Quelle est la place occupée par une pelouse, un terrain de sport ou une feuille de papier ? Dans ce chapitre, tu apprends à comparer des aires, à les mesurer avec des carreaux, à les calculer avec des formules (rectangle, carré, triangle rectangle), à convertir les unités d’aire et à décomposer des figures compliquées en figures simples.
1. Qu’est-ce qu’une aire ? Comparer des aires
Aire
L’aire d’une figure fermée est la mesure de sa surface, c’est-à-dire de la partie du plan située à l’intérieur de son contour. Pour l’exprimer, on choisit une unité d’aire et on cherche combien de fois elle « rentre » dans la figure.
L’aire d’une figure fermée est la mesure de sa surface, c’est-à-dire de la partie du plan située à l’intérieur de son contour. Pour l’exprimer, on choisit une unité d’aire et on cherche combien de fois elle « rentre » dans la figure.
On peut comparer deux aires sans aucune mesure :
- par superposition : on pose une figure sur l’autre (en pensée ou avec du papier calque) et on regarde laquelle dépasse ;
- par découpage : on découpe une figure en morceaux et on réassemble les morceaux pour former l’autre figure. Si on y arrive sans perte ni recouvrement, les deux aires sont égales.
Les figures A et B sont toutes les deux formées de 8 carrés identiques : elles ont la même aire, alors qu’elles n’ont pas la même forme.
Même aire ne veut pas dire même forme
Deux figures très différentes peuvent avoir la même aire. Une figure découpée puis réassemblée garde la même aire, mais son contour peut changer de longueur.
Deux figures très différentes peuvent avoir la même aire. Une figure découpée puis réassemblée garde la même aire, mais son contour peut changer de longueur.
2. Mesurer une aire en comptant des carreaux (pavage)
Pavage et unité d’aire (u.a.)
Pour mesurer une aire, on pave la figure avec une unité d’aire (par exemple un carreau) et on compte les unités. Si la figure contient des demi-carreaux, on regroupe deux demi-carreaux pour faire un carreau entier.
Pour mesurer une aire, on pave la figure avec une unité d’aire (par exemple un carreau) et on compte les unités. Si la figure contient des demi-carreaux, on regroupe deux demi-carreaux pour faire un carreau entier.
Exemple
Ce rectangle est formé de 3 rangées de 5 carreaux : son aire est 3 × 5 = 15 u.a. Compter un à un fonctionne, mais multiplier est bien plus rapide !
Ce rectangle est formé de 3 rangées de 5 carreaux : son aire est 3 × 5 = 15 u.a. Compter un à un fonctionne, mais multiplier est bien plus rapide !
Avec des demi-carreaux
La figure ci-dessous contient 7 carreaux entiers et 2 demi-carreaux (en orange). Les 2 demi-carreaux font 1 carreau. Aire : 7 + 1 = 8 u.a.
La figure ci-dessous contient 7 carreaux entiers et 2 demi-carreaux (en orange). Les 2 demi-carreaux font 1 carreau. Aire : 7 + 1 = 8 u.a.
L’aire dépend de l’unité choisie : si on prend pour unité un demi-carreau, la même figure mesure 16 demi-carreaux. Le nombre change, mais la surface, elle, est la même.
3. Les unités d’aire usuelles et leurs conversions
Le mètre carré
Un mètre carré (1 m²) est l’aire d’un carré de 1 m de côté. De la même façon, 1 dm² est l’aire d’un carré de 1 dm de côté, 1 cm² celle d’un carré de 1 cm de côté, 1 mm² celle d’un carré de 1 mm de côté, 1 km² celle d’un carré de 1 km de côté.
Un mètre carré (1 m²) est l’aire d’un carré de 1 m de côté. De la même façon, 1 dm² est l’aire d’un carré de 1 dm de côté, 1 cm² celle d’un carré de 1 cm de côté, 1 mm² celle d’un carré de 1 mm de côté, 1 km² celle d’un carré de 1 km de côté.
Pourquoi 100 et pas 10 ?
1 m = 10 dm, donc un carré de 1 m de côté se découpe en 10 rangées de 10 carrés de 1 dm de côté : 1 m² = 10 × 10 dm² = 100 dm². De même 1 dm² = 100 cm² et 1 cm² = 100 mm². Quand on change d’unité, l’aire est multipliée ou divisée par 100 (et non par 10).
