Les triangles sont partout : toits, ponts, pyramides, voiles de bateaux… En 4ème, tu vas apprendre à calculer des angles sans rapporteur, à savoir si un triangle existe avant de le tracer, et à découvrir des droites cachées dans chaque triangle qui se croisent toujours en un même point. Prends ta règle, ton compas et ton équerre : ce chapitre se construit autant qu’il se lit !
Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut 180°, complémentaires si leur somme vaut 90°. Deux angles opposés par le sommet sont égaux. Un triangle est isocèle s’il a deux côtés de même longueur (ses angles à la base sont égaux), équilatéral s’il a trois côtés égaux (ses angles mesurent chacun 60°), rectangle s’il a un angle droit.
1. La somme des angles d’un triangle
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles vaut toujours 180°.
Cela marche pour tous les triangles : petits, grands, pointus ou aplatis. Si tu connais deux angles, tu trouves le troisième en soustrayant leur somme à 180°.
Dans le triangle ABC ci-dessus, ∠A = 58° et ∠B = 74°. On sait que la somme des angles d’un triangle vaut 180°. Donc :
∠C = 180° − (58° + 74°) = 180° − 132° = 48°.
- Triangle isocèle : ses deux angles à la base sont égaux. Si l’angle au sommet vaut 30°, chaque angle à la base vaut (180° − 30°) ÷ 2 = 75°.
- Triangle équilatéral : 180° ÷ 3 = 60° pour chaque angle.
- Triangle rectangle : les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme fait 90°), car 180° − 90° = 90°.
Un triangle ne peut avoir qu’un seul angle obtus ou droit : deux angles de 90° ou plus feraient déjà 180° ou plus, et il ne resterait rien pour le troisième ! Un triangle dont les angles mesurent 80°, 70° et 40° n’existe pas : 80 + 70 + 40 = 190, et non 180.
2. Angles et droites parallèles
Quand une droite (la sécante) coupe deux autres droites, elle forme huit angles. Deux familles de paires d’angles sont très utiles.
Ils sont situés entre les deux droites (« internes »), de part et d’autre de la sécante, un de chaque côté (« alternes »). Sur la figure, les deux angles marqués α sont alternes-internes.
Ils sont placés du même côté de la sécante et du même côté de chaque droite : l’un « au-dessus » de sa droite, l’autre « au-dessus » de la sienne (ou tous les deux en dessous). Les deux angles β sont correspondants.
Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes sont égaux et les angles correspondants sont égaux.
Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux (ou des angles correspondants égaux), alors ces deux droites sont parallèles.
- Repère la sécante et les deux droites.
- Identifie deux angles alternes-internes ou correspondants.
- Calcule ou lis leurs mesures : sont-elles égales ?
- Si oui, conclus avec la propriété. Si non, les droites ne sont pas parallèles (car des droites parallèles donneraient des angles égaux).
Une sécante coupe (d₁) et (d₂). On mesure deux angles correspondants : 54° et 54°. Ils sont égaux, donc d’après la réciproque (d₁) // (d₂). Si on avait mesuré 54° et 57°, on conclurait que (d₁) et (d₂) ne sont pas parallèles.
Pour deux droites parallèles, il n’y a que deux valeurs d’angles dans la figure : une mesure x et son supplémentaire 180° − x. Dès que tu en connais une, tu connais les huit !
3. Rédiger un calcul d’angles
Au collège, on ne se contente pas de donner un résultat : on justifie chaque étape en citant la propriété utilisée. Voici un modèle.
Sur la figure, (xy) // (BC), ∠xAB = 52° et ∠yAC = 71°. Calculons ∠BAC.
- Les droites (xy) et (BC) sont parallèles et la droite (AB) est sécante : les angles ∠xAB et ∠ABC sont alternes-internes, donc ∠ABC = 52°.
- De même avec la sécante (AC) : ∠ACB = ∠yAC = 71°.
- La somme des angles du triangle ABC vaut 180°, donc ∠BAC = 180° − 52° − 71° = 57°.
Cette figure démontre aussi pourquoi la somme des angles d’un triangle vaut 180° : en traçant par A la parallèle à (BC), les trois angles ∠xAB, ∠BAC et ∠CAy forment un angle plat (180°), et les deux angles extérieurs sont égaux à ∠B et ∠C.
Si D est un point de la demi-droite [BC) situé après C, alors l’angle ∠ACD vaut la somme des deux angles du triangle qui ne sont pas en C : ∠ACD = ∠A + ∠B. En effet, ∠ACD = 180° − ∠C et ∠A + ∠B = 180° − ∠C.
4. L’inégalité triangulaire
Peux-tu construire un triangle dont les côtés mesurent 3 cm, 4 cm et 9 cm ? Essaie : les deux petits côtés ne se rejoignent jamais ! Pour aller de A à C, le chemin direct est toujours le plus court.
Pour trois points A, B et C, on a toujours AC ≤ AB + BC. Dans un triangle (non aplati), chaque côté est strictement plus petit que la somme des deux autres.
Repère le plus grand côté et compare-le à la somme des deux autres. S’il est strictement plus petit que cette somme, le triangle existe. Sinon, il n’existe pas. Il suffit de ne tester que le plus grand côté : les autres inégalités sont alors automatiquement vraies.
- 5 cm, 7 cm, 11 cm : le plus grand est 11 et 5 + 7 = 12. Comme 11 < 12, le triangle existe.
