En 2de, on ne se contente plus de calculer : on justifie et on démontre. Dans ce chapitre, tu vas ranger les nombres dans leurs ensembles, maîtriser les puissances et la notation scientifique, travailler avec les racines carrées et leurs valeurs exactes, puis explorer le monde des multiples, des diviseurs et des nombres premiers. Ce sont les outils de base de toute l’année.
1. Les ensembles de nombres
Les mathématiciens rangent les nombres dans des « familles » de plus en plus grandes.
| Symbole | Nom | Exemples |
|---|---|---|
| ℕ | entiers naturels | 0, 1, 2, 3, 150… |
| ℤ | entiers relatifs | −8, 0, 5… |
| 𝔻 | nombres décimaux | ceux qui s’écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule : 2,75 ; −0,004 |
| ℚ | nombres rationnels | quotients d’un entier par un entier non nul : 23 ; −74 ; 5 |
| ℝ | nombres réels | tous les nombres de la droite graduée, dont √2 et π |
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Chaque ensemble est contenu dans le suivant : un entier naturel est aussi relatif, décimal, rationnel et réel. Pour un nombre, on cherche le plus petit ensemble qui le contient.
« a ∈ ℚ » se lit « a appartient à ℚ ». « a ∉ ℕ » : a n’appartient pas à ℕ. « ℕ ⊂ ℤ » : ℕ est inclus dans ℤ. On note ℝ* l’ensemble des réels privés de 0, et ℕ* celui des entiers naturels non nuls.
−12 ∈ ℤ mais −12 ∉ ℕ. 0,375 ∈ 𝔻. 13 ∈ ℚ mais 13 ∉ 𝔻 car son écriture décimale 0,333… ne s’arrête jamais. √16 = 4 ∈ ℕ. √5 ∈ ℝ mais √5 ∉ ℚ : on dit que √5 est irrationnel.
Une fraction irréductible ab est un nombre décimal si et seulement si son dénominateur b n’a pas d’autre facteur premier que 2 ou 5. Ainsi 740 ∈ 𝔻 (40 = 2³ × 5) mais 712 ∉ 𝔻 (12 contient le facteur 3).
Supposons que √2 = pq avec p et q entiers, fraction irréductible. Alors p² = 2q², donc p² est pair, donc p est pair : p = 2k. Alors 4k² = 2q², soit q² = 2k², donc q est pair aussi. Mais alors p et q sont tous deux pairs : la fraction n’était pas irréductible. Contradiction : √2 n’est pas rationnel.
2. Calculs avec les fractions
Un rationnel a une infinité d’écritures fractionnaires ; on utilise de préférence la forme irréductible.
- Addition ou soustraction : réduire au même dénominateur (un multiple commun, de préférence le plus petit).
- Multiplication : multiplier numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux, en simplifiant avant de calculer.
- Division : multiplier par l’inverse de la fraction diviseur.
- Terminer par la simplification et le signe.
A = 56 − 34 ÷ 98 .
Priorité à la division : 34 ÷ 98 = 34 × 89 = 2436 = 23.
Puis A = 56 − 46 = 16.
Pour x = 0,2727… : on multiplie par 100 pour décaler la période, 100x = 27,2727… ; on soustrait : 99x = 27, donc x = 2799 = 311. Un décimal périodique est donc toujours un rationnel.
3. Puissances entières relatives
Pour un réel a et un entier n ≥ 1 : aⁿ = a × a × … × a (n facteurs). On pose a⁰ = 1 si a ≠ 0, et pour a ≠ 0 : a−n = 1aⁿ.
- am × an = am+n
- [[am/an]] = am−n
- (am)n = am×n
- (a × b)n = an × bn et (ab)n = [[an/bn]]
- (ab)−n = (ba)n
25 × 2−8 = 2−3 = 18.
[[53/5−1]] = 53−(−1) = 54 = 625.
(23)−2 = (32)² = 94.
(3²)−2 × 35 = 3−4 × 35 = 3.
(−2)⁴ = 16 mais −2⁴ = −16 : les parenthèses comptent. a−n n’est pas négatif : 2−3 = 18 et non −8. Et am + an ne se simplifie pas : 2³ + 2² = 12, ce n’est pas 2⁵.
4. Puissances de 10 et notation scientifique
Multiplier par 10n décale la virgule de n rangs vers la droite (n > 0) ; multiplier par 10−n la décale de n rangs vers la gauche.
Un nombre décimal strictement positif s’écrit de façon unique a × 10n avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif.
45 600 000 = 4,56 × 10⁷ (virgule décalée de 7 rangs). 0,000 072 = 7,2 × 10−5.
Produit : (3 × 10⁵) × (4 × 10−8) = 12 × 10−3 = 1,2 × 10−2 : on a dû ajuster, car 12 n’est pas compris entre 1 et 10.
Pour comparer ou estimer, on arrondit chaque facteur à une puissance de 10 voisine et on calcule : 4 987 × 0,0021 ≈ 5 × 10³ × 2 × 10−3 = 10.
