Tu sais déjà qu’une droite a une pente : elle dit de combien monte (ou descend) la droite quand on avance d’une unité. Pour une courbe, la pente change d’un endroit à l’autre : la route est tantôt raide, tantôt plate. La dérivation est l’outil qui mesure cette pente en un point précis. Elle sert à connaître la vitesse instantanée d’un mobile, le coût d’une unité supplémentaire produite, ou à tracer une tangente. Dans ce chapitre, tu apprends à définir le nombre dérivé, à écrire l’équation d’une tangente, puis à calculer des fonctions dérivées avec les formules usuelles.
Une droite non verticale a une équation y = mx + p, où m est le coefficient directeur (la pente) : m = yB − yAxB − xA. Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Une droite horizontale a pour pente 0. Rappelle-toi aussi les identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b² et (a − b)² = a² − 2ab + b².
1. Taux de variation
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a et b deux réels distincts de I. Le taux de variation de f entre a et b est le nombre f(b) − f(a)b − a.
C’est la variation de f divisée par la variation de x : « de combien f varie-t-elle quand x augmente de 1, en moyenne ». Graphiquement, si A(a ; f(a)) et M(b ; f(b)) sont deux points de la courbe, ce nombre est le coefficient directeur de la droite (AM), appelée sécante.
Soit f(x) = x² − 4x. Entre 1 et 5 : f(1) = −3 et f(5) = 5, donc le taux de variation est 5 − (−3)5 − 1 = 84 = 2. Entre 2 et 3 : f(2) = −4 et f(3) = −3, donc le taux vaut −3 − (−4)3 − 2 = 1.
Un vélo parcourt d(t) = 2t² mètres en t secondes (départ arrêté). Entre t = 1 et t = 4 : d(1) = 2 et d(4) = 32, donc la vitesse moyenne est 32 − 24 − 1 = 10 m/s. Un taux de variation, c’est une vitesse moyenne quand la fonction est une distance en fonction du temps.
Sur la figure, la sécante (AM) est en pointillés et la tangente en A en trait plein : quand M se rapproche de A, la sécante se rapproche de la tangente. C’est l’idée de la partie suivante.
2. Nombre dérivé en un point
Un taux de variation donne une vitesse moyenne. Pour obtenir la vitesse à un instant précis, on rapproche les deux valeurs. On pose b = a + h, où h est un réel non nul « très petit », et on étudie le taux de variation entre a et a + h :
f(a + h) − f(a)h
On dit que f est dérivable en a si le taux de variation f(a + h) − f(a)h se rapproche d’un nombre réel fixe quand h se rapproche de 0 (sans jamais valoir 0). Ce nombre est la limite du taux de variation ; on l’appelle le nombre dérivé de f en a et on le note f ′(a).
f ′(a) = limh→0 f(a + h) − f(a)h
- Calcule f(a).
- Calcule f(a + h) en développant.
- Écris le taux f(a + h) − f(a)h et simplifie par h (c’est possible car h ≠ 0).
- Fais tendre h vers 0 : le terme qui contient encore h disparaît.
f(x) = x² en a = 3. On a f(3) = 9 et f(3 + h) = 9 + 6h + h². Le taux vaut 9 + 6h + h² − 9h = 6h + h²h = 6 + h. Quand h tend vers 0, 6 + h tend vers 6. Donc f ′(3) = 6.
f(x) = x² − 4x en a = 1. On a f(1) = −3 et f(1 + h) = 1 + 2h + h² − 4 − 4h = −3 − 2h + h². Le taux vaut −2h + h²h = −2 + h, qui tend vers −2. Donc f ′(1) = −2.
On ne remplace jamais h par 0 avant d’avoir simplifié : le quotient 00 n’a aucun sens. Il faut d’abord factoriser par h au numérateur, simplifier, et seulement ensuite laisser h tendre vers 0.
Le nombre dérivé f ′(a) est la vitesse instantanée à l’instant a quand f décrit une distance en fonction du temps, et plus généralement le taux de variation instantané de f en a. Il n’existe pas toujours : une fonction peut ne pas être dérivable en un point (par exemple la fonction racine carrée en 0, voir la partie 4).
3. Tangente à une courbe
Soit f dérivable en a et C sa courbe. La tangente à C au point A(a ; f(a)) est la droite qui passe par A et dont le coefficient directeur est f ′(a). C’est la position limite des sécantes (AM) quand M se rapproche de A.
La tangente à C au point d’abscisse a a pour équation :
y = f ′(a)(x − a) + f(a)
Démonstration. Une droite de coefficient directeur m = f ′(a) a une équation de la forme y = mx + p. Elle passe par A(a ; f(a)) donc f(a) = ma + p, d’où p = f(a) − ma. Ainsi y = mx + f(a) − ma = m(x − a) + f(a).
