizontal : on lit l’abscisse. 2) Depuis le point, on va horizontalement jusqu’à l’axe vertical : on lit l’ordonnée. 3) On écrit (abscisse ; ordonnée).
Pour placer M(−2 ; 3) : on part de l’origine, on se déplace de 2 graduations vers la gauche (abscisse négative), puis de 3 graduations vers le haut (ordonnée positive). Les traits pointillés de la figure aident à ne pas se tromper.
Les axes partagent le plan en quatre zones. Le signe des coordonnées indique dans quelle zone se trouve le point.
En haut à droite : abscisse et ordonnée positives. En haut à gauche : abscisse négative, ordonnée positive. En bas à gauche : les deux négatives. En bas à droite : abscisse positive, ordonnée négative.
Un point de l’axe des abscisses a pour ordonnée 0 : il s’écrit (x ; 0). Un point de l’axe des ordonnées a pour abscisse 0 : il s’écrit (0 ; y).
4. Quand les unités ne sont pas les mêmes
Dans un repère orthogonal, on peut choisir des unités différentes sur les deux axes. Les coordonnées restent les mêmes, mais le dessin est « étiré ». Dans la figure suivante, une unité vaut 2 cm en abscisse mais 1 cm en ordonnée.
A(2 ; 1), B(5 ; 1), C(5 ; 3). En coordonnées, AB = 3 et BC = 2, mais sur le dessin AB = 3 × 2 cm = 6 cm et BC = 2 × 1 cm = 2 cm.
On ne peut lire une longueur avec les coordonnées que pour un segment parallèle à un axe (on soustrait les deux abscisses ou les deux ordonnées). Pour les autres segments, on utilise le théorème de Pythagore, et seulement dans un repère orthonormé.
5. Symétries et milieux dans un repère
• par rapport à l’axe des abscisses : (x ; −y) ; • par rapport à l’axe des ordonnées : (−x ; y) ; • par rapport à l’origine O : (−x ; −y).
Le point M(4 ; −2) a pour symétriques : (4 ; 2) par rapport à l’axe des abscisses, (−4 ; −2) par rapport à l’axe des ordonnées et (−4 ; 2) par rapport à l’origine.
Le milieu de [AB] a pour abscisse la moyenne des abscisses et pour ordonnée la moyenne des ordonnées : si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), il a pour coordonnées (xA+xB2 ; yA+yB2).
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu. Pour trouver le quatrième sommet D de ABCD, on écrit que [AC] et [BD] ont le même milieu, ou bien on reporte le « déplacement » de A vers B pour aller de D vers C.
Exemple : A(0 ; 0), B(4 ; 1), C(5 ; 4). Le milieu de [AC] est (2,5 ; 2). D doit vérifier : milieu de [BD] = (2,5 ; 2), donc 4+xD2 = 2,5 et 1+yD2 = 2, d’où D(1 ; 3).
6. Figures simples dans un repère
• Un segment dont les extrémités ont la même ordonnée est horizontal ; sa longueur est la différence des abscisses. • Un segment dont les extrémités ont la même abscisse est vertical. • Un segment horizontal et un segment vertical qui se coupent forment un angle droit.
Dans la figure, A(1 ; 1), B(7 ; 1) et C(7 ; 4). (AB) est horizontale, (BC) est verticale : le triangle ABC est rectangle en B. AB = 7 − 1 = 6 cm et BC = 4 − 1 = 3 cm. Son aire vaut 6×32 = 9 cm². Pour l’hypoténuse : AC² = 6² + 3² = 45, donc AC = √45 ≈ 6,7 cm.
Un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont parallèles aux axes.
7. Se repérer sur la sphère terrestre
On assimile la Terre à une sphère de centre O. L’équateur est le grand cercle perpendiculaire à l’axe des pôles. Les parallèles sont des cercles parallèles à l’équateur ; les méridiens sont des demi-cercles qui relient les deux pôles. Le méridien de référence est celui de Greenwich.
• La latitude d’un point est l’angle entre l’équateur et le point, vu du centre O : de 0° à 90°, Nord ou Sud. • La longitude est l’angle entre le méridien de Greenwich et le méridien du point : de 0° à 180°, Est ou Ouest.
Le point M a pour latitude 40° Nord (angle entre OM et le rayon de l’équateur sur le même méridien). Sa longitude se lit sur l’équateur.
Un point repéré par (35° S ; 20° E) est dans l’hémisphère Sud (S), à l’est du méridien de Greenwich (E). Son antipode (le point diamétralement opposé) a pour latitude 35° N et pour longitude 180° − 20° = 160° dans l’autre sens : (35° N ; 160° O).
Un parallèle de latitude φ est un cercle de rayon r = R × cos φ, où R est le rayon de la Terre. Sur un cercle, la longueur d’un arc est proportionnelle à l’angle au centre.
8. Se repérer dans un pavé droit
Dans l’espace, il faut trois nombres. On choisit un sommet O du pavé comme origine et on utilise les trois arêtes qui partent de O comme axes : l’abscisse (x, vers la droite), l’ordonnée (y, vers l’arrière) et l’altitude (z, vers le haut). Un point se note M(x ; y ; z).
Pavé de dimensions 4 (largeur), 3 (profondeur) et 2 (hauteur). Les arêtes cachées sont en pointillés.
On compte le déplacement le long de chaque axe : pour F, 4 en abscisse, 3 en ordonnée et 2 en altitude, donc F(4 ; 3 ; 2). Le milieu de l’arête [AE] est (4 ; 0 ; 1) et le centre du pavé est (2 ; 1,5 ; 1) : on prend la moitié de chaque dimension.
À retenir
- Sur un axe : AB = plus grande abscisse − plus petite abscisse ; milieu = moyenne des abscisses.
- Un repère orthogonal a deux axes perpendiculaires ; un point s’écrit M(abscisse ; ordonnée), dans cet ordre.
- Les signes des coordonnées donnent la zone du plan ; (x ; 0) est sur l’axe des abscisses, (0 ; y) sur l’axe des ordonnées.
- Symétrique de (x ; y) : (x ; −y) par rapport à l’axe des abscisses, (−x ; y) par rapport à l’axe des ordonnées, (−x ; −y) par rapport à l’origine.
- Pour une longueur lue avec les coordonnées : segment parallèle à un axe, on soustrait ; sinon, Pythagore dans un repère orthonormé.
- Sur la Terre : latitude (0° à 90°, N ou S) et longitude (0° à 180°, E ou O). L’antipode de (φ N ; λ E) est (φ S ; (180° − λ) O).
- Dans un pavé droit : M(abscisse ; ordonnée ; altitude).