5. Racine carrée
Pour un réel a ≥ 0, √a est l’unique nombre positif dont le carré vaut a. Donc (√a)² = a et √(a²) = a (si a ≥ 0). Attention : √(x²) = |x| pour tout réel x ; par exemple √((−5)²) = 5.
- √(a × b) = √a × √b
- si b > 0 : √(ab) = √a√b
- si a ≤ b alors √a ≤ √b (la racine carrée conserve l’ordre)
En général √(a + b) ≠ √a + √b. Par exemple √(9 + 16) = 5, alors que √9 + √16 = 7.
On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre. √50 = √(25 × 2) = 5√2. √75 = √(25 × 3) = 5√3. Pour une somme : 3√20 − √45 + √80 = 6√5 − 3√5 + 4√5 = 7√5 : on obtient des racines du même type, que l’on regroupe comme des termes semblables.
On multiplie en haut et en bas par la racine : 6√3 = 6√33 = 2√3. Si le dénominateur est de la forme a − √b, on utilise l’expression conjuguée a + √b et l’identité (a − √b)(a + √b) = a² − b : 4(3−√5) = 4(3+√5)4 = 3 + √5.
Un carré d’aire 72 cm² a pour côté √72 = 6√2 cm (valeur exacte), soit environ 8,49 cm (valeur approchée à 0,01 près). En calcul, garde la valeur exacte le plus longtemps possible.
6. Identités remarquables avec des racines
(a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
(2√3 + 1)² = (2√3)² + 2 × 2√3 × 1 + 1² = 12 + 4√3 + 1 = 13 + 4√3.
(√7 − 2)(√7 + 2) = 7 − 4 = 3.
Avec x = 1+√52 : x² = 6+2√54 = 3+√52 = x + 1. Le nombre x est le « nombre d’or ».
7. Multiples, diviseurs, divisibilité
Pour a et b entiers (b ≠ 0), « b divise a » signifie qu’il existe un entier k tel que a = b × k. On dit aussi que a est un multiple de b et que b est un diviseur de a. La division euclidienne de a par b (entiers naturels, b > 0) donne a = b × q + r avec 0 ≤ r < b ; b divise a exactement quand r = 0.
1 234 = 37 × 33 + 13 : le quotient est 33, le reste 13. Donc 37 ne divise pas 1 234. En revanche 1 221 = 37 × 33, donc 37 divise 1 221.
| Divisible par | Critère |
|---|---|
| 2 | le dernier chiffre est pair |
| 3 | la somme des chiffres est divisible par 3 |
| 5 | le dernier chiffre est 0 ou 5 |
| 9 | la somme des chiffres est divisible par 9 |
| 10 | le dernier chiffre est 0 |
Si b divise a et c, alors b divise a + c, a − c et tout multiple de a. Un entier est pair s’il s’écrit 2k, impair s’il s’écrit 2k + 1 (k entier).
On nomme l’entier (n, ou 2k + 1 pour un impair), on développe, on fait apparaître le facteur voulu, puis on conclut. Exemple : le carré d’un impair (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1. Comme k(k + 1) est pair, 4k(k + 1) est multiple de 8, donc le carré est de la forme 8m + 1.
8. Nombres premiers et décomposition
Un entier naturel est premier s’il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. 0 et 1 ne sont pas premiers. Les premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…
Tout entier n ≥ 2 s’écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique (à l’ordre près). Pour savoir si n est premier, il suffit de tester les premiers p tels que p² ≤ n.
360 = 2³ × 3² × 5. 1 260 = 2² × 3² × 5 × 7. Donc 3601260 : on retire les facteurs communs 2² × 3² × 5 = 180 et on obtient 27.
Nombre de diviseurs : si n = pa × qb × rc, il y en a (a+1)(b+1)(c+1). Pour 84 = 2² × 3 × 7 : 3 × 2 × 2 = 12 diviseurs.
Le PGCD est le produit des facteurs communs avec le plus petit exposant ; le PPCM, celui de tous les facteurs avec le plus grand exposant. Pour 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3² : PGCD = 2 × 3 = 6 ; PPCM = 2² × 3² = 36.
Mathbot te souffle : pour tester si un nombre inférieur à 200 est premier, essaie seulement 2, 3, 5, 7, 11 et 13. S’aucun ne divise, c’est gagné !
À retenir
- ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ ; √2, π sont irrationnels ; 13 est rationnel non décimal.
- am × an = am+n ; [[am/an]] = am−n ; (am)n = amn ; a−n = 1aⁿ.
- Notation scientifique : a × 10n avec 1 ≤ a < 10.
- √a est positif, (√a)² = a, √(ab) = √a × √b, mais √(a + b) ≠ √a + √b.
- Pour simplifier : extraire le plus grand carré parfait ; pour un dénominateur irrationnel : multiplier par la racine ou par le conjugué.
- a = bq + r avec 0 ≤ r < b ; b divise a si r = 0.
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs ; la décomposition en facteurs premiers est unique.
- Pour démontrer : nommer, développer, conclure (pair = 2k, impair = 2k + 1).