- Calcule f(a).
- Calcule f ′(a) (par la définition ou avec une formule de dérivation).
- Remplace dans y = f ′(a)(x − a) + f(a).
- Développe et réduis pour obtenir y = mx + p.
Soit f(x) = x² − 2x et a = 3. On a f(3) = 3. Par la définition, f(3 + h) = 9 + 6h + h² − 6 − 2h = 3 + 4h + h², donc le taux est 4 + h et f ′(3) = 4. La tangente a pour équation y = 4(x − 3) + 3, soit y = 4x − 9.
Si f ′(a) = 0, la tangente est horizontale : son équation est y = f(a). C’est ce qui se passe au sommet d’une parabole. Si f ′(a) > 0, la courbe « monte » près de A ; si f ′(a) < 0, elle « descend ».
La tangente ne touche pas forcément la courbe en un seul point, et elle peut la traverser : la tangente en 0 à la courbe de x ↦ x³ est l’axe des abscisses, qui traverse la courbe. Ce qui définit la tangente, c’est sa pente f ′(a), pas le nombre de points communs.
4. Fonction dérivée et dérivées usuelles
Si f est dérivable en tout réel x d’un intervalle I, on dit qu’elle est dérivable sur I. La fonction f ′ qui, à chaque x de I, associe le nombre dérivé f ′(x) est la fonction dérivée de f.
Calculer chaque nombre dérivé avec la définition serait très long. On utilise donc des formules, à connaître :
| Fonction f | Dérivée f ′ | Ensemble de dérivabilité |
|---|---|---|
| f(x) = k (constante) | f ′(x) = 0 | ℝ |
| f(x) = x | f ′(x) = 1 | ℝ |
| f(x) = x² | f ′(x) = 2x | ℝ |
| f(x) = xn (n entier, n ≥ 1) | f ′(x) = nxn−1 | ℝ |
| f(x) = 1x | f ′(x) = −1x² | ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ |
| f(x) = √x | f ′(x) = 12√x | ]0 ; +∞[ |
Démonstration pour x ↦ x². Pour tout réel a, le taux de variation entre a et a + h vaut (a + h)² − a²h = 2ah + h²h = 2a + h, qui tend vers 2a. Donc la dérivée de x ↦ x² est x ↦ 2x.
Démonstration pour x ↦ 1x (a ≠ 0). Le taux de variation vaut (1a + h − 1a) ÷ h = a − (a + h)a(a + h)h = −ha(a + h)h = −1a(a + h), qui tend vers −1a².
Si f(x) = x⁵, alors f ′(x) = 5x⁴. Si g(x) = x⁸, g ′(x) = 8x⁷. En particulier la dérivée de x³ en 2 est 3 × 2² = 12, ce qui donne la tangente y = 12x − 16 (car 12(x − 2) + 8). Pour h(x) = 1x en a = 2 : h ′(2) = −14, et la tangente est y = −14(x − 2) + 12, soit y = −x4 + 1.
Entre 0 et h > 0, le taux de variation de √x vaut √h − 0h = 1√h. Quand h se rapproche de 0, ce nombre devient de plus en plus grand : il n’a pas de limite réelle. La courbe admet en 0 une tangente verticale (en pointillés sur la figure), qui n’a pas de coefficient directeur. La fonction racine carrée est donc dérivable seulement sur ]0 ; +∞[.
5. Opérations sur les fonctions dérivables
Dans le tableau suivant, u et v sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle I, et k est un réel.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| u + v | u ′ + v ′ | |
| ku | ku ′ | |
| uv | u ′v + uv ′ | |
| 1v | −v′v² | v(x) ≠ 0 sur I |
| uv | u′v − uv′v² | v(x) ≠ 0 sur I |
Démonstration pour la somme. Le taux de variation de u + v entre a et a + h est u(a + h) − u(a)h + v(a + h) − v(a)h : c’est la somme des deux taux, qui tendent vers u ′(a) et v ′(a). On en déduit celle de ku de la même façon.
La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées : (x × x)′ = (x²)′ = 2x, alors que x ′ × x ′ = 1 × 1 = 1. De même pour un quotient, il faut utiliser la formule complète avec le dénominateur v².
f(x) = 4x³ − 5x² + 2x − 7. On dérive terme à terme : f ′(x) = 4 × 3x² − 5 × 2x + 2 − 0 = 12x² − 10x + 2.
f(x) = (2x + 1)(x² − 3). On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = x² − 3 ; alors u ′(x) = 2 et v ′(x) = 2x. Donc f ′(x) = 2(x² − 3) + (2x + 1) × 2x = 2x² − 6 + 4x² + 2x = 6x² + 2x − 6. (Contrôle : en développant d’abord, f(x) = 2x³ + x² − 6x − 3 et on retrouve la même dérivée.)
f(x) = x²x+1 sur ]−1 ; +∞[. Ici u(x) = x² et v(x) = x + 1, donc u ′(x) = 2x et v ′(x) = 1. Alors f ′(x) = 2x(x + 1) − x² × 1(x + 1)² = 2x² + 2x − x²(x + 1)² = x² + 2x(x + 1)².
