Quand un entrepreneur cherche son bénéfice maximal ou qu’un ingénieur veut utiliser le moins de matière possible, ils se posent la même question : où la courbe d’une fonction atteint-elle son point le plus haut ou le plus bas ? Cette année, tu as un outil puissant pour répondre : la dérivée. Dans ce chapitre, tu apprends à lire son signe pour en déduire les variations, à dresser un tableau de variations complet, à trouver les extremums, puis à résoudre des problèmes d’optimisation.
1. Rappels : dérivées et signe d’une expression
Dans tout le chapitre, f est une fonction dérivable sur un intervalle I. Son nombre dérivé f ′(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.
Pour tout entier n ≥ 1 et pour tous réels k, a, b :
- (k)′ = 0 ; (x)′ = 1 ; (xn)′ = nxn−1 (en particulier (x²)′ = 2x et (x³)′ = 3x²) ; (1/x)′ = −1/x² sur ℝ*.
- (u + v)′ = u′ + v′ ; (k·u)′ = k·u′.
- (u·v)′ = u′v + uv′ ; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² là où v ne s’annule pas.
Soit f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 4. On dérive terme à terme : f ′(x) = 6x² − 6x − 12.
Pour étudier le signe de f ′(x), il faut presque toujours factoriser cette dérivée. Rappel pour un trinôme ax² + bx + c avec deux racines x1 < x2 : il est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de −a entre les racines, et il s’écrit a(x − x1)(x − x2).
6x² − 6x − 12 = 6(x² − x − 2) = 6(x + 1)(x − 2). Les racines sont −1 et 2, et a = 6 > 0 : le trinôme est positif pour x < −1 ou x > 2, négatif entre −1 et 2.
Une dérivée qui est un produit ou un quotient de facteurs se traite avec un tableau de signes : une ligne par facteur, puis une ligne pour le résultat (règle des signes). Un carré est toujours positif ou nul ; un dénominateur qui est un carré ne change donc jamais le signe.
2. Signe de la dérivée et sens de variation
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
- Si f ′(x) ≥ 0 pour tout x de I, alors f est croissante sur I.
- Si f ′(x) ≤ 0 pour tout x de I, alors f est décroissante sur I.
- Si f ′(x) = 0 pour tout x de I, alors f est constante sur I.
Réciproquement, une fonction dérivable croissante sur I a une dérivée positive ou nulle sur I.
L’idée est géométrique : si toutes les tangentes « montent » (pente positive), la courbe monte. Quand la dérivée est strictement positive sur I, la fonction est strictement croissante (même chose avec « strictement décroissante »).
Pour f(x) = x³, on a f ′(x) = 3x² ≥ 0 sur ℝ, et f ′(0) = 0. Pourtant f est croissante sur tout ℝ : la tangente est horizontale en 0, mais la courbe continue de monter (elle « traverse » sa tangente).
Ce qui compte, ce n’est pas que f ′ s’annule, mais qu’elle change de signe ou pas.
- Préciser l’ensemble de définition (ou l’intervalle d’étude) et vérifier que f est dérivable.
- Calculer f ′(x) et la mettre sous forme factorisée.
- Étudier le signe de f ′(x) (tableau de signes si besoin).
- En déduire le sens de variation de f sur chaque intervalle.
- Dresser le tableau de variations en calculant les valeurs de f aux bornes et aux points où f ′ s’annule.
3. Étude complète d’une fonction polynôme
Appliquons la méthode à f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 4 sur l’intervalle [−2 ; 3,5].
Dérivée. f est un polynôme, donc dérivable sur [−2 ; 3,5], et f ′(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x + 1)(x − 2).
Signe. Les racines sont −1 et 2 ; le coefficient 6 est positif. Donc f ′(x) > 0 sur [−2 ; −1[, f ′(x) < 0 sur ]−1 ; 2[ et f ′(x) > 0 sur ]2 ; 3,5].
Valeurs. f(−2) = −16 − 12 + 24 + 4 = 0 ; f(−1) = −2 − 3 + 12 + 4 = 11 ; f(2) = 16 − 12 − 24 + 4 = −16 ; f(3,5) = 85,75 − 36,75 − 42 + 4 = 11.
Tableau.
| x | −2 | −1 | 2 | 3,5 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f ′(x) | + | 0 | − | 0 | + | ||
| f(x) | 0 | ↗ | 11 | ↘ | −16 | ↗ | 11 |
On lit dans ce tableau : f est strictement croissante sur [−2 ; −1], strictement décroissante sur [−1 ; 2], puis strictement croissante sur [2 ; 3,5]. Les points M(−1 ; 11) et m(2 ; −16) de la courbe ont une tangente horizontale.
Dans un tableau de variations, la flèche du bas va de la valeur de gauche vers la valeur de droite. Vérifie toujours la cohérence : une flèche ↗ doit aller d’une valeur plus petite vers une valeur plus grande, une flèche ↘ l’inverse. Si ce n’est pas le cas, tu t’es trompé dans un calcul.
4. Extremums locaux et extremums globaux
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I.
- f admet un maximum global (ou absolu) sur I en a si f(x) ≤ f(a) pour tout x de I. Le minimum global se définit avec f(x) ≥ f(a).
- f admet un maximum local en a s’il existe un intervalle ouvert contenant a sur lequel f(x) ≤ f(a) ; de même pour un minimum local.
- Un maximum ou un minimum s’appelle un extremum.
Un extremum local est donc le point le plus haut (ou le plus bas) « dans son voisinage » ; un extremum global est le plus haut (ou le plus bas) sur tout l’intervalle. Un extremum global est une valeur de f (une ordonnée) ; on précise aussi en quelle abscisse il est atteint.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un point à l’intérieur de I (pas une borne).
- Si f admet un extremum local en a, alors f ′(a) = 0.
- Si f ′ s’annule en a en changeant de signe, alors f admet un extremum local en a : un maximum si f ′ passe de + à −, un minimum si f ′ passe de − à +.
Démonstration de la première propriété. Supposons un maximum local en a : pour h non nul et assez petit, f(a + h) ≤ f(a). Pour h > 0, le taux d’accroissement f(a+h) − f(a)h est négatif ou nul, donc sa limite f ′(a) vérifie f ′(a) ≤ 0. Pour h < 0, ce même taux est positif ou nul (numérateur négatif, dénominateur négatif), donc f ′(a) ≥ 0. Les deux inégalités imposent f ′(a) = 0. Le raisonnement pour un minimum est identique.
f ′(a) = 0 ne suffit pas pour avoir un extremum : le contre-exemple est f(x) = x³ en a = 0 (la dérivée ne change pas de signe). De plus, un extremum situé à une borne de l’intervalle n’a aucune raison d’avoir une dérivée nulle.
Dresse le tableau de variations, puis compare toutes les valeurs écrites sur la ligne de f : celles aux bornes et celles aux extremums locaux. La plus grande est le maximum global, la plus petite le minimum global.
Pour la fonction f de la partie 3 sur [−2 ; 3,5], les valeurs du tableau sont 0 ; 11 ; −16 ; 11. Le maximum de f sur [−2 ; 3,5] est 11 : il est atteint deux fois, en x = −1 et en x = 3,5. Le minimum est −16, atteint en x = 2. Remarque : l’extremum global en 3,5 est atteint à une borne, alors que f ′(3,5) = 6 × 4,5 × 1,5 = 40,5 est loin d’être nul.
5. Fonctions rationnelles simples
Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Elle est dérivable là où le dénominateur ne s’annule pas, et on la dérive avec la formule du quotient (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². Le signe de la dérivée est alors celui de son numérateur, puisque le dénominateur v² est strictement positif.
Soit h(x) = 3x − 1x + 2 sur ]−2 ; +∞[. Avec u = 3x − 1 et v = x + 2, on a u′ = 3 et v′ = 1, donc
h′(x) = 3(x + 2) − (3x − 1)(x + 2)² = 7(x + 2)².
Cette dérivée est strictement positive : h est strictement croissante sur ]−2 ; +∞[. Elle n’a aucun extremum local.
Soit g(x) = x + 4x sur ]0 ; +∞[. On a g′(x) = 1 − 4x² = x² − 4x² = (x − 2)(x + 2)x².
Sur ]0 ; +∞[, x + 2 > 0 et x² > 0 : g′(x) a le signe de x − 2. Donc g est décroissante sur ]0 ; 2] et croissante sur [2 ; +∞[. Avec g(2) = 2 + 2 = 4, on obtient :
| x | 0 | 2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f ′(x) | − | 0 | + | ||
| f(x) | ↘ | 4 | ↗ |
Le minimum de g sur ]0 ; +∞[ est donc 4, atteint en x = 2 (par exemple g(1) = 5 et g(4) = 5 sont plus grands).
Si le dénominateur s’annule en x = a, la fonction n’est pas définie en a : on sépare l’étude en deux intervalles, et on met une double barre « ‖ » dans le tableau à l’abscisse a. Ne dis jamais « f est décroissante sur ℝ ∖ {a} » : une fonction peut être décroissante sur chacun des intervalles sans l’être sur leur réunion.
6. Utiliser les variations
Démontrer une inégalité. Pour montrer que f(x) ≥ m sur un intervalle, on montre que m est le minimum de f sur cet intervalle (ou que f − m admet pour minimum 0).
Montrons que x³ ≥ 3x − 2 pour tout x ≥ 0. On pose q(x) = x³ − 3x + 2 ; il faut prouver q(x) ≥ 0 sur [0 ; +∞[. On a q′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Pour x ≥ 0, x + 1 > 0, donc q′ a le signe de x − 1. Ainsi q décroît sur [0 ; 1] et croît sur [1 ; +∞[ :
| x | 0 | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f ′(x) | − | 0 | + | ||
| f(x) | 2 | ↘ | 0 | ↗ |
Le minimum de q est q(1) = 1 − 3 + 2 = 0, donc q(x) ≥ 0 pour tout x ≥ 0.
Compter les solutions d’une équation f(x) = k. On admet (la justification complète viendra en Terminale) que si f est dérivable et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], l’équation f(x) = k a une seule solution dans [a ; b] dès que k est compris entre f(a) et f(b), et aucune sinon. On l’applique sur chaque intervalle de monotonie du tableau.
Avec le tableau de la partie 3 (valeurs 0 ; 11 ; −16 ; 11) : l’équation f(x) = 5 a 3 solutions dans [−2 ; 3,5] (5 est entre 0 et 11, entre 11 et −16, entre −16 et 11) ; l’équation f(x) = −20 n’en a aucune car −20 < −16 ; l’équation f(x) = 11 en a deux, en −1 et en 3,5.
Retrouver le signe de f ′ avec une courbe. Réciproquement, sur la courbe de f, là où elle monte la dérivée est positive, là où elle descend elle est négative, et elle s’annule aux sommets et aux creux (tangente horizontale).
7. Problèmes d’optimisation
- Choisir la variable x et préciser le domaine (valeurs possibles dans le contexte).
- Exprimer la grandeur à optimiser (aire, volume, coût, bénéfice…) comme fonction f(x).
- Étudier f : dérivée, signe, tableau de variations sur le domaine.
- Conclure par une phrase qui répond à la question posée, avec l’unité et les dimensions correspondantes.
On découpe dans les quatre coins d’un carton carré de 30 cm de côté quatre petits carrés de côté x cm, puis on replie pour former une boîte sans couvercle. Quel x donne le volume maximal ?
1. Domaine. Il faut 2x ≤ 30, donc x ∈ [0 ; 15].
2. Volume. La base est un carré de côté 30 − 2x et la hauteur vaut x : V(x) = x(30 − 2x)² = 4x³ − 120x² + 900x.
3. Étude. V ′(x) = 12x² − 240x + 900 = 12(15 − x)(5 − x) = 12(x − 5)(x − 15). Sur [0 ; 15], le facteur x − 15 est négatif ou nul ; V ′(x) est donc du signe de 5 − x : positif sur [0 ; 5[, négatif sur ]5 ; 15]. Avec V(0) = 0, V(5) = 5 × 20² = 2 000 et V(15) = 0 :
| x | 0 | 5 | 15 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| V ′(x) | + | 0 | − | ||
| V(x) | 0 | ↗ | 2000 | ↘ | 0 |
4. Conclusion. Le volume est maximal pour x = 5 cm : on obtient une boîte de base 20 cm × 20 cm, de hauteur 5 cm, de volume 2 000 cm³.
Oublier le domaine (un côté ne peut pas être négatif) ; s’arrêter à « V ′(x) = 0 » sans le tableau (rien ne prouve alors que c’est un maximum) ; répondre par la valeur de x alors qu’on te demande le volume (ou l’inverse). Relis toujours la question.
À retenir
- f ′ ≥ 0 sur un intervalle ⇒ f croissante ; f ′ ≤ 0 ⇒ f décroissante ; f ′ = 0 ⇒ f constante.
- Pour étudier les variations : dériver, factoriser, étudier le signe de f ′, dresser le tableau avec les valeurs de f aux bornes et aux points où f ′ s’annule.
- Dérivée du quotient (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² : son signe est celui du numérateur u′v − uv′.
- Un extremum local en a (à l’intérieur de l’intervalle) impose f ′(a) = 0 ; mais f ′(a) = 0 ne suffit pas (x³ en 0). Il faut que f ′ change de signe.
- Extremums globaux sur [a ; b] : comparer les valeurs aux bornes et aux extremums locaux ; une valeur extrême peut être atteinte à une borne.
- Pour montrer f(x) ≥ m, montrer que m est le minimum de f.
- Optimisation : variable et domaine, fonction, tableau de variations, phrase de conclusion avec l’unité.