Une suite, c’est une liste de nombres rangés dans un ordre précis : le solde d’un compte à la fin de chaque mois, le nombre d’abonnés d’une chaîne chaque semaine, la hauteur d’un ballon à chaque rebond. En 1ère, tu apprends à décrire une suite (par une formule ou par une relation de proche en proche), à étudier son sens de variation, et à reconnaître deux familles très utiles : les suites arithmétiques (on ajoute toujours la même quantité) et les suites géométriques (on multiplie toujours par le même nombre). Elles modélisent la croissance linéaire et la croissance exponentielle, et tu apprendras à les programmer en Python.
1. Définir une suite
Une suite numérique (un) associe à chaque entier naturel n (à partir d’un certain rang) un nombre réel noté un, appelé terme de rang n (ou d’indice n). Le premier terme est souvent u0, parfois u1.
(un) désigne la suite entière, un est un seul nombre. De même un+1 est le terme qui suit un, alors que un + 1 est le nombre un augmenté de 1. Par exemple, si u4 = 10, alors u5 peut valoir n’importe quoi, mais u4 + 1 vaut 11.
Il y a deux façons principales de définir une suite.
La suite est définie de façon explicite quand on donne une formule qui calcule un directement à partir de n : un = f(n).
Soit un = 3n² − 2n + 1. Alors u0 = 1, u1 = 3 − 2 + 1 = 2, u2 = 12 − 4 + 1 = 9, u3 = 27 − 6 + 1 = 22. On peut même calculer u10 = 300 − 20 + 1 = 281 sans connaître u9.
La suite est définie par récurrence quand on donne son premier terme et une relation qui permet de passer d’un terme au suivant : un+1 = f(un).
Soit v0 = 4 et vn+1 = 2vn − 3. On calcule de proche en proche : v1 = 2 × 4 − 3 = 5 ; v2 = 2 × 5 − 3 = 7 ; v3 = 2 × 7 − 3 = 11 ; v4 = 2 × 11 − 3 = 19.
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| vn | 4 | 5 | 7 | 11 | 19 |
Une formule explicite donne n’importe quel terme en un seul calcul. Une relation de récurrence oblige à calculer tous les termes précédents, mais elle traduit naturellement une évolution « d’une période à la suivante ». Quand une suite n’est pas définie dès le rang 0, on le précise : wn = 1n−2 n’existe que pour n ≥ 3.
2. Représentation graphique
Pour représenter (un), on place dans un repère les points de coordonnées (n ; un). On obtient un nuage de points isolés : on ne les relie pas, car une suite n’est définie que pour les entiers. Voici les premiers termes de la suite définie par un = 12n+1.
Le nuage permet de « voir » le comportement de la suite : ici les points descendent, la suite semble décroissante. Mais attention : un graphique ne prouve rien, il suggère une conjecture qu’il faut ensuite démontrer par le calcul.
3. Sens de variation
Une suite (un) est :
- croissante si, pour tout entier n, un+1 ≥ un ;
- décroissante si, pour tout entier n, un+1 ≤ un ;
- constante si, pour tout entier n, un+1 = un.
On dit strictement croissante (ou décroissante) quand les inégalités sont strictes. Une suite monotone est une suite croissante ou décroissante.
- Exprime un+1 en remplaçant n par n + 1 dans la formule (ou utilise la relation de récurrence).
- Calcule la différence un+1 − un et simplifie-la (développe, réduis, mets au même dénominateur).
- Étudie son signe pour tout n : si elle est toujours positive, la suite est croissante ; toujours négative, décroissante.
Soit un = n² − 6n. Alors un+1 = (n + 1)² − 6(n + 1) = n² − 4n − 5, donc un+1 − un = 2n − 5. Cette différence est négative pour n ≤ 2 et positive pour n ≥ 3. La suite décroît jusqu’au rang 3 puis croît : elle n’est pas monotone. Les termes sont 0 ; −5 ; −8 ; −9 ; −8 ; −5 ; 0.
Soit u0 = 3 et un+1 = un + 2n² + 1. Ici un+1 − un = 2n² + 1 > 0 pour tout n : la suite est strictement croissante (u0 = 3, u1 = 4, u2 = 7, u3 = 16).
Si tous les termes sont strictement positifs, alors un+1 ≥ un équivaut à uₙ₊₁uₙ ≥ 1. Cette méthode est pratique quand la formule contient des puissances : pour vn = 6 × 2n, on a vₙ₊₁vₙ = 2 > 1, donc la suite est croissante.
