Une fonction est tantôt au-dessus de zéro, tantôt en dessous. Savoir où elle est positive ou négative est un outil puissant : il permet de résoudre des inéquations, de comparer deux courbes, de savoir quand un bénéfice est réalisé. Dans ce chapitre, tu apprends à lire le signe d’une fonction sur sa courbe, à le trouver pour une fonction affine, puis à construire des tableaux de signes de produits et de quotients pour résoudre des inéquations.
1. Le signe d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un ensemble D. Étudier le signe de f, c’est déterminer, pour chaque nombre x de D, si f(x) est strictement positif (f(x) > 0), strictement négatif (f(x) < 0) ou nul (f(x) = 0). Les nombres x tels que f(x) = 0 s’appellent les zéros (ou racines) de f.
Sur la courbe 𝒞 de f dans un repère, le signe se lit directement :
- si la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses, f(x) est positif ;
- si la courbe est en dessous de l’axe des abscisses, f(x) est négatif ;
- si la courbe coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse a, alors f(a) = 0.
Voici la courbe d’une fonction g définie sur [−2 ; 4]. Elle coupe l’axe des abscisses aux points A et B, d’abscisses −1 et 3.
On lit : g(x) < 0 sur [−2 ; −1[ et sur ]3 ; 4], g(x) > 0 sur ]−1 ; 3[, et g(−1) = g(3) = 0. On range ces informations dans un tableau de signes :
| x | −2 | −1 | 3 | 4 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| g(x) | − | 0 | + | 0 | − |
Une fonction peut être positive et décroissante (la courbe descend mais reste au-dessus de l’axe), ou négative et croissante. Le signe de f dépend de la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses, pas de sa pente.
2. Du tableau de signes aux ensembles de solutions
La première ligne donne les valeurs de x rangées dans l’ordre croissant, en commençant et en finissant par les bornes de l’ensemble d’étude. La deuxième ligne donne le signe de f(x) sur chaque intervalle, et un 0 sous chaque zéro. Une double barre signale une valeur pour laquelle f(x) n’existe pas.
- Repère les intervalles où le signe demandé apparaît.
- Pour une inégalité stricte (> ou <), les zéros sont exclus : les crochets sont tournés vers l’extérieur.
- Pour une inégalité large (≥ ou ≤), les zéros sont inclus : les crochets sont tournés vers l’intérieur.
- Si plusieurs intervalles conviennent, réunis-les avec le symbole ∪.
g(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ [−1 ; 3] (les zéros sont inclus). g(x) < 0 ⇔ x ∈ [−2 ; −1[ ∪ ]3 ; 4] (les zéros sont exclus ; en −2 et en 4, g est bien négative).
Sur [−2 ; 4], les crochets en −2 et en 4 sont toujours fermés : ces valeurs font partie de l’ensemble d’étude. Si l’étude porte sur ℝ, on écrit −∞ et +∞ avec des crochets ouverts.
3. Signe d’une fonction affine
Soit f la fonction affine définie sur ℝ par f(x) = ax + b avec a ≠ 0. Elle s’annule en x₀ = −ba. Alors :
- si a > 0, f(x) est négatif pour x < x₀, nul en x₀, positif pour x > x₀ ;
- si a < 0, f(x) est positif pour x < x₀, nul en x₀, négatif pour x > x₀.
| x | −∞ | x₀ | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| a > 0 : f(x) | − | 0 | + | ||
| a < 0 : f(x) | + | 0 | − |
Démonstration. Supposons a > 0. On a ax + b > 0 ⇔ ax > −b ⇔ x > −ba : on a divisé par a, un nombre positif, donc le sens de l’inégalité ne change pas. Si a < 0, diviser par a change le sens : ax + b > 0 ⇔ x < −ba. Le cas f(x) = 0 donne x = −ba dans les deux cas.
- Calcule le zéro : on résout ax + b = 0, donc x₀ = −ba.
- Regarde le signe de a : il donne le signe de f(x) à droite du zéro. À gauche, c’est le signe opposé.
- Remplis le tableau : −∞, x₀, +∞ en première ligne, puis les signes, avec un 0 sous x₀.