1 m = 10 dm, donc un carré de 1 m de côté se découpe en 10 rangées de 10 carrés de 1 dm de côté : 1 m² = 10 × 10 dm² = 100 dm². De même 1 dm² = 100 cm² et 1 cm² = 100 mm². Quand on change d’unité, l’aire est multipliée ou divisée par 100 (et non par 10).
Convertir avec le tableau
Dans le tableau des unités d’aire, chaque unité occupe deux colonnes. On écrit le chiffre des unités dans la colonne de droite de l’unité de départ, puis on complète avec des zéros et on lit le nombre dans la nouvelle unité.
Dans le tableau des unités d’aire, chaque unité occupe deux colonnes. On écrit le chiffre des unités dans la colonne de droite de l’unité de départ, puis on complète avec des zéros et on lit le nombre dans la nouvelle unité.
| m² | dm² | cm² | mm² | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 4 | 5 | 0 | 0 | ||
Chaque unité occupe deux colonnes. 3,45 m² : le 3 est dans la colonne des unités de m², puis on lit 45 dm² et 00 cm². Donc 3,45 m² = 345 dm² = 34 500 cm².
Exemples
2 m² = 200 dm² (on passe à l’unité plus petite : × 100). 3 dm² = 0,03 m² (on passe à l’unité plus grande : ÷ 100). 15 cm² = 0,15 dm². 6 500 cm² = 65 dm² = 0,65 m². Pour les grandes surfaces : 1 km² = 1 000 × 1 000 m² = 1 000 000 m².
2 m² = 200 dm² (on passe à l’unité plus petite : × 100). 3 dm² = 0,03 m² (on passe à l’unité plus grande : ÷ 100). 15 cm² = 0,15 dm². 6 500 cm² = 65 dm² = 0,65 m². Pour les grandes surfaces : 1 km² = 1 000 × 1 000 m² = 1 000 000 m².
Le bon réflexe
Pour descendre d’une unité (m² vers dm², dm² vers cm²…), décale la virgule de 2 rangs vers la droite ; pour monter d’une unité, de 2 rangs vers la gauche. Pour passer de m² à cm² (deux unités), c’est 4 rangs.
Pour descendre d’une unité (m² vers dm², dm² vers cm²…), décale la virgule de 2 rangs vers la droite ; pour monter d’une unité, de 2 rangs vers la gauche. Pour passer de m² à cm² (deux unités), c’est 4 rangs.
4. Aire du rectangle et du carré
Formules
Aire d’un rectangle de longueur L et de largeur ℓ : 𝒜 = L × ℓ.
Aire d’un carré de côté c : 𝒜 = c × c = c².
Les deux longueurs doivent être dans la même unité ; l’aire est alors dans l’unité carrée correspondante.
Aire d’un rectangle de longueur L et de largeur ℓ : 𝒜 = L × ℓ.
Aire d’un carré de côté c : 𝒜 = c × c = c².
Les deux longueurs doivent être dans la même unité ; l’aire est alors dans l’unité carrée correspondante.
Exemple
Un rectangle mesure 12 cm de long et 7 cm de large : 𝒜 = 12 × 7 = 84 cm². Un carré de 9 m de côté : 𝒜 = 9 × 9 = 81 m².
Un rectangle mesure 12 cm de long et 7 cm de large : 𝒜 = 12 × 7 = 84 cm². Un carré de 9 m de côté : 𝒜 = 9 × 9 = 81 m².
Chercher une longueur manquante
Si on connaît l’aire et une dimension d’un rectangle, on divise : L = 𝒜 ÷ ℓ. Exemple : aire 54 cm², largeur 6 cm, donc longueur = 54 ÷ 6 = 9 cm (car 9 × 6 = 54).
Si on connaît l’aire et une dimension d’un rectangle, on divise : L = 𝒜 ÷ ℓ. Exemple : aire 54 cm², largeur 6 cm, donc longueur = 54 ÷ 6 = 9 cm (car 9 × 6 = 54).
Piège des unités
Un rectangle de 3 m sur 50 cm : on ne peut pas faire 3 × 50 ! Il faut convertir d’abord : 50 cm = 0,5 m, puis 3 × 0,5 = 1,5 m² (ou 300 cm × 50 cm = 15 000 cm² = 1,5 m²).
Un rectangle de 3 m sur 50 cm : on ne peut pas faire 3 × 50 ! Il faut convertir d’abord : 50 cm = 0,5 m, puis 3 × 0,5 = 1,5 m² (ou 300 cm × 50 cm = 15 000 cm² = 1,5 m²).
