Une population de bactéries double toutes les heures, un médicament s’élimine peu à peu, un capital grandit avec ses intérêts : dans ces situations, la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité elle-même. Les mathématiciens ont inventé une fonction pour décrire cela : la fonction exponentielle. Elle est égale à sa propre dérivée, elle ne s’annule jamais et elle transforme les sommes en produits. Dans ce chapitre, tu apprends à la définir, à la manipuler, à la dériver et à t’en servir pour modéliser une croissance ou une décroissance.
• La dérivée de x ↦ g(ax + b) est x ↦ a × g ′(ax + b).
• (uv) ′ = u ′v + uv ′ et (u/v) ′ = (u ′v − uv ′)/v².
• Si f ′ > 0 sur un intervalle, f est strictement croissante ; si f ′ < 0, elle est strictement décroissante.
• La tangente en a a pour équation y = f ′(a)(x − a) + f(a).
• Une suite géométrique de raison q vérifie un+1 = q un et un = u0 qn.
1. Définition de la fonction exponentielle
Cherchons une fonction f dérivable sur ℝ qui soit égale à sa dérivée et qui vaille 1 en 0. Une telle fonction existe et il n’y en a qu’une : c’est le point de départ de tout le chapitre.
Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f ′ = f et f(0) = 1. Cette fonction s’appelle la fonction exponentielle et se note exp.
On a donc, pour tout réel x : exp ′(x) = exp(x), et exp(0) = 1.
Le nombre dérivé de exp en 0 est exp ′(0) = exp(0) = 1 : la tangente à la courbe au point A(0 ; 1) a pour coefficient directeur 1. Son équation est y = 1 × (x − 0) + 1, soit y = x + 1.
Pour tout réel x, exp(x) × exp(−x) = 1. En particulier exp(x) ≠ 0 et exp(−x) = 1exp(x).
Démonstration. Posons φ(x) = exp(x) × exp(−x). La fonction φ est dérivable sur ℝ, et φ ′(x) = exp ′(x) exp(−x) + exp(x) × (−exp ′(−x)) = exp(x) exp(−x) − exp(x) exp(−x) = 0, car exp ′ = exp. Sa dérivée est nulle sur ℝ, donc φ est constante, égale à φ(0) = exp(0) × exp(0) = 1 × 1 = 1. Ainsi exp(x) × exp(−x) = 1 pour tout x : le produit de deux nombres ne peut valoir 1 que si aucun d’eux n’est nul. ∎
2. La relation fonctionnelle
Pour tous réels a et b : exp(a + b) = exp(a) × exp(b).
Démonstration. Fixons un réel a et posons, pour tout x, g(x) = exp(a+x)exp(a) (le dénominateur n’est pas nul). La fonction g est dérivable et g ′(x) = exp ′(a+x)exp(a) = exp(a+x)exp(a) = g(x). De plus g(0) = exp(a)exp(a) = 1. Par l’unicité du théorème de la partie 1, g = exp. Donc exp(x) = exp(a+x)exp(a), c’est-à-dire exp(a + x) = exp(a) × exp(x). ∎
On en déduit toutes les règles de calcul, comme pour les puissances :
• exp(−a) = 1exp(a)
• exp(a − b) = exp(a)exp(b)
• exp(na) = (exp(a))n
Justifications : exp(a − b) × exp(b) = exp(a) donne le quotient ; la dernière formule se démontre en appliquant n fois la relation fonctionnelle (exp(2a) = exp(a + a) = exp(a)², etc.).
La relation fonctionnelle transforme une somme en produit, jamais en somme : exp(a + b) ≠ exp(a) + exp(b). Avec a = b = 0 : exp(0 + 0) = 1 alors que exp(0) + exp(0) = 2.
3. Le nombre e et la notation puissance
On note e = exp(1). Une valeur approchée est e ≈ 2,718 28. C’est un nombre irrationnel (on l’admet).
D’après la dernière conséquence, pour tout entier n : exp(n) = exp(n × 1) = (exp(1))n = en. La fonction exp prolonge donc la puissance de e à tous les réels, ce qui justifie la notation :
Pour tout réel x, on écrit exp(x) = ex. On a e0 = 1 et e1 = e.
Avec cette notation, les règles de la partie 2 deviennent celles des puissances que tu connais déjà :
Pour tous réels a, b et tout entier n :
ea+b = ea × eb ; e−a = 1 / ea ; ea−b = ea / eb ; (ea)n = ena.
A = (e3x × e−x) / e2x+1. On regroupe les exposants : e3x × e−x = e2x, puis e2x / e2x+1 = e2x−(2x+1) = e−1 = 1e. L’expression ne dépend pas de x ! Elle vaut 1e ≈ 0,368.