Si un = f(n) où f est croissante (respectivement décroissante) sur [0 ; +∞[, alors la suite (un) est croissante (respectivement décroissante).
La suite un = n² − 6n n’est pas monotone alors que f(x) = x² − 6x est décroissante puis croissante : c’est cohérent. Mais pour une suite définie par un+1 = f(un), le sens de variation de f ne donne pas celui de la suite : avec f(x) = −x (décroissante) et u0 = 1, les termes valent 1 ; −1 ; 1 ; −1 ; … et la suite oscille.
4. Suites arithmétiques
Une suite (un) est arithmétique s’il existe un réel r, appelé raison, tel que pour tout entier n : un+1 = un + r. Autrement dit, on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.
Une salle d’escalade demande 30 € d’inscription puis 12 € par mois. Le coût total après n mois est une suite arithmétique de premier terme u0 = 30 et de raison 12 : 30 ; 42 ; 54 ; 66 ; …
Calcule un+1 − un pour un n quelconque. Si le résultat ne dépend pas de n, c’est la raison. Pour un = 4n − 7 : un+1 − un = 4(n + 1) − 7 − (4n − 7) = 4. La suite est arithmétique de raison 4. Pour un = n², les différences valent 1, 3, 5, … : elles changent, la suite n’est pas arithmétique.
Si (un) est arithmétique de raison r, alors pour tous entiers n et p :
un = u0 + nr et plus généralement un = up + (n − p)r.
Démonstration. De u1 = u0 + r, u2 = u1 + r = u0 + 2r, u3 = u0 + 3r, … on ajoute r exactement n fois pour aller du rang 0 au rang n, et (n − p) fois pour aller du rang p au rang n.
On sait que u4 = 17 et u9 = 42. Entre les rangs 4 et 9, on a ajouté 5 fois la raison : 42 = 17 + 5r, donc r = 5. Alors u0 = 17 − 4 × 5 = −3 et un = −3 + 5n. Vérification : u9 = −3 + 45 = 42.
Une suite arithmétique de raison r est strictement croissante si r > 0, strictement décroissante si r < 0, constante si r = 0. Ses points (n ; un) sont alignés sur la droite d’équation y = u0 + rx.
La figure montre la suite de premier terme 5 et de raison 3 : les points sont alignés et montent de 3 unités à chaque pas.
5. Somme de termes d’une suite arithmétique
Pour tout entier n ≥ 1 : 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)2.
Démonstration (l’idée du jeune Gauss). Notons S = 1 + 2 + … + n. Écrivons la somme à l’endroit puis à l’envers :
S = 1 + 2 + … + (n − 1) + n
S = n + (n − 1) + … + 2 + 1
En additionnant colonne par colonne, chaque colonne vaut n + 1 et il y a n colonnes : 2S = n(n + 1), d’où S = n(n+1)2.
La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut : (nombre de termes) × premier terme + dernier terme2. En particulier u0 + u1 + … + un = (n + 1) × u₀+uₙ2.
- Reconnais une suite arithmétique de raison 4 : uk = 3 + 4k.
- Trouve le nombre de termes : 3 + 4k = 99 donne k = 24, donc les rangs vont de 0 à 24 : 25 termes.
- Applique la formule : 25 × 3+992 = 25 × 51 = 1275.
Du rang p au rang n, il y a n − p + 1 termes, pas n − p. Du rang 5 au rang 12, il y a 8 termes.
6. Suites géométriques
Une suite (un) est géométrique s’il existe un réel q, appelé raison, tel que pour tout entier n : un+1 = q × un. On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.
Un message est envoyé à 3 personnes, puis chacune le renvoie à 2 autres, et ainsi de suite : le nombre de personnes touchées à chaque étape est 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … suite géométrique de raison 2.
Si (un) est géométrique de raison q, alors pour tous entiers n et p : un = u0 × qn et plus généralement un = up × qn−p.
Pour un = u0 × qn, on a un+1 − un = u0 qn(q − 1). Pour q > 0 :
| q > 1 | q = 1 | 0 < q < 1 | |
|---|---|---|---|
| u0 > 0 | croissante | constante | décroissante |
| u0 < 0 | décroissante | constante | croissante |
Si q < 0, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n’est ni croissante ni décroissante.
Ici u0 = 2 et q = 1,5 : les points s’écartent de plus en plus, c’est le visage d’une croissance qui s’accélère.
Pour tout réel q ≠ 1 et tout entier n : 1 + q + q² + … + qn = 1−qⁿ⁺¹1−q.