5. Aire du triangle rectangle
Un triangle rectangle est la moitié d’un rectangle
Si on coupe un rectangle selon une diagonale, on obtient deux triangles rectangles identiques. L’aire d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent a et b est donc 𝒜 = (a × b) ÷ 2.
Si on coupe un rectangle selon une diagonale, on obtient deux triangles rectangles identiques. L’aire d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent a et b est donc 𝒜 = (a × b) ÷ 2.
Exemple
Sur le dessin, le rectangle fait 8 cm sur 5 cm : 8 × 5 = 40 cm². Chaque triangle rectangle a donc une aire de 40 ÷ 2 = 20 cm².
Sur le dessin, le rectangle fait 8 cm sur 5 cm : 8 × 5 = 40 cm². Chaque triangle rectangle a donc une aire de 40 ÷ 2 = 20 cm².
N’oublie pas la moitié
Le calcul 8 × 5 donne l’aire du rectangle, pas celle du triangle. Il faut penser à diviser par 2. Le côté oblique (l’hypoténuse) ne sert pas dans la formule.
Le calcul 8 × 5 donne l’aire du rectangle, pas celle du triangle. Il faut penser à diviser par 2. Le côté oblique (l’hypoténuse) ne sert pas dans la formule.
6. Aires de figures composées : décomposer
Deux méthodes pour une figure compliquée
1) Découper la figure en rectangles, carrés et triangles rectangles, calculer chaque aire, puis additionner. 2) Compléter la figure pour obtenir un rectangle, calculer son aire, puis soustraire l’aire de la partie ajoutée.
1) Découper la figure en rectangles, carrés et triangles rectangles, calculer chaque aire, puis additionner. 2) Compléter la figure pour obtenir un rectangle, calculer son aire, puis soustraire l’aire de la partie ajoutée.
Exemple : la figure en L
Par découpage : A est un rectangle de 3 cm sur 5 cm, soit 15 cm² ; B est un rectangle de 5 cm sur 2 cm, soit 10 cm². Aire totale : 15 + 10 = 25 cm².
Par soustraction : le grand rectangle fait 8 × 5 = 40 cm² ; on enlève le coin manquant de 5 cm sur 3 cm, soit 15 cm² : 40 − 15 = 25 cm². Les deux méthodes donnent le même résultat, ce qui est une bonne vérification.
Par découpage : A est un rectangle de 3 cm sur 5 cm, soit 15 cm² ; B est un rectangle de 5 cm sur 2 cm, soit 10 cm². Aire totale : 15 + 10 = 25 cm².
Par soustraction : le grand rectangle fait 8 × 5 = 40 cm² ; on enlève le coin manquant de 5 cm sur 3 cm, soit 15 cm² : 40 − 15 = 25 cm². Les deux méthodes donnent le même résultat, ce qui est une bonne vérification.
Mathbot te conseille
« Avant de calculer, repère sur la figure les longueurs qui manquent : souvent, on les trouve en additionnant ou en soustrayant des longueurs connues. Écris-les sur le dessin ! »
« Avant de calculer, repère sur la figure les longueurs qui manquent : souvent, on les trouve en additionnant ou en soustrayant des longueurs connues. Écris-les sur le dessin ! »
7. Le disque : une première approche
Pour un disque, il n’existe pas (encore) de formule simple en 6ème. On peut cependant encadrer son aire grâce à un quadrillage : on compte les carreaux entièrement dans le disque (en bleu) et les carreaux qui sont au moins en partie dans le disque (bleus et orange).
Exemple : disque de rayon 3 carreaux
Il y a 16 carreaux bleus entièrement dans le disque et 36 carreaux en tout qui touchent le disque. Si 1 carreau = 1 cm², on peut écrire : 16 cm² < aire du disque < 36 cm².
Il y a 16 carreaux bleus entièrement dans le disque et 36 carreaux en tout qui touchent le disque. Si 1 carreau = 1 cm², on peut écrire : 16 cm² < aire du disque < 36 cm².
Une idée à retenir
L’aire d’un disque de rayon r est un peu plus de 3 fois l’aire du carré de côté r. Avec r = 3 cm : le carré de côté 3 cm a une aire de 9 cm², donc le disque a une aire d’environ 3 × 9 = 27 cm². C’est bien entre 16 et 36 ! Plus tard, tu découvriras la formule exacte avec le nombre π.
