Combien de tirs réussis sur dix lancers francs ? Combien de pièces défectueuses dans un lot ? Combien de bonnes réponses en répondant au hasard à un questionnaire ? Dans tous ces cas, un nombre dépend du hasard. Dans ce chapitre, tu apprends à décrire un tel nombre (variable aléatoire, loi, espérance, variance), puis tu rencontres le modèle le plus utile des probabilités du lycée : la loi binomiale. Mathbot t’attend pour les calculs !
1. Variable aléatoire et loi de probabilité
Rappel : une expérience aléatoire a un ensemble d’issues, noté Ω. Une probabilité P associe à chaque événement un nombre entre 0 et 1.
Une variable aléatoire X sur Ω est une fonction qui associe à chaque issue un nombre réel. L’événement « X = x » est l’ensemble des issues auxquelles X associe le nombre x ; on note sa probabilité P(X = x).
Si X prend les valeurs x1, x2, …, xr, la loi de probabilité de X est la donnée des nombres P(X = xi), en général dans un tableau. Ces probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1.
On lance un dé équilibré à six faces. Sur un 6, on gagne 8 € ; sur un 4 ou un 5, on gagne 2 € ; sur 1, 2 ou 3, on perd 3 €. Le gain X est une variable aléatoire.
| xi | −3 | 2 | 8 |
|---|---|---|---|
| P(X = xi) | 12 | 13 | 16 |
Vérification : 12 + 13 + 16 = 1. On calcule par exemple P(X ≥ 2) = 13 + 16 = 12.
« X = 2 » est un événement, pas une probabilité : on écrit P(X = 2). Et deux issues différentes peuvent donner la même valeur de X : leurs probabilités s’additionnent.
2. Espérance, variance et écart-type
L’espérance de X est le nombre E(X) = x1 P(X = x1) + x2 P(X = x2) + … + xr P(X = xr). C’est la valeur moyenne de X si l’on répète l’expérience un très grand nombre de fois.
La variance est V(X) = Σ P(X = xi) (xi − E(X))², c’est-à-dire la moyenne des carrés des écarts à l’espérance. L’écart-type est σ(X) = √V(X). Plus il est grand, plus les valeurs de X sont dispersées.
V(X) = E(X²) − (E(X))², où E(X²) = Σ P(X = xi) xi².
Démonstration. Avec m = E(X), on développe (xi − m)² = xi² − 2m xi + m². Donc V(X) = Σ P(X = xi) xi² − 2m Σ P(X = xi) xi + m² Σ P(X = xi) = E(X²) − 2m² + m² = E(X²) − m².
E(X) = (−3) × 12 + 2 × 13 + 8 × 16 = −96 + 46 + 86 = 36 = 0,5. En moyenne, on gagne 0,5 € par partie.
E(X²) = 9 × 12 + 4 × 13 + 64 × 16 = 996 = 16,5, donc V(X) = 16,5 − 0,25 = 16,25 et σ(X) = √16,25 ≈ 4,03 €.
Pour tous réels a et b : E(aX + b) = a E(X) + b, V(aX + b) = a² V(X) et σ(aX + b) = |a| σ(X).
Ajouter b décale toutes les valeurs : la moyenne bouge, mais pas la dispersion. Multiplier par a étire les écarts : la variance est multipliée par a². Si on double les gains (Y = 2X), la moyenne double mais la variance est multipliée par 4.
Un jeu où X est le gain algébrique (gain moins mise) est équitable quand E(X) = 0.
3. Épreuve de Bernoulli et loi de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues seulement : le succès S, de probabilité p, et l’échec É, de probabilité q = 1 − p. La variable aléatoire X qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
| xi | 0 | 1 |
|---|---|---|
| P(X = xi) | 1 − p | p |
Si X suit la loi de Bernoulli de paramètre p : E(X) = p et V(X) = p(1 − p).
Démonstration. E(X) = 0 × (1 − p) + 1 × p = p. E(X²) = 0² × (1 − p) + 1² × p = p, donc V(X) = p − p² = p(1 − p).
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes ; le succès est « obtenir un cœur ». C’est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 832 = 14. Un lancer de dé où l’on note la face (six issues) n’en est pas une, mais « obtenir un 6 ou non » en est une, avec p = 16.
4. Schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune de probabilité de succès p. Un résultat est une liste de n issues, par exemple SÉS pour n = 3.
L’indépendance permet de multiplier les probabilités le long d’une branche de l’arbre. Voici l’arbre pour n = 3 (p sur les branches « succès », q = 1 − p sur les branches « échec »).
Pour p = 0,4 et n = 3, la probabilité de SÉS est 0,4 × 0,6 × 0,4 = 0,096. Les listes SSÉ, SÉS et ÉSS ont chacune deux succès et la même probabilité 0,4² × 0,6 = 0,096. La probabilité d’avoir exactement deux succès est donc 3 × 0,096 = 0,288.
Le nombre de chemins de l’arbre qui contiennent exactement k succès joue donc un rôle essentiel : il faut apprendre à le calculer.
5. Coefficients binomiaux
Pour 0 ≤ k ≤ n, le coefficient binomial « k parmi n », noté C(n ; k), est le nombre de chemins de l’arbre de n répétitions qui réalisent exactement k succès. (Dans les manuels, il se note aussi avec n au-dessus de k entre grandes parenthèses.)
- C(n ; 0) = C(n ; n) = 1 (un seul chemin : que des échecs, ou que des succès) ;
- C(n ; 1) = C(n ; n − 1) = n ;
- Symétrie : C(n ; k) = C(n ; n − k) ;
- Relation de Pascal : C(n ; k) + C(n ; k + 1) = C(n + 1 ; k + 1) ;
- C(n ; 0) + C(n ; 1) + … + C(n ; n) = 2n (nombre total de chemins).
Justification de Pascal. Parmi les chemins de n + 1 épreuves ayant k + 1 succès, regarde la dernière épreuve. Si c’est un échec, les n premières épreuves ont k + 1 succès : C(n ; k + 1) chemins. Si c’est un succès, les n premières ont k succès : C(n ; k) chemins. On additionne.
La relation de Pascal fournit le triangle de Pascal : chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui.
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | ||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | |
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 |
- Avec la calculatrice : touche nCr (ou « Combinaison »), on saisit n puis k.
- À la main, pour les petites valeurs : triangle de Pascal, ou la formule C(n ; k) = n! ÷ (k! (n − k)!), où n! = 1 × 2 × … × n et 0! = 1.
C(7 ; 3) = 7! ÷ (3! × 4!) = 5040 ÷ (6 × 24) = 35. On vérifie avec Pascal : C(6 ; 2) + C(6 ; 3) = 15 + 20 = 35. Par symétrie, C(7 ; 4) = 35.
6. La loi binomiale
On répète n fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p).
Si X suit B(n ; p), alors pour tout entier k de 0 à n :
P(X = k) = C(n ; k) × pk × (1 − p)n − k.
Démonstration. Un chemin de l’arbre qui contient k succès et n − k échecs a pour probabilité pk (1 − p)n − k (produit le long de la branche). Il y a C(n ; k) tels chemins, tous incompatibles : on additionne leurs probabilités.
- Repère l’épreuve de Bernoulli et définis le succès ; donne p.
- Vérifie que les n répétitions sont identiques et indépendantes (tirage avec remise, lancers…) ; n est fixé à l’avance.
- Conclus : « X suit la loi binomiale B(n ; p) » et applique la formule.
Une basketteuse réussit un lancer franc avec la probabilité 0,8. Elle en tente 5, indépendamment. Le nombre X de paniers suit B(5 ; 0,8).
P(X = 3) = C(5 ; 3) × 0,8³ × 0,2² = 10 × 0,512 × 0,04 = 0,205.
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X = k) | 0,000 | 0,006 | 0,051 | 0,205 | 0,410 | 0,328 |
P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0,410 + 0,328 = 0,737.
Un tirage sans remise dans une urne n’est pas une répétition indépendante : le nombre de boules rouges tirées ne suit pas une loi binomiale. De même, « lancer jusqu’à obtenir un 6 » n’est pas binomial : le nombre d’épreuves n’est pas fixé.
La forme du diagramme dépend de p : symétrique pour p = 0,5, penchée à gauche pour un petit p, à droite pour un grand p.
7. Espérance et variance de la loi binomiale
Si X suit B(n ; p), alors E(X) = n p, V(X) = n p (1 − p) et σ(X) = √(n p (1 − p)).
Idée : X est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes, chacune d’espérance p et de variance p(1 − p) ; les espérances s’additionnent toujours, et les variances aussi lorsque les variables sont indépendantes (propriété admise).
Pour B(5 ; 0,8) : E(X) = 5 × 0,8 = 4 paniers, V(X) = 5 × 0,8 × 0,2 = 0,8 et σ(X) = √0,8 ≈ 0,89. Sur un grand nombre de séries de 5 lancers, la basketteuse marque en moyenne 4 paniers par série.
Vérifie la cohérence : E(X) = n p doit se trouver au centre de la « bosse » du diagramme en bâtons, et σ(X) mesure la largeur de cette bosse.
8. Calculs de probabilités avec la loi binomiale
- P(X ≥ a) ou P(X ≤ a) : somme de probabilités élémentaires ; si c’est plus court, passe par l’événement contraire : P(X ≥ a) = 1 − P(X ≤ a − 1).
- « Au moins un succès » : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)n.
- Avec la calculatrice : « binomFdp » (ou BinomialPD) donne P(X = k) ; « binomFRép » (ou BinomialCD) donne P(X ≤ k).
Une machine fabrique des pièces dont 4 % sont défectueuses ; on prélève 30 pièces (assimilé à un tirage avec remise). X suit B(30 ; 0,04). P(au moins une défectueuse) = 1 − 0,9630 ≈ 0,706.
On résout 1 − (1 − p)n ≥ s, soit (1 − p)n ≤ 1 − s. On teste des valeurs de n avec la calculatrice (tableau de valeurs, ou programme Python) jusqu’à franchir le seuil. Exemple : pour p = 0,1 et s = 0,9, on trouve n = 22 car 0,922 ≈ 0,098 ≤ 0,1 alors que 0,921 ≈ 0,109 > 0,1.
9. Simulation avec Python
On peut simuler une loi binomiale : on répète l’expérience un grand nombre de fois et on observe la moyenne des résultats, qui se rapproche de l’espérance.
import random
def bernoulli(p):
if random.random() < p:
return 1 # succès
return 0 # échec
def binomiale(n, p):
s = 0
for i in range(n):
s = s + bernoulli(p)
return s
def moyenne(n, p, N):
total = 0
for i in range(N):
total = total + binomiale(n, p)
return total / N
print(moyenne(10, 0.3, 10000))
random.random() renvoie un nombre « au hasard » entre 0 et 1 ; la condition random.random() < p est vraie avec la probabilité p. Le programme affiche une valeur proche de n p = 10 × 0,3 = 3 ; elle change à chaque exécution, mais s’en approche d’autant mieux que N est grand.
Pour calculer exactement P(X = k), utilise from math import comb puis comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k).
À retenir
- Une variable aléatoire associe un réel à chaque issue ; sa loi est le tableau des P(X = xi), de somme 1.
- E(X) = Σ xi P(X = xi) ; V(X) = Σ P(X = xi)(xi − E(X))² = E(X²) − (E(X))² ; σ(X) = √V(X).
- E(aX + b) = a E(X) + b ; V(aX + b) = a² V(X).
- Épreuve de Bernoulli : deux issues, succès de probabilité p. Loi de Bernoulli : E = p, V = p(1 − p).
- Schéma de Bernoulli : n épreuves identiques et indépendantes ; on multiplie le long d’une branche.
- C(n ; k) = nombre de chemins à k succès ; C(n ; k) = C(n ; n − k) ; relation de Pascal ; formule n! ÷ (k! (n − k)!).
- X suit B(n ; p) : P(X = k) = C(n ; k) pk (1 − p)n − k.
- E(X) = n p ; V(X) = n p (1 − p) ; P(X ≥ 1) = 1 − (1 − p)n.
- Avant d’écrire « loi binomiale », justifie : deux issues, probabilité constante, répétitions indépendantes, n fixé.