(ex + e−x)² = (ex)² + 2exe−x + (e−x)² = e2x + 2 + e−2x, car exe−x = e0 = 1.
Réécris toujours chaque terme sous la forme « un seul e… » avant de conclure. Et n’oublie que la calculatrice donne les valeurs approchées avec la touche ex : e0,5 ≈ 1,649 ; e−2 ≈ 0,135.
4. Signe, variations et courbe
Pour tout réel x, ex > 0.
Démonstration. Pour tout x, ex = ex/2 + x/2 = (ex/2)² ≥ 0, et ex ≠ 0 d’après la partie 1. Donc ex > 0. ∎
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
En effet, sa dérivée exp ′(x) = ex est strictement positive. On en tire une règle de résolution essentielle :
Pour tous réels a et b : ea = eb ⇔ a = b et ea < eb ⇔ a < b (idem avec ≤, >, ≥).
Et ex = k n’a aucune solution si k ≤ 0.
Comme l’exponentielle est strictement croissante, l’inégalité équivaut à 2x − 1 ≥ x + 4, soit x ≥ 5. Ensemble des solutions : S = [5 ; +∞[.
1. Si les deux membres sont des e…, identifie les exposants.
2. Si un membre est 0 : factorise. Un produit est nul si l’un de ses facteurs l’est, et ex n’est jamais nul.
3. Rédige la conclusion avec l’ensemble des solutions.
(x − 2)e3x = 0 ⇔ x − 2 = 0 (car e3x ≠ 0) ⇔ x = 2. De même e2x − ex = ex(ex − 1) = 0 ⇔ ex = 1 = e0 ⇔ x = 0.
Voici quelques valeurs (arrondies à 10−3) et la courbe de la fonction exponentielle :
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ex | 0,050 | 0,135 | 0,368 | 1,000 | 2,718 | 7,389 | 20,086 |
Courbe de l’exponentielle (bleu) et sa tangente en A(0 ; 1) d’équation y = x + 1 (orange pointillé).
La courbe est entièrement au-dessus de l’axe des abscisses, elle passe par A(0 ; 1) et par B(1 ; e). Elle monte de plus en plus vite quand x augmente, et elle se rapproche de l’axe des abscisses quand x devient très négatif (e−3 ≈ 0,050).
Pour tout réel x, ex ≥ x + 1 : la courbe est au-dessus de sa tangente en 0.
Démonstration. Soit g(x) = ex − x − 1. Alors g ′(x) = ex − 1. Or ex ≥ 1 = e0 ⇔ x ≥ 0 : g ′ est négative sur ]−∞ ; 0] et positive sur [0 ; +∞[. Donc g est décroissante puis croissante, avec un minimum g(0) = 1 − 0 − 1 = 0. Ainsi g(x) ≥ 0 pour tout x. ∎
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| g ′(x) | − | 0 | + | ||
| g(x) | ↘ | 0 | ↗ |
5. Dérivée de x ↦ eax+b
Soient a et b deux réels. La fonction f : x ↦ eax+b est dérivable sur ℝ et f ′(x) = a eax+b.
C’est la règle de dérivation de x ↦ g(ax + b) appliquée à g = exp, avec g ′ = exp. Cas particuliers : (ex) ′ = ex ; (e−x) ′ = −e−x ; (e3x) ′ = 3e3x ; (e−0,5x+2) ′ = −0,5 e−0,5x+2.
On ne dérive pas « ex² » comme « ex » ! La formule ci-dessus vaut pour un exposant affine ax + b. Et ne dérive jamais e3x en « 3x e3x−1 » : ce n’est pas une puissance de x.
Comme eax+b > 0, la dérivée a le signe de a : la fonction est strictement croissante si a > 0, strictement décroissante si a < 0, et constante si a = 0.
Pour les produits et les quotients, on combine avec les formules habituelles.
1. Dérive avec (uv) ′ = u ′v + uv ′.
2. Factorise par eax+b : f ′(x) = (…) eax+b.
3. Comme eax+b > 0, le signe de f ′(x) est celui du facteur entre parenthèses.
4. Dresse le tableau de variations.
f = uv avec u(x) = x, u ′(x) = 1, v(x) = e−x, v ′(x) = −e−x. Donc f ′(x) = e−x + x(−e−x) = (1 − x) e−x. Comme e−x > 0, f ′(x) a le signe de 1 − x : positif pour x < 1, négatif pour x > 1.
| x | −∞ | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f ′(x) | + | 0 | − | ||
| f(x) | ↗ | 1e | ↘ |
Le maximum de f est f(1) = 1e ≈ 0,368.