- 3 cm, 4 cm, 9 cm : 3 + 4 = 7 et 9 > 7. Le triangle n’existe pas.
Si le plus grand côté est égal à la somme des deux autres (par exemple 4 cm, 6 cm et 10 cm), les trois points sont alignés : on obtient un triangle aplati, qui n’est pas un vrai triangle. Réciproquement, si AB + BC = AC, alors B appartient au segment [AC].
5. Construire un triangle connaissant ses trois côtés
- Vérifie avec l’inégalité triangulaire que le triangle existe.
- Trace un segment [AB] en vraie grandeur (le côté que tu veux).
- Avec le compas, trace un arc de cercle de centre A et de rayon AC.
- Trace un arc de cercle de centre B et de rayon BC.
- Les deux arcs se coupent en C : relie C à A et à B.
Les arcs se croisent en deux points, symétriques par rapport à (AB). Les deux triangles obtenus sont identiques : tu peux choisir celui qui t’arrange. Si les arcs ne se croisent pas, c’est que l’inégalité triangulaire n’est pas respectée.
6. La médiatrice d’un segment
La médiatrice d’un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.
- Si un point est sur la médiatrice d’un segment [AB], alors il est à la même distance de A et de B.
- Réciproquement, si un point est à la même distance de A et de B, alors il est sur la médiatrice de [AB].
- Prends un écartement de compas supérieur à la moitié de AB.
- Pique en A et trace un arc de cercle, puis pique en B, avec le même écartement, et trace un second arc.
- Les deux arcs se coupent en deux points : trace la droite qui les relie. C’est la médiatrice de [AB].
Avec l’équerre : trace la perpendiculaire à [AB] au milieu du segment.
Deux villages A et B veulent construire une piscine à égale distance de chacun. Où la placer ? Sur la médiatrice du segment [AB] : tous ses points sont à égale distance de A et de B.
7. Hauteurs, médianes et bissectrices
Chaque triangle possède trois « droites remarquables » de chaque sorte. Voici leurs définitions.
La hauteur issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Le point où elle coupe ce côté est le pied de la hauteur.
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes : elles se coupent en un même point, appelé orthocentre (noté H sur la figure). Il est à l’intérieur du triangle quand tous ses angles sont aigus.
Une médiane est un segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé.
Les trois médianes se coupent en un point G appelé centre de gravité : c’est le point d’équilibre du triangle (si tu découpes un triangle dans du carton, tu peux le faire tenir sur la pointe d’un crayon posée en G).
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Si ∠BAC = 70° et si (AD) est la bissectrice, alors ∠BAD = ∠DAC = 35°.
Place l’équerre avec un côté de l’angle droit le long du côté opposé au sommet, puis fais glisser jusqu’à ce que l’autre côté passe par le sommet. Trace. Si le côté opposé est trop court, prolonge-le.
Une hauteur n’est pas forcément à l’intérieur du triangle : dans un triangle avec un angle obtus, deux hauteurs sont à l’extérieur. Et ne confonds pas hauteur (perpendiculaire) et médiane (passe par le milieu) !
8. Le cercle circonscrit à un triangle
Les trois médiatrices des côtés d’un triangle se coupent en un même point O. Ce point est à la même distance des trois sommets : OA = OB = OC.
Pourquoi ? Le point O, intersection de deux médiatrices, vérifie OA = OB et OB = OC, donc OA = OC : il est aussi sur la médiatrice de [AC].
Le cercle de centre O qui passe par les trois sommets du triangle est appelé cercle circonscrit au triangle. Son rayon est OA = OB = OC.
- Trace les médiatrices de deux côtés (deux suffisent).
- Place leur point d’intersection O.
- Pique le compas en O, ouvre-le jusqu’à un sommet et trace le cercle : il passe par les trois sommets.
Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse. Ainsi, si ABC est rectangle en B et si M est le milieu de [AC], alors MA = MB = MC. La médiane issue de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse.
Bip ! Quand tu vois un triangle rectangle, pense tout de suite au cercle dont l’hypoténuse est le diamètre : le sommet de l’angle droit est toujours posé sur ce cercle !
À retenir
- La somme des angles d’un triangle vaut 180° ; dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (90°).
- Un triangle isocèle a deux angles égaux (à la base) ; un triangle équilatéral a trois angles de 60°.
- Droites parallèles ⇒ angles alternes-internes égaux et angles correspondants égaux. Et réciproquement : angles égaux ⇒ droites parallèles.
- Angle extérieur d’un triangle = somme des deux angles non adjacents.
- Inégalité triangulaire : AC ≤ AB + BC. Un triangle de côtés donnés existe si le plus grand côté est strictement plus petit que la somme des deux autres.
- Médiatrice de [AB] : perpendiculaire à [AB] en son milieu ; ses points sont à égale distance de A et de B (et réciproquement).
- Hauteur : perpendiculaire à un côté passant par le sommet opposé. Médiane : relie un sommet au milieu du côté opposé. Bissectrice : partage un angle en deux angles égaux.
- Les trois médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit. Dans un triangle rectangle, ce centre est le milieu de l’hypoténuse.
- Dans un devoir, on rédige : on cite la propriété (« la somme des angles d’un triangle vaut 180° », « droites parallèles, donc angles alternes-internes égaux »…).