Ouvre un livre à moitié, regarde les aiguilles d’une horloge, une porte qui s’entrouvre : partout, il y a des angles. Dans ce chapitre, tu apprends à les nommer, à les mesurer avec le rapporteur, à les construire, puis à les comparer : angles adjacents, complémentaires, supplémentaires, opposés par le sommet, bissectrice, et enfin angles formés par des droites parallèles coupées par une sécante.
1. Rappels : vocabulaire et notation
Un angle est formé par deux demi-droites qui ont la même origine. Cette origine commune s’appelle le sommet de l’angle ; les deux demi-droites sont les côtés de l’angle.
On utilise trois lettres : un point sur un côté, le sommet au milieu, un point sur l’autre côté. L’angle de la figure se note ∠AOB (ou ∠BOA). On lit « angle AOB ». Quand il n’y a aucun risque de confusion, on peut aussi dire « l’angle O ».
La lettre du sommet se place toujours au milieu : ∠AOB est l’angle de sommet O, alors que ∠OAB serait l’angle de sommet A. Ne confonds pas la longueur des côtés (qui n’a aucune importance) avec l’ouverture de l’angle : un angle ne devient pas plus grand parce qu’on dessine ses côtés plus longs.
L’ouverture d’un angle se mesure en degrés (symbole °). On écrit par exemple ∠AOB = 40°.
2. Les différents types d’angles
| Nom | Mesure | Comment le reconnaître ? |
|---|---|---|
| Angle nul | 0° | les deux côtés sont superposés |
| Angle aigu | entre 0° et 90° | plus « fermé » qu’un angle droit |
| Angle droit | 90° | coin d’une feuille, d’une équerre |
| Angle obtus | entre 90° et 180° | plus « ouvert » qu’un angle droit |
| Angle plat | 180° | les côtés forment une droite |
| Angle plein | 360° | un tour complet |
Avant de mesurer, compare avec l’angle droit de ton équerre : si l’angle est plus petit, il est aigu ; s’il est plus grand, il est obtus. Cette estimation te permet de repérer une erreur de lecture sur le rapporteur.
3. Mesurer un angle avec le rapporteur
- Place le centre du rapporteur (le petit repère au milieu du bord plat) exactement sur le sommet O.
- Tourne le rapporteur pour que son bord plat soit le long d’un des côtés, par exemple [OA).
- Repère la graduation qui part de 0° sur ce côté : c’est la bonne échelle (intérieure ou extérieure).
- Lis, sur cette échelle, la graduation que traverse l’autre côté [OB). Si le côté est trop court, prolonge-le avec la règle.
Sur la figure, un côté de l’angle est posé sur la graduation 0 de l’échelle du dessus (en bleu) ; le deuxième côté orange coupe cette échelle à 65°. L’échelle du dessous (en orange) commence à 0° de l’autre côté : elle donne 115°, ce qui est la mesure de l’angle depuis l’autre bord. Le bon réflexe : on choisit l’échelle qui commence par 0 sur le côté posé.
Lire sur la mauvaise échelle donne le supplémentaire de la bonne mesure (65° au lieu de 115°, par exemple). Vérifie toujours avec ton estimation : un angle visiblement aigu ne peut pas mesurer 115°.
4. Construire un angle de mesure donnée
- Trace avec la règle une demi-droite [Ox) : c’est le premier côté.
- Place le centre du rapporteur en O et son bord plat sur [Ox).
- Sur l’échelle qui commence à 0° sur [Ox), repère la graduation 70° et fais un petit trait avec le crayon.
- Retire le rapporteur, puis trace avec la règle la demi-droite [Oy) qui part de O et passe par ce trait.
- Code ta figure : marque l’angle avec un petit arc et écris 70°.
« Un trait de crayon bien taillé, c’est déjà 2° de précision en plus ! Après avoir tracé, mesure ton angle pour vérifier. On accepte une erreur de 1° ou 2°. »
5. Angles adjacents
Deux angles sont adjacents quand ils ont le même sommet, un côté commun et qu’ils sont de part et d’autre de ce côté commun (ils ne se chevauchent pas).
Sur la figure, ∠AOB et ∠BOC sont adjacents : même sommet O, côté commun [OB), et l’un est « avant », l’autre « après » ce côté.
Si deux angles sont adjacents, l’angle formé par leurs deux autres côtés a pour mesure la somme des mesures : ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC.
Si ∠AOB = 28° et ∠BOC = 41°, alors ∠AOC = 28° + 41° = 69°.
∠AOB et ∠AOC ne sont pas adjacents : le côté [OB) est à l’intérieur de ∠AOC, donc les deux angles se chevauchent. Deux angles qui ont le même sommet mais pas de côté commun ne sont pas adjacents non plus.