6. Dérivée d’une fonction composée avec une fonction affine
Soit g une fonction dérivable, a et b deux réels. La fonction f : x ↦ g(ax + b) est dérivable là où ax + b est dans l’ensemble de dérivabilité de g, et :
f ′(x) = a × g ′(ax + b)
En pratique : on dérive la « fonction de l’extérieur » en gardant l’intérieur ax + b, puis on multiplie par a.
- f(x) = (2x + 3)⁵ : ici g(X) = X⁵, a = 2. f ′(x) = 2 × 5(2x + 3)⁴ = 10(2x + 3)⁴.
- f(x) = √(3x − 1), définie et dérivable pour 3x − 1 > 0, soit x > 13 : f ′(x) = 3 × 12√(3x − 1) = 32√(3x − 1).
- f(x) = 12x + 5 sur ]−52 ; +∞[ : f ′(x) = 2 × (−1(2x + 5)²) = −2(2x + 5)².
N’oublie pas le facteur a ! La dérivée de (2x + 3)⁵ n’est pas 5(2x + 3)⁴. Et elle n’est pas non plus 5 × 2x⁴ : l’intérieur reste inchangé.
7. Méthode complète : dérivée, nombre dérivé et tangente
- Détermine l’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilité.
- Repère la forme de f (somme, produit, quotient, composée affine) et nomme u et v.
- Calcule u ′ et v ′, puis applique la formule.
- Factorise ou réduis f ′(x) pour qu’elle soit exploitable.
- Évalue f ′(a) et f(a), puis écris la tangente.
f(x) = x² + 1x sur ]0 ; +∞[. On pose u(x) = x² + 1 et v(x) = x : f ′(x) = 2x × x − (x² + 1) × 1x² = x² − 1x². En a = 2 : f(2) = 52 et f ′(2) = 34. La tangente est y = 34(x − 2) + 52 = 34x + 1. De plus f ′(x) = 0 pour x = 1 : la tangente en (1 ; 2) est horizontale.
g(x) = 3√x − 2x sur ]0 ; +∞[. g ′(x) = 3 × 12√x − 2 = 32√x − 2. En a = 4 : g(4) = 3 × 2 − 8 = −2 et g ′(4) = 34 − 2 = −54. La tangente est y = −54(x − 4) − 2 = −54x + 3.
8. Approximation affine et applications
Près de a, la courbe est « presque confondue » avec sa tangente. Pour h proche de 0, on a donc l’approximation :
f(a + h) ≈ f(a) + f ′(a) × h
Pour estimer √25,3 : on prend f(x) = √x, a = 25 et h = 0,3. Comme f ′(25) = 110, on obtient √25,3 ≈ 5 + 0,3 × 0,1 = 5,03. La calculatrice donne 5,0299…, l’approximation est très bonne.
- Cinématique : si d(t) est la distance parcourue à l’instant t, alors d ′(t) est la vitesse instantanée.
- Économie : si C(q) est le coût de fabrication de q objets, C ′(q) (coût marginal) est une bonne estimation du coût de l’objet suivant, C(q + 1) − C(q).
- Géométrie : f ′(a) est la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.
À retenir
- Taux de variation de f entre a et b : f(b) − f(a)b − a = pente de la sécante (AM).
- Nombre dérivé : f ′(a) = limite de f(a + h) − f(a)h quand h tend vers 0 ; on simplifie par h avant de faire tendre h vers 0.
- Tangente en A(a ; f(a)) : y = f ′(a)(x − a) + f(a). Tangente horizontale si f ′(a) = 0.
- Dérivées usuelles : (k)′ = 0 ; (x)′ = 1 ; (xn)′ = nxn−1 ; (1x)′ = −1x² (x ≠ 0) ; (√x)′ = 12√x (x > 0, non dérivable en 0).
- Opérations : (u + v)′ = u ′ + v ′ ; (ku)′ = ku ′ ; (uv)′ = u ′v + uv ′ ; (1v)′ = −v′v² ; (uv)′ = u′v − uv′v².
- Composée affine : (g(ax + b))′ = a × g ′(ax + b).
- Approximation affine : f(a + h) ≈ f(a) + f ′(a)h pour h proche de 0.