Dans ce chapitre, tu apprends à organiser des données, à calculer des effectifs et des fréquences, à les représenter par des diagrammes et des histogrammes, puis à résumer une série avec sa moyenne (simple ou pondérée), sa médiane et son étendue. Chaque partie se termine par une méthode à retenir.
Rappels de 5ème
Tu sais déjà lire un tableau, calculer un pourcentage et la moyenne de quelques notes. Tu connais aussi les diagrammes en barres et circulaires. En 4ème, on va plus loin : on traite des séries plus longues, on regroupe en classes et on cherche à comparer deux séries à l’aide de nombres bien choisis.
Tu sais déjà lire un tableau, calculer un pourcentage et la moyenne de quelques notes. Tu connais aussi les diagrammes en barres et circulaires. En 4ème, on va plus loin : on traite des séries plus longues, on regroupe en classes et on cherche à comparer deux séries à l’aide de nombres bien choisis.
1. Vocabulaire des statistiques
Population, individu, caractère
Une étude statistique porte sur une population (un ensemble d’individus : des personnes, des objets, des jours…). On étudie un caractère : une propriété observée sur chaque individu. Les différentes réponses possibles sont les valeurs du caractère.
Une étude statistique porte sur une population (un ensemble d’individus : des personnes, des objets, des jours…). On étudie un caractère : une propriété observée sur chaque individu. Les différentes réponses possibles sont les valeurs du caractère.
- Un caractère est qualitatif quand ses valeurs ne sont pas des nombres (sport préféré, couleur des yeux).
- Un caractère est quantitatif quand ses valeurs sont des nombres (nombre de frères et sœurs, taille en cm, note sur 20).
Effectif
L’effectif d’une valeur est le nombre d’individus qui ont cette valeur. L’effectif total est le nombre d’individus de la population : c’est la somme de tous les effectifs.
L’effectif d’une valeur est le nombre d’individus qui ont cette valeur. L’effectif total est le nombre d’individus de la population : c’est la somme de tous les effectifs.
Exemple
On interroge les 40 élèves de deux classes de 4ème sur leur sport préféré. La population est formée des 40 élèves ; le caractère est « sport préféré » (qualitatif).
On interroge les 40 élèves de deux classes de 4ème sur leur sport préféré. La population est formée des 40 élèves ; le caractère est « sport préféré » (qualitatif).
| Sport | Football | Basket | Natation | Danse | Judo | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 14 | 8 | 6 | 7 | 5 | 40 |
Ici, l’effectif du basket est 8 et l’effectif total est 40.
Piège
Un nombre peut cacher un caractère qualitatif : un numéro de maillot ou un code postal est écrit avec des chiffres, mais on ne fait pas de moyenne dessus. Demande-toi toujours : « Cela a-t-il un sens de calculer une moyenne ? »
Un nombre peut cacher un caractère qualitatif : un numéro de maillot ou un code postal est écrit avec des chiffres, mais on ne fait pas de moyenne dessus. Demande-toi toujours : « Cela a-t-il un sens de calculer une moyenne ? »
2. Effectifs et fréquences
Fréquence
La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total :
fréquence = effectif de la valeureffectif total.
On l’écrit sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.
La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total :
fréquence = effectif de la valeureffectif total.
On l’écrit sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.
Exemple
Pour le football : fréquence = 1440 = 720 = 0,35 = 35 %. Pour la danse : 740 = 0,175 = 17,5 %.
Pour le football : fréquence = 1440 = 720 = 0,35 = 35 %. Pour la danse : 740 = 0,175 = 17,5 %.
Propriétés
• Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1 (entre 0 % et 100 %).
• La somme de toutes les fréquences d’une série est égale à 1 (c’est-à-dire 100 %).
• Les effectifs et les fréquences sont proportionnels : on peut passer des uns aux autres par un tableau de proportionnalité.
• Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1 (entre 0 % et 100 %).
• La somme de toutes les fréquences d’une série est égale à 1 (c’est-à-dire 100 %).
• Les effectifs et les fréquences sont proportionnels : on peut passer des uns aux autres par un tableau de proportionnalité.
Un tableau complet
On a demandé à 25 élèves combien ils ont de frères et sœurs.
On a demandé à 25 élèves combien ils ont de frères et sœurs.
| Nombre de frères et sœurs | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 5 | 10 | 6 | 3 | 1 | 25 |
| Fréquence (en %) | 20 | 40 | 24 | 12 | 4 | 100 |
Calcul : 5 ÷ 25 = 0,20 ; 10 ÷ 25 = 0,40 ; 6 ÷ 25 = 0,24 ; 3 ÷ 25 = 0,12 ; 1 ÷ 25 = 0,04. La somme 20 + 40 + 24 + 12 + 4 fait bien 100.