6. Angles complémentaires et supplémentaires
Deux angles sont complémentaires quand la somme de leurs mesures vaut 90°.
Deux angles sont supplémentaires quand la somme de leurs mesures vaut 180°.
Complémentaire d’un angle de 57° : 90° − 57° = 33°.
Supplémentaire d’un angle de 57° : 180° − 57° = 123°.
Deux angles complémentaires ou supplémentaires n’ont pas besoin d’être adjacents : ils peuvent être dessinés n’importe où. Un angle obtus n’a pas de complémentaire (il dépasse déjà 90°) ; un angle droit est son propre supplémentaire.
7. Angles opposés par le sommet
Deux droites sécantes en O forment quatre angles. Deux angles sont opposés par le sommet quand ils ont le même sommet O et que les côtés de l’un sont dans le prolongement des côtés de l’autre.
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. Sur la figure, ∠AOB = ∠COD et ∠BOC = ∠DOA.
Posons ∠AOB = x. L’angle ∠BOC complète x pour faire un angle plat (A, O, C sont alignés) : ∠BOC = 180° − x. De même, ∠COD complète ∠BOC sur la droite (BD) : ∠COD = 180° − (180° − x) = x. On retrouve bien ∠COD = ∠AOB.
Les deux angles verts de la figure ne sont pas opposés aux angles orange : ils sont supplémentaires de ceux-ci (leur somme avec un angle orange vaut 180°). Deux angles voisins autour de O ne sont jamais égaux, sauf si les droites sont perpendiculaires.
8. Bissectrice d’un angle
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui part du sommet et partage l’angle en deux angles adjacents de même mesure.
Sur la figure, [Ot) est la bissectrice de ∠AOB : ∠AOt = ∠tOB. Chaque morceau vaut la moitié de l’angle total : si ∠AOB = 100°, alors ∠AOt = 100° ÷ 2 = 50°.
- Mesure ∠AOB (par exemple 84°).
- Calcule la moitié : 84° ÷ 2 = 42°.
- Construis, à partir de [OA), un angle de 42° : le côté obtenu est la bissectrice.
- Avec le compas pointé en O, trace un arc qui coupe [OA) en M et [OB) en N.
- Garde un même écartement, assez grand, pointe en M puis en N : les deux arcs se coupent en P à l’intérieur de l’angle.
- Trace [OP) : c’est la bissectrice, car les triangles OMP et ONP ont leurs trois côtés égaux deux à deux (OM = ON, MP = NP, OP commun), donc les angles ∠MOP et ∠NOP sont égaux.
9. Angles et droites parallèles
Quand une droite (s), appelée sécante, coupe deux droites (d) et (d’), elle forme huit angles. Deux familles de paires d’angles sont à connaître.
Deux angles sont alternes-internes quand ils sont entre les deux droites, de part et d’autre de la sécante et qu’ils n’ont pas le même sommet.
Deux angles sont correspondants quand ils n’ont pas le même sommet, sont du même côté de la sécante et que l’un seul est entre les deux droites : ils sont « au même endroit » à chaque croisement.
Si deux droites sont parallèles, alors deux angles alternes-internes ont la même mesure et deux angles correspondants ont la même mesure.
Si deux angles alternes-internes (ou deux angles correspondants) ont la même mesure, alors les deux droites sont parallèles.
« Les droites (d) et (d’) sont parallèles et coupées par la sécante (s). Les angles marqués en A et en B sont alternes-internes. Or si deux droites sont parallèles, alors elles forment des angles alternes-internes de même mesure. Donc l’angle en A mesure lui aussi 63°. »
Si les angles ne sont pas égaux, on ne conclut pas à un parallélisme ; on peut même affirmer que les droites ne sont pas parallèles (des droites parallèles donneraient des angles égaux). Pense aussi aux angles supplémentaires : quand les droites sont parallèles et qu’un angle mesure 63°, les autres angles de la figure mesurent 63° ou 117°.
À retenir
- Un angle se nomme avec trois lettres, le sommet au milieu : ∠AOB. Il se mesure en degrés avec un rapporteur (lire l’échelle qui part de 0°).
- Aigu (0° à 90°), droit (90°), obtus (90° à 180°), plat (180°), plein (360°).
- Angles adjacents : même sommet, un côté commun, de part et d’autre ; leurs mesures s’additionnent.
- Complémentaires : somme 90°. Supplémentaires : somme 180°.
- Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
- La bissectrice partage un angle en deux angles de même mesure (la moitié chacun).
- Droites parallèles ⇔ angles alternes-internes égaux ⇔ angles correspondants égaux.