Démonstration. Notons S = 1 + q + … + qn. Alors qS = q + q² + … + qn+1. En soustrayant, tous les termes intermédiaires s’annulent : S − qS = 1 − qn+1, soit S(1 − q) = 1 − qn+1, et on divise par 1 − q ≠ 0.
Pour q ≠ 1 : si la somme comporte N termes, elle vaut (premier terme) × 1−qᴺ1−q.
Premier terme 5, raison 3, N = 6 termes : 5 × 1−3⁶1−3 = 5 × 1−729−2 = 5 × 364 = 1820. Vérification : 5 + 15 + 45 + 135 + 405 + 1215 = 1820.
7. Croissance linéaire et croissance exponentielle
Les deux familles de suites modélisent deux façons de grandir très différentes.
- Une croissance linéaire : la quantité augmente d’une valeur absolue constante à chaque étape. C’est le modèle des suites arithmétiques (intérêts simples, forfait fixe par mois).
- Une croissance exponentielle : la quantité augmente d’un pourcentage constant à chaque étape. C’est le modèle des suites géométriques (intérêts composés, propagation, population).
Une évolution de t % correspond à un coefficient multiplicateur 1 + t100. Une hausse de 3 % se traduit par ×1,03 ; une baisse de 8 % par ×0,92. Si la quantité évolue de t % à chaque étape, elle forme une suite géométrique de raison q = 1 + t100.
À intérêts simples de 3 % par an, on gagne chaque année 3 % du capital de départ, soit 60 € : le capital vaut 2 000 + 60n (arithmétique), donc 2 600 € au bout de 10 ans. À intérêts composés de 3 % par an, on gagne chaque année 3 % du capital de l’année : le capital vaut 2 000 × 1,03n (géométrique), donc environ 2687,83 € au bout de 10 ans.
Au début les deux modèles se ressemblent, puis la croissance exponentielle prend le dessus et s’envole.
Avec 1,03n ≥ 2, on trouve par essais successifs à la calculatrice 1,03²³ ≈ 1,974 et 1,03²⁴ ≈ 2,033 : un capital placé à 3 % composés double en 24 ans. Mathbot te dit : « Avec une croissance exponentielle, chaque période compte, alors commence tôt ! »
8. Algorithmes en Python
Un programme calcule un terme d’une suite récurrente avec une boucle pour, ou cherche le premier rang où une condition est vraie avec une boucle tant que.
Pour la suite u0 = 5 et un+1 = 2un − 3, le programme ci-dessous renvoie un ; la boucle s’exécute n fois.
def terme(n):
u = 5
for k in range(n):
u = 2 * u - 3
return u
Ici terme(3) effectue 3 tours : u passe de 5 à 7, puis à 11, puis à 19. Le programme renvoie donc 19, c’est-à-dire u3.
Après n tours de boucle, la variable u contient un. Avec range(n), on fait exactement n tours : attention au décalage d’un rang.
On cherche le plus petit rang n tel que 2000 × 1,03n dépasse 3000.
def seuil():
u = 2000
n = 0
while u < 3000:
u = u * 1.03
n = n + 1
return n
La boucle continue tant que la condition u < 3000 est vraie ; elle s’arrête dès que u ≥ 3000 et renvoie n = 14 (en effet 2000 × 1,0313 ≈ 2937 et 2000 × 1,0314 ≈ 3025).
Pour additionner les termes, on ajoute une variable S initialisée à 0 : à chaque tour, S = S + u. N’oublie pas de mettre à jour u après avoir ajouté, ou avant, mais de façon cohérente avec le rang de départ.
À retenir
- Une suite se définit de façon explicite (un = f(n)) ou par récurrence (u0 donné et un+1 = f(un)). Son nuage de points est formé de points isolés.
- Pour le sens de variation : signe de un+1 − un, ou comparaison de uₙ₊₁uₙ à 1 quand les termes sont strictement positifs.
- Arithmétique : un+1 = un + r ; un = up + (n − p)r ; points alignés ; croissante si r > 0.
- Somme arithmétique : (nombre de termes) × premier + dernier2 ; 1 + 2 + … + n = n(n+1)2.
- Géométrique : un+1 = q un ; un = up qn−p ; somme 1 + q + … + qn = 1−qⁿ⁺¹1−q pour q ≠ 1.
- Croissance linéaire = ajout constant (arithmétique) ; croissance exponentielle = pourcentage constant (géométrique, q = 1 + t100).
- En Python : for pour calculer un terme, while pour trouver un seuil.