Pour f(x) = −2x + 5 : f(x) = 0 ⇔ x = 52. Comme a = −2 < 0, f est positive avant 52 et négative après.
| x | −∞ | 5/2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| −2x + 5 | + | 0 | − |
Ainsi −2x + 5 > 0 ⇔ x < 52, c’est-à-dire x ∈ ]−∞ ; 2,5[.
Pour un facteur de la forme ax + b, le signe de a se retrouve toujours dans la case la plus à droite du tableau. Vérifie-le avec un nombre très grand : pour x = 1 000, le terme ax domine b.
Si a = 0, la fonction est constante égale à b : elle a partout le signe de b (et ne s’annule jamais si b ≠ 0).
4. Signe des fonctions de référence
Les fonctions de référence ont des signes à connaître par cœur (tu peux les retrouver à l’aide de leur courbe).
| Fonction | Ensemble | Signe |
|---|---|---|
| x ↦ x² | ℝ | positive partout, nulle seulement en 0 |
| x ↦ x³ | ℝ | négative si x < 0, positive si x > 0 |
| x ↦ 1x | ℝ privé de 0 | négative si x < 0, positive si x > 0 (0 est une valeur interdite) |
| x ↦ √x | [0 ; +∞[ | positive partout, nulle seulement en 0 |
Si k > 0, les fonctions f et kf ont le même signe. Si k < 0, elles ont des signes opposés. Par exemple, −3x² est négative partout et nulle en 0.
x² + 1 est strictement positive pour tout réel x, car x² ≥ 0 donc x² + 1 ≥ 1. Un facteur comme x² + 1 ne change donc jamais le signe d’un produit : on peut l’ignorer dans un tableau de signes.
5. Signe d’un produit
Le produit de deux nombres de même signe est positif ; le produit de deux nombres de signes contraires est négatif. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
- Cherche le zéro de chaque facteur (ils sont affines ou de référence).
- Range tous ces zéros dans l’ordre croissant sur la première ligne.
- Écris une ligne par facteur avec son signe sur chaque intervalle (et un 0 sous son zéro).
- La dernière ligne donne le produit : on applique la règle des signes colonne par colonne. Un 0 apparaît sous chaque zéro d’un facteur.
Étudions le signe de P(x) = (2x − 4)(5 − x). Le facteur 2x − 4 s’annule en 2 et est croissant. Le facteur 5 − x s’annule en 5 et est décroissant.
| x | −∞ | 2 | 5 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2x − 4 | − | 0 | + | + | |||
| 5 − x | + | + | 0 | − | |||
| P(x) | − | 0 | + | 0 | − |
Donc P(x) > 0 ⇔ x ∈ ]2 ; 5[ et P(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ ]−∞ ; 2] ∪ [5 ; +∞[.
Compare bien les zéros avant de les placer : par exemple −12 est plus petit que 13, et −3 est plus petit que −2. Une erreur d’ordre fausse tout le tableau.
6. Signe d’un quotient
Les signes de AB suivent la même règle des signes que pour un produit. La différence : le dénominateur ne doit jamais être nul.
Le quotient A(x)B(x) est défini pour B(x) ≠ 0. Il est positif quand A(x) et B(x) ont le même signe, négatif quand ils ont des signes contraires, nul quand A(x) = 0 (avec B(x) ≠ 0). Sous un zéro du dénominateur, on met une double barre, jamais un 0.
Soit Q(x) = x−32x+4. Le numérateur s’annule en 3, le dénominateur en −2 (valeur interdite).
| x | −∞ | −2 | 3 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x − 3 | − | − | 0 | + | |||
| 2x + 4 | − | 0 | + | + | |||
| Q(x) | + | || | − | 0 | + |
Q est définie sur ℝ privé de −2. On a Q(x) ≥ 0 ⇔ x ∈ ]−∞ ; −2[ ∪ [3 ; +∞[ : le nombre 3 est inclus car il annule le numérateur, le nombre −2 est exclu car il annule le dénominateur.
Un crochet est toujours ouvert sur une valeur qui annule le dénominateur, même pour une inégalité large (≥ ou ≤).
7. Résoudre une inéquation avec un tableau de signes
- Tout à gauche : transforme l’inéquation pour comparer une expression à 0 (on passe tous les termes du même côté).
- Factorise ou réduis au même dénominateur : l’expression doit devenir un produit ou un quotient de facteurs dont on connaît le signe.
- Tableau de signes de ce produit ou quotient.
- Conclus par un ensemble de solutions, en respectant les crochets.
Résolvons 4−xx+2 ≥ 0. Le numérateur s’annule en 4 (positif avant), le dénominateur en −2 (négatif avant, valeur interdite).
| x | −∞ | −2 | 4 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 − x | + | + | 0 | − | |||
| x + 2 | − | 0 | + | + | |||
| quotient | − | || | + | 0 | − |
L’ensemble des solutions est ]−2 ; 4] : −2 est exclu (valeur interdite), 4 est inclus (le quotient y vaut 0).
Résolvons x² > 3x. On passe tout à gauche : x² − 3x > 0. On factorise : x(x − 3) > 0.
| x | −∞ | 0 | 3 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x | − | 0 | + | + | |||
| x − 3 | − | − | 0 | + | |||
| x(x − 3) | + | 0 | − | 0 | + |
Solutions : ]−∞ ; 0[ ∪ ]3 ; +∞[.
Ne simplifie jamais par x dans x² > 3x : tu perdrais la moitié des solutions (x est négatif pour certaines solutions, et le sens changerait). Ne multiplie jamais en croix une inéquation avec un dénominateur dont tu ne connais pas le signe.
8. Applications
Position relative de deux courbes
Pour savoir quelle courbe est au-dessus de l’autre, on étudie le signe de la différence f(x) − g(x) : si elle est positive, la courbe de f est au-dessus de celle de g.
Soit f(x) = x² et g(x) = 2x + 3. On a f(x) − g(x) = x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3) (on développe : x² − 3x + x − 3 = x² − 2x − 3).
| x | −∞ | −1 | 3 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x + 1 | − | 0 | + | + | |||
| x − 3 | − | − | 0 | + | |||
| f(x) − g(x) | + | 0 | − | 0 | + |
La parabole est au-dessus de la droite pour x < −1 et pour x > 3, en dessous entre −1 et 3, et elles se coupent en P(−1 ; 1) et Q(3 ; 9).
Un problème de bénéfice
Un atelier fabrique x dizaines de bougies (x ∈ [0 ; 12]). Son bénéfice, en centaines d’euros, est B(x) = (x − 2)(10 − x).
| x | 0 | 2 | 10 | 12 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x − 2 | − | 0 | + | + | |||
| 10 − x | + | + | 0 | − | |||
| B(x) | − | 0 | + | 0 | − |
Le bénéfice est strictement positif pour x ∈ ]2 ; 10[ : l’atelier gagne de l’argent s’il fabrique entre 2 et 10 dizaines de bougies (exclues), et il perd de l’argent en dessous de 2 ou au-dessus de 10 dizaines.
Mathbot, ton robot-coach, te donne un réflexe : « Pour toute inéquation, je compare à 0, je factorise, je dresse le tableau, puis seulement je conclus. » Cet ordre ne trahit jamais.
À retenir
- Le signe de f(x) se lit sur la courbe : au-dessus de l’axe des abscisses, f(x) > 0 ; en dessous, f(x) < 0 ; sur l’axe, f(x) = 0.
- Un tableau de signes range les zéros dans l’ordre croissant et donne le signe sur chaque intervalle.
- Pour f(x) = ax + b (a ≠ 0) : zéro en −ba ; le signe de a est à droite du zéro, le signe opposé à gauche.
- x² ≥ 0 ; x et x³ ont le signe de x ; 1x a le signe de x (x ≠ 0) ; √x ≥ 0.
- Un produit ou un quotient : une ligne par facteur, puis la règle des signes ; double barre sous une valeur interdite.
- Pour résoudre une inéquation : tout à gauche, factoriser ou réduire, tableau de signes, conclure avec les bons crochets.
- Pour comparer deux courbes, on étudie le signe de f(x) − g(x).