Calculer une fréquence
1. Repère l’effectif de la valeur et l’effectif total.
2. Divise : effectif ÷ effectif total.
3. Multiplie par 100 si tu veux un pourcentage.
4. Vérifie que la somme des fréquences fait 100 % (ou 1).
Pour retrouver un effectif à partir d’une fréquence : effectif = fréquence × effectif total.
1. Repère l’effectif de la valeur et l’effectif total.
2. Divise : effectif ÷ effectif total.
3. Multiplie par 100 si tu veux un pourcentage.
4. Vérifie que la somme des fréquences fait 100 % (ou 1).
Pour retrouver un effectif à partir d’une fréquence : effectif = fréquence × effectif total.
3. Diagrammes en bâtons et en barres
Quand le caractère est une quantité qui prend peu de valeurs, on trace un diagramme en bâtons : un bâton par valeur, dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence). Pour un caractère qualitatif, on utilise un diagramme en barres, avec des barres de même largeur.
Nombre de frères et sœurs des 25 élèves : le bâton le plus haut (effectif 10) correspond à la valeur 1.
Construire un diagramme en bâtons
1. Trace deux axes : les valeurs en horizontal, les effectifs en vertical.
2. Choisis une échelle régulière sur l’axe vertical (ici 1 carreau = 2 élèves).
3. Pour chaque valeur, trace un bâton dont la hauteur est l’effectif.
4. Donne un titre et nomme les axes.
1. Trace deux axes : les valeurs en horizontal, les effectifs en vertical.
2. Choisis une échelle régulière sur l’axe vertical (ici 1 carreau = 2 élèves).
3. Pour chaque valeur, trace un bâton dont la hauteur est l’effectif.
4. Donne un titre et nomme les axes.
Piège
Si l’axe vertical ne commence pas à 0, les bâtons ne sont plus proportionnels aux effectifs et le graphique trompe le lecteur. Commence toujours à 0.
Si l’axe vertical ne commence pas à 0, les bâtons ne sont plus proportionnels aux effectifs et le graphique trompe le lecteur. Commence toujours à 0.
4. Diagramme circulaire
Dans un diagramme circulaire, chaque valeur est représentée par un secteur dont l’angle est proportionnel à l’effectif. Le disque complet mesure 360°.
Angle d’un secteur
angle = fréquence × 360° = effectifeffectif total × 360°.
angle = fréquence × 360° = effectifeffectif total × 360°.
| Sport | Football | Basket | Natation | Danse | Judo |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 14 | 8 | 6 | 7 | 5 |
| Fréquence | 35 % | 20 % | 15 % | 17,5 % | 12,5 % |
| Angle | 126° | 72° | 54° | 63° | 45° |
Vérification : 126 + 72 + 54 + 63 + 45 = 360. Voici le diagramme :
Astuce
Un secteur d’angle 90° représente un quart (25 %), un secteur de 180° la moitié (50 %). Le diagramme circulaire montre bien la part de chaque valeur, mais il est peu précis pour lire des effectifs : un diagramme en barres est meilleur pour comparer.
Un secteur d’angle 90° représente un quart (25 %), un secteur de 180° la moitié (50 %). Le diagramme circulaire montre bien la part de chaque valeur, mais il est peu précis pour lire des effectifs : un diagramme en barres est meilleur pour comparer.
5. Regrouper en classes : l’histogramme
Quand les valeurs sont très nombreuses ou continues (tailles, durées, masses), on les regroupe en classes de même amplitude. La classe [150 ; 155[ contient les valeurs supérieures ou égales à 150 et strictement inférieures à 155. Son amplitude est 155 − 150 = 5.
Exemple
Tailles de 40 élèves, en cm :
Tailles de 40 élèves, en cm :
| Taille | [140 ; 145[ | [145 ; 150[ | [150 ; 155[ | [155 ; 160[ | [160 ; 165[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 9 | 14 | 9 | 4 |
On les représente par un histogramme : des rectangles collés les uns aux autres, dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif (les classes ont la même amplitude).
La classe la plus haute, [150 ; 155[, est la classe modale : c’est celle qui a le plus grand effectif (14).
Estimer une moyenne avec des classes
On ne connaît plus les valeurs exactes. On remplace chaque classe par son centre (le milieu de la classe) et on calcule une moyenne pondérée. Le résultat est une estimation.
Centres : 142,5 ; 147,5 ; 152,5 ; 157,5 ; 162,5.
On ne connaît plus les valeurs exactes. On remplace chaque classe par son centre (le milieu de la classe) et on calcule une moyenne pondérée. Le résultat est une estimation.
Centres : 142,5 ; 147,5 ; 152,5 ; 157,5 ; 162,5.
Estimation : (142,5 × 4 + 147,5 × 9 + 152,5 × 14 + 157,5 × 9 + 162,5 × 4) ÷ 40 = 6 100 ÷ 40 = 152,5 cm.
6. La moyenne
Moyenne simple
La moyenne d’une série de valeurs est le quotient de la somme des valeurs par le nombre de valeurs :
moyenne = somme des valeursnombre de valeurs.
La moyenne d’une série de valeurs est le quotient de la somme des valeurs par le nombre de valeurs :
moyenne = somme des valeursnombre de valeurs.
Exemple
Températures de 5 jours : 14 ; 17 ; 12 ; 15 ; 17 (en °C). Somme : 14 + 17 + 12 + 15 + 17 = 75. Moyenne : 75 ÷ 5 = 15 °C.
Températures de 5 jours : 14 ; 17 ; 12 ; 15 ; 17 (en °C). Somme : 14 + 17 + 12 + 15 + 17 = 75. Moyenne : 75 ÷ 5 = 15 °C.
Moyenne pondérée
Quand une valeur est répétée, on ne l’écrit pas plusieurs fois : on la multiplie par son effectif (son « poids »). La moyenne est alors
somme de (valeur × effectif)effectif total.
C’est aussi le calcul avec des coefficients : chaque note compte plus ou moins selon son coefficient.
Quand une valeur est répétée, on ne l’écrit pas plusieurs fois : on la multiplie par son effectif (son « poids »). La moyenne est alors
somme de (valeur × effectif)effectif total.
C’est aussi le calcul avec des coefficients : chaque note compte plus ou moins selon son coefficient.
Avec les effectifs
Pour les frères et sœurs des 25 élèves : (0 × 5 + 1 × 10 + 2 × 6 + 3 × 3 + 4 × 1) ÷ 25 = (0 + 10 + 12 + 9 + 4) ÷ 25 = 35 ÷ 25 = 1,4. En moyenne, un élève a 1,4 frère ou sœur (ce nombre n’est pas forcément une valeur de la série !).
Pour les frères et sœurs des 25 élèves : (0 × 5 + 1 × 10 + 2 × 6 + 3 × 3 + 4 × 1) ÷ 25 = (0 + 10 + 12 + 9 + 4) ÷ 25 = 35 ÷ 25 = 1,4. En moyenne, un élève a 1,4 frère ou sœur (ce nombre n’est pas forcément une valeur de la série !).
Avec les coefficients
Marc a 14 en maths (coefficient 4), 11 en français (coefficient 3), 16 en histoire (coefficient 2) et 18 en sport (coefficient 1). Moyenne : (14 × 4 + 11 × 3 + 16 × 2 + 18 × 1) ÷ (4 + 3 + 2 + 1) = (56 + 33 + 32 + 18) ÷ 10 = 139 ÷ 10 = 13,9.
Marc a 14 en maths (coefficient 4), 11 en français (coefficient 3), 16 en histoire (coefficient 2) et 18 en sport (coefficient 1). Moyenne : (14 × 4 + 11 × 3 + 16 × 2 + 18 × 1) ÷ (4 + 3 + 2 + 1) = (56 + 33 + 32 + 18) ÷ 10 = 139 ÷ 10 = 13,9.
Propriétés de la moyenne
• La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.
• Si l’on ajoute à toutes les valeurs un même nombre, la moyenne augmente de ce nombre.
• La moyenne dépend de toutes les valeurs : une valeur très grande ou très petite la modifie beaucoup.
• Somme des valeurs = moyenne × nombre de valeurs (utile pour retrouver une valeur manquante).
• La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.
• Si l’on ajoute à toutes les valeurs un même nombre, la moyenne augmente de ce nombre.
• La moyenne dépend de toutes les valeurs : une valeur très grande ou très petite la modifie beaucoup.
• Somme des valeurs = moyenne × nombre de valeurs (utile pour retrouver une valeur manquante).
Piège
Pour une moyenne pondérée, on divise par la somme des effectifs (ou des coefficients), pas par le nombre de lignes du tableau. Et on ne fait pas la moyenne des moyennes sans tenir compte des effectifs de chaque groupe.
Pour une moyenne pondérée, on divise par la somme des effectifs (ou des coefficients), pas par le nombre de lignes du tableau. Et on ne fait pas la moyenne des moyennes sans tenir compte des effectifs de chaque groupe.
7. La médiane
Médiane
La médiane d’une série est un nombre qui partage la série, rangée dans l’ordre croissant, en deux parties de même effectif : au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
La médiane d’une série est un nombre qui partage la série, rangée dans l’ordre croissant, en deux parties de même effectif : au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
Trouver la médiane
1. Range les valeurs dans l’ordre croissant (en répétant les valeurs qui apparaissent plusieurs fois).
2. Compte les valeurs : N.
3. Si N est impair, la médiane est la valeur du milieu, de rang (N + 1) ÷ 2.
4. Si N est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, de rangs N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1.
1. Range les valeurs dans l’ordre croissant (en répétant les valeurs qui apparaissent plusieurs fois).
2. Compte les valeurs : N.
3. Si N est impair, la médiane est la valeur du milieu, de rang (N + 1) ÷ 2.
4. Si N est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, de rangs N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1.
Effectif impair
Série : 12 ; 7 ; 15 ; 9 ; 11 ; 8 ; 20. Rangée : 7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 15 ; 20. Il y a 7 valeurs : la médiane est la 4ème, soit 11.
Série : 12 ; 7 ; 15 ; 9 ; 11 ; 8 ; 20. Rangée : 7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 15 ; 20. Il y a 7 valeurs : la médiane est la 4ème, soit 11.
Effectif pair
Notes : 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 9 ; 14. Rangées : 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 14 ; 15. Il y a 6 valeurs : la médiane est la moyenne de la 3ème et de la 4ème : (10 + 12) ÷ 2 = 11. Ici, la médiane n’est pas une valeur de la série.
Notes : 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 9 ; 14. Rangées : 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 14 ; 15. Il y a 6 valeurs : la médiane est la moyenne de la 3ème et de la 4ème : (10 + 12) ÷ 2 = 11. Ici, la médiane n’est pas une valeur de la série.
Avec un tableau d’effectifs
Pour les 25 élèves, il y a 25 valeurs : la médiane est la 13ème. Les effectifs cumulés sont 5 (valeur 0), puis 15 (valeur 1). La 13ème valeur est donc un 1 : la médiane est 1.
Pour les 25 élèves, il y a 25 valeurs : la médiane est la 13ème. Les effectifs cumulés sont 5 (valeur 0), puis 15 (valeur 1). La 13ème valeur est donc un 1 : la médiane est 1.
Astuce
La médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes. Si un élève de la classe avait 12 frères et sœurs, la moyenne bondirait mais la médiane resterait presque la même.
La médiane est peu sensible aux valeurs extrêmes. Si un élève de la classe avait 12 frères et sœurs, la moyenne bondirait mais la médiane resterait presque la même.
8. L’étendue et la comparaison de séries
Étendue
L’étendue d’une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Elle mesure la dispersion : plus elle est grande, plus les valeurs sont éparpillées.
L’étendue d’une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Elle mesure la dispersion : plus elle est grande, plus les valeurs sont éparpillées.
Exemple
Pour la série des températures 14 ; 17 ; 12 ; 15 ; 17 : étendue = 17 − 12 = 5 °C. Pour les frères et sœurs : étendue = 4 − 0 = 4.
Pour la série des températures 14 ; 17 ; 12 ; 15 ; 17 : étendue = 17 − 12 = 5 °C. Pour les frères et sœurs : étendue = 4 − 0 = 4.
Pour comparer deux séries, on regarde une valeur « centrale » (moyenne ou médiane) et la dispersion (étendue).
Comparer
Deux archers tirent 5 flèches. Archer A : 6 ; 7 ; 7 ; 8 ; 7 (moyenne 7, étendue 2). Archer B : 2 ; 10 ; 7 ; 4 ; 12 (moyenne 7, étendue 10). Même moyenne, mais A est beaucoup plus régulier que B.
Deux archers tirent 5 flèches. Archer A : 6 ; 7 ; 7 ; 8 ; 7 (moyenne 7, étendue 2). Archer B : 2 ; 10 ; 7 ; 4 ; 12 (moyenne 7, étendue 10). Même moyenne, mais A est beaucoup plus régulier que B.
Mathbot te conseille
« Une seule valeur ne dit jamais tout ! Regarde la moyenne, la médiane et l’étendue ensemble : ils racontent l’histoire complète de la série. »
« Une seule valeur ne dit jamais tout ! Regarde la moyenne, la médiane et l’étendue ensemble : ils racontent l’histoire complète de la série. »
À retenir
- Un caractère est qualitatif (pas de nombres) ou quantitatif (des nombres).
- Fréquence = effectif ÷ effectif total ; la somme des fréquences vaut 1 (100 %).
- Angle d’un secteur = fréquence × 360°.
- Diagramme en bâtons ou en barres pour les valeurs ; histogramme pour des classes de même amplitude.
- Moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs ; moyenne pondérée = somme de (valeur × effectif) ÷ effectif total.
- Médiane : on range, on coupe en deux (valeur du milieu, ou moyenne des deux valeurs centrales).
- Étendue = plus grande valeur − plus petite valeur.
- Pour comparer deux séries : moyenne ou médiane, et étendue.