Contrôle de maths 1ère : Produit scalaire

1 Calculs en coordonnées / 4 pts

Durée 55 minutes, calculatrice autorisée.

Dans un repère orthonormé, u⃗(4 ; −3) et v⃗(2 ; 5).

1. Calcule u⃗ · v⃗, ‖u⃗‖ et ‖v⃗‖.
2. Détermine l’angle entre u⃗ et v⃗, arrondi au dixième de degré.
3. Détermine m pour que w⃗(m ; 6) soit orthogonal à u⃗.
4. Calcule (u⃗ + v⃗) · (u⃗ − v⃗).

2 Un triangle dans un repère / 4 pts

Dans un repère orthonormé, A(−2 ; −1), B(4 ; 1) et C(0 ; 5).

1. Calcule les longueurs AB, AC et BC. Quelle est la nature du triangle ?
2. Calcule AB⃗ · AC⃗.
3. En déduire la mesure de l’angle Â, arrondie au dixième de degré.
4. Quelle est la mesure de B̂ ? Justifie.

3 Al-Kashi et médiane / 4 pts

Dans un triangle ABC, AB = 8, AC = 5 et BC = 7. On note I le milieu de [BC].

1. Calcule cos  puis Â.
2. Calcule l’aire du triangle (on rappelle que l’aire vaut 12 × AB × AC × sin Â).
3. Calcule la longueur de la médiane [AI] avec le théorème de la médiane.

4 Droites et vecteurs normaux / 4 pts

Dans un repère orthonormé, soit la droite d d’équation x + 2y − 4 = 0 et le point P(5 ; 0).

1. Donne un vecteur normal à d. Le point P appartient-il à d ?
2. Détermine une équation de la droite Δ perpendiculaire à d passant par P.
3. Détermine les coordonnées du projeté orthogonal H de P sur d.
4. Calcule la distance PH, valeur exacte puis arrondie au centième.

5 Un cercle et sa tangente / 4 pts

Dans un repère orthonormé, (C) est le cercle de centre Ω(−2 ; 1) et de rayon 5, et A(2 ; 4).

1. Écris l’équation de (C) et vérifie que A ∈ (C).
2. Détermine une équation de la tangente (T) à (C) en A.
3. Détermine les points d’intersection de (C) et de la droite d’équation x = −2.