Courbe de f(x) = x e−x : maximum au point M(1 ; 1/e).
Soit f(x) = e2x en x = 0 : f(0) = 1 et f ′(0) = 2e0 = 2. La tangente a pour équation y = 2(x − 0) + 1, soit y = 2x + 1.
6. Comparer les courbes de x ↦ ekx
Quand on change le coefficient k de l’exposant, la courbe de x ↦ ekx passe toujours par le point (0 ; 1) (car e0 = 1), mais pas avec la même pente : la tangente en ce point a pour coefficient directeur k.
Les courbes de x ↦ ex (bleu) et x ↦ e−x (vert) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Les courbes de x ↦ ex et x ↦ e−x sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées, car le point (x ; ex) est remplacé par (−x ; ex) = (−x ; e−(−x)).
Pour x > 0, plus k est grand, plus la courbe de ekx monte vite.
Pour k = 2 : e2 ≈ 7,389 à x = 1 contre e1 ≈ 2,718 pour k = 1 et e0,5 ≈ 1,649 pour k = 0,5. Pour x < 0, c’est l’inverse : e2x est la plus petite des trois.
7. Lien avec les suites géométriques
Soit a un réel. La suite (un) définie par un = ean est une suite géométrique de raison ea et de premier terme u0 = 1.
En effet, un+1 = ea(n+1) = ean+a = ea × ean = ea un. Plus généralement un = C ean est géométrique de raison ea et de premier terme C.
Soit un = 5e−0,3n. Sa raison est q = e−0,3 ≈ 0,741. Comme 0 < q < 1, la suite est décroissante. Son premier terme est u0 = 5 et u10 = 5e−3 ≈ 0,249.
La fonction exponentielle est la version « continue » de la suite géométrique : une suite géométrique multiplie par la même raison à chaque étape de 1 unité, la fonction x ↦ C ekx le fait pour n’importe quelle durée.
8. Modéliser une croissance ou une décroissance
Soient C et k deux réels, C > 0. La fonction f : t ↦ C ekt vérifie f ′(t) = k f(t) et f(0) = C. La vitesse de variation est proportionnelle à la quantité.
• Si k > 0 : croissance exponentielle (f est strictement croissante).
• Si k < 0 : décroissance exponentielle (f est strictement décroissante).
On modélise ainsi une population de bactéries, la quantité d’un médicament dans le sang, la désintégration radioactive, le refroidissement d’un objet vers la température de la pièce, ou un capital à intérêts composés.
1. Identifie C (valeur en t = 0) et k (signe : croissance ou décroissance).
2. Calcule une valeur avec la touche ex de la calculatrice.
3. Pour trouver à partir de quand une condition est réalisée, teste des valeurs de t (ou utilise un programme), en t’appuyant sur la monotonie.
Une culture contient 800 bactéries au départ et N(t) = 800e0,25t (t en heures). N(0) = 800 et k = 0,25 > 0 : c’est une croissance. N(4) = 800e1 ≈ 2175 bactéries. Et N ′(t) = 200e0,25t > 0 : la population augmente toujours.
Quand la culture dépasse-t-elle 5 000 bactéries ? N est strictement croissante, donc on cherche le premier entier t tel que N(t) > 5 000.
from math import exp
t = 0
while 800 * exp(0.25 * t) <= 5000:
t = t + 1
print(t)
Le programme affiche 8 : N(7) ≈ 4604 < 5 000 < N(8) ≈ 5911. Le seuil est franchi à la 8e heure.
Au début, une exponentielle peut croître lentement (e0,25t ne vaut que 1,28 pour t = 1). C’est sa vitesse proportionnelle à la quantité qui finit par la rendre explosive, et non son point de départ.
À retenir
- exp est l’unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp ′ = exp et exp(0) = 1 ; on note exp(x) = ex, avec e = exp(1) ≈ 2,718.
- ea+b = ea eb ; e−a = 1/ea ; ea−b = ea/eb ; (ea)n = ena.
- ex > 0 pour tout x ; exp est strictement croissante ; ea = eb ⇔ a = b ; ea < eb ⇔ a < b.
- ex ≥ x + 1 ; la tangente en 0 est y = x + 1.
- (eax+b) ′ = a eax+b ; pour étudier (…)eax+b, on factorise f ′ par eax+b (toujours > 0).
- (ean) est une suite géométrique de raison ea ; t ↦ C ekt modélise une croissance (k > 0) ou une décroissance (k < 0) exponentielle.