L’aire d’un disque de rayon r est un peu plus de 3 fois l’aire du carré de côté r. Avec r = 3 cm : le carré de côté 3 cm a une aire de 9 cm², donc le disque a une aire d’environ 3 × 9 = 27 cm². C’est bien entre 16 et 36 ! Plus tard, tu découvriras la formule exacte avec le nombre π.
8. Aire et périmètre : ne pas les confondre
Deux grandeurs différentes
Le périmètre est la longueur du contour (en cm, m…). L’aire est la mesure de la surface intérieure (en cm², m²…).
Le périmètre est la longueur du contour (en cm, m…). L’aire est la mesure de la surface intérieure (en cm², m²…).
Même aire, périmètres différents
Un rectangle de 8 cm sur 3 cm et un rectangle de 6 cm sur 4 cm ont la même aire : 24 cm². Mais leurs périmètres sont 2 × (8 + 3) = 22 cm et 2 × (6 + 4) = 20 cm.
Un rectangle de 8 cm sur 3 cm et un rectangle de 6 cm sur 4 cm ont la même aire : 24 cm². Mais leurs périmètres sont 2 × (8 + 3) = 22 cm et 2 × (6 + 4) = 20 cm.
Même périmètre, aires différentes
Un rectangle de 9 cm sur 1 cm et un carré de 5 cm de côté ont le même périmètre (20 cm) mais pas la même aire : 9 cm² contre 25 cm².
Un rectangle de 9 cm sur 1 cm et un carré de 5 cm de côté ont le même périmètre (20 cm) mais pas la même aire : 9 cm² contre 25 cm².
À retenir absolument
Si une figure a un plus grand périmètre qu’une autre, on ne peut pas en déduire qu’elle a une plus grande aire. Et inversement !
Si une figure a un plus grand périmètre qu’une autre, on ne peut pas en déduire qu’elle a une plus grande aire. Et inversement !
9. Résoudre un problème d’aire
Méthode
1) Repère la figure utile et fais un schéma. 2) Mets toutes les longueurs dans la même unité. 3) Calcule les aires (formules ou décomposition). 4) Pour un recouvrement (carrelage, peinture, gazon), divise l’aire à couvrir par l’aire d’une unité de recouvrement ; si le résultat n’est pas entier, arrondis au nombre entier supérieur. 5) Conclus par une phrase avec l’unité.
1) Repère la figure utile et fais un schéma. 2) Mets toutes les longueurs dans la même unité. 3) Calcule les aires (formules ou décomposition). 4) Pour un recouvrement (carrelage, peinture, gazon), divise l’aire à couvrir par l’aire d’une unité de recouvrement ; si le résultat n’est pas entier, arrondis au nombre entier supérieur. 5) Conclus par une phrase avec l’unité.
Exemple
On veut carreler un sol de 3 m sur 2 m avec des dalles carrées de 50 cm de côté. Une dalle couvre 0,5 × 0,5 = 0,25 m². Le sol mesure 3 × 2 = 6 m². Nombre de dalles : 6 ÷ 0,25 = 24 dalles. (Vérification : 6 dalles dans la longueur et 4 dans la largeur, 6 × 4 = 24.)
On veut carreler un sol de 3 m sur 2 m avec des dalles carrées de 50 cm de côté. Une dalle couvre 0,5 × 0,5 = 0,25 m². Le sol mesure 3 × 2 = 6 m². Nombre de dalles : 6 ÷ 0,25 = 24 dalles. (Vérification : 6 dalles dans la longueur et 4 dans la largeur, 6 × 4 = 24.)
À retenir
- L’aire mesure la surface intérieure d’une figure ; on peut la comparer par superposition ou par découpage, ou la mesurer en comptant des unités d’aire.
- 1 m² = 100 dm² ; 1 dm² = 100 cm² ; 1 cm² = 100 mm² ; 1 km² = 1 000 000 m². Chaque unité occupe deux colonnes dans le tableau de conversion.
- Rectangle : 𝒜 = L × ℓ. Carré : 𝒜 = c × c. Les longueurs doivent être dans la même unité.
- Triangle rectangle : 𝒜 = (a × b) ÷ 2, où a et b sont les côtés de l’angle droit.
- Pour une figure composée, on découpe et on additionne, ou on complète et on soustrait.
- L’aire d’un disque s’encadre avec un quadrillage ; elle vaut un peu plus de 3 fois l’aire du carré de côté r.
- Périmètre et aire sont deux grandeurs différentes : même aire n’implique pas même périmètre.