Exercices de maths 1ère : Variations et extremums des fonctions

1 Lire les variations sur une courbe ★★★

Voici la courbe d’une fonction f définie sur [−2 ; 2].

1. Dresse le tableau de variations de f (valeurs lues sur la courbe).
2. Quel est le maximum de f sur [−2 ; 2] ? Pour quelles valeurs de x est-il atteint ?
3. Combien de solutions l’équation f(x) = 1 admet-elle ?

2 Un trinôme du second degré ★★★

Soit f(x) = x² − 6x + 5 sur ℝ.

1. Calcule f ′(x).
2. Étