Écrire 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 devient vite pénible, et que dire d’un produit de cent facteurs ! Les puissances sont une écriture courte pour ces produits. Dans ce chapitre, tu apprends à les calculer, à utiliser des exposants négatifs, à maîtriser les puissances de 10 et à écrire les très grands ou très petits nombres en notation scientifique.
- Multiplier par 10, 100, 1 000 décale la virgule vers la droite ; diviser par 10, 100, 1 000 la décale vers la gauche.
- Dans un calcul, les parenthèses passent d’abord, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions.
- Le produit de deux nombres de même signe est positif ; de signes contraires, il est négatif.
- L’inverse d’un nombre non nul a est 1a : le produit d’un nombre par son inverse vaut 1.
1. Puissance d’exposant positif
Soit a un nombre relatif et n un entier positif non nul. Le produit de n facteurs tous égaux à a se note an :
an = a × a × … × a (n facteurs).
On lit « a exposant n » ou « a puissance n ». Le nombre n est l’exposant.
a1 = a ; a0 = 1 (pour a non nul, c’est une convention) ; a2 se lit « a au carré » ; a3 se lit « a au cube ».
63 = 6 × 6 × 6 = 216 ; 27 = 128 ; 0,23 = 0,2 × 0,2 × 0,2 = 0,008 ; 150 = 1 ; 151 = 15.
Les puissances de 2 grandissent très vite : à chaque cran, on double.
25 ne vaut pas 2 × 5 = 10 ! C’est 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. L’exposant dit combien de fois on écrit le nombre dans le produit, il ne multiplie pas.
2. Le signe d’une puissance
- Si a est positif, an est positif.
- Si a est négatif et n pair, an est positif (les signes « − » s’associent deux par deux).
- Si a est négatif et n impair, an est négatif (il reste un signe « − » seul).
(−2)4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16 (positif, exposant pair) ; (−2)5 = −32 (négatif, exposant impair).
(−3)2 = (−3) × (−3) = 9, alors que −32 = −(3 × 3) = −9. Sans parenthèses, l’exposant ne concerne que le 3 ; le signe « − » est appliqué après.
3. Puissance d’exposant négatif
Pour tout nombre a non nul et tout entier n positif, a−n = (1) ÷ (an). En particulier a−1 = 1a : c’est l’inverse de a.
Pourquoi cette définition ? Regarde la suite des puissances de 2 : en descendant l’exposant de 1, on divise par 2.
| Exposant | 3 | 2 | 1 | 0 | −1 | −2 | −3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Puissance de 2 | 8 | 4 | 2 | 1 | 12 | 14 | 18 |
3−2 = (1) ÷ (32) = 19 ; 5−3 = 1125 ; (−2)−3 = (1) ÷ ((−2)3) = (−1) ÷ 8 = −18 ; 4−1 = 14 = 0,25.
2−3 = 18 est positif. Le signe d’une puissance dépend du signe de la base, jamais du signe de l’exposant.
4. Les puissances de 10
Pour tout entier n positif : 10n s’écrit 1 suivi de n zéros ; 10−n = (1) ÷ (10n) s’écrit 0,0…01 avec n chiffres après la virgule, le dernier étant le 1. Et 100 = 1.
| Puissance | 105 | 103 | 101 | 100 | 10−1 | 10−2 | 10−4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Écriture décimale | 100 000 | 1 000 | 10 | 1 | 0,1 | 0,01 | 0,000 1 |
Les longueurs de la vie courante s’alignent très bien sur ces puissances.
Multiplier par 10n décale la virgule de n rangs vers la droite ; multiplier par 10−n la décale de n rangs vers la gauche.
4,07 × 103 = 4 070 ; 52,6 × 10−2 = 0,526 ; 0,009 × 105 = 900 ; 31 × 10−4 = 0,003 1.
5. Les règles de calcul sur les puissances
Pourquoi 34 × 32 = 36 ? Parce que (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) contient en tout 6 facteurs 3. De même pour les autres règles.
- Produit : am × ap = am+p
- Quotient : (am) ÷ (ap) = am−p
- Puissance de puissance : (am)p = am×p
On a aussi, pour deux nombres de même exposant : (a × b)n = an × bn.
On écrit d’abord la règle utilisée, puis on calcule l’exposant avec soin (les parenthèses autour d’un exposant négatif évitent les erreurs de signe).
10−4 × 109 = 10−4+9 = 105
(102) ÷ (10−5) = 102−(−5) = 107
(10−3)4 = 10(−3)×4 = 10−12
(73) ÷ (78) = 73−8 = 7−5
103 + 102 n’est pas 105 ! On calcule : 1 000 + 100 = 1 100. Les règles ne marchent que pour des produits et des quotients. Attention aussi : 23 × 33 ne se simplifie pas en additionnant les exposants, car les bases sont différentes (on peut écrire (2 × 3)3 = 63).
Si tu hésites sur une règle, teste-la sur un petit exemple : 22 × 23 = 4 × 8 = 32 = 25. Les exposants s’additionnent, bingo !
6. Calculs avec priorités
On calcule dans l’ordre : parenthèses, puis puissances, puis multiplications et divisions, enfin additions et soustractions.
A = 4 + 3 × 23 − 5
A = 4 + 3 × 8 − 5 (la puissance d’abord)
A = 4 + 24 − 5 = 23
B = (7 − 9)3 × 5 = (−2)3 × 5 = −8 × 5 = −40
7. L’écriture scientifique
Tout nombre décimal non nul peut s’écrire a × 10n où n est un entier relatif et a un nombre décimal dont la partie entière est un seul chiffre non nul (1 ≤ a < 10 pour un nombre positif).
- Place la virgule après le premier chiffre non nul : tu obtiens a.
- Compte de combien de rangs tu as déplacé la virgule : c’est la valeur absolue de n.
- Si le nombre de départ était grand (≥ 10), n est positif ; s’il était petit (< 1), n est négatif.
Exemple : 83 200 000 = 8,32 × 107 (virgule déplacée de 7 rangs) ; 0,000 46 = 4,6 × 10−4 (4 rangs).
47,5 × 106 = 4,75 × 10 × 106 = 4,75 × 107.
0,031 × 10−2 = 3,1 × 10−2 × 10−2 = 3,1 × 10−4.
Quand un résultat est trop grand ou trop petit, l’écran affiche par exemple « 3,5E9 » ou « 3,5 ×10 9 » : cela signifie 3,5 × 109. Le « E » veut dire « fois dix puissance ».
8. Comparer et calculer en notation scientifique
Une fois les deux nombres en notation scientifique : on compare d’abord les exposants (le plus grand exposant donne le plus grand nombre) ; si les exposants sont égaux, on compare les nombres a.
Exemples : 2,4 × 10−2 > 9,1 × 10−3 car −2 > −3. Et 6,3 × 105 < 6,8 × 105 car 6,3 < 6,8.
On regroupe d’un côté les nombres décimaux, de l’autre les puissances de 10, on calcule chaque groupe puis on remet le résultat en notation scientifique.
(5 × 104) × (6 × 10−7) = 5 × 6 × 104 × 10−7 = 30 × 10−3 = 3 × 10−2.
(8,4 × 105) ÷ (2 × 10−3) : on écrit (8,4 ÷ 2) × (105 ÷ 10−3) = 4,2 × 108.
Après un calcul, regarde si le nombre devant la puissance de 10 est bien compris entre 1 et 10. Un résultat comme 30 × 10−3 n’est pas encore en notation scientifique.
Un exemple dans la vie : une personne en prévient 3 autres, qui en préviennent chacune 3 autres… Le nombre de personnes prévenues à chaque étape est une puissance de 3.
À retenir
- an est le produit de n facteurs égaux à a ; a0 = 1 ; a1 = a.
- Base négative : signe « + » si l’exposant est pair, « − » s’il est impair. Attention à (−3)2 = 9 et −32 = −9.
- a−n = (1) ÷ (an) : c’est l’inverse de an.
- 103 = 1 000 ; 10−3 = 0,001.
- am × ap = am+p ; (am) ÷ (ap) = am−p ; (am)p = am×p. Rien de tel pour une somme.
- Notation scientifique : a × 10n avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif.
- Pour comparer : exposants d’abord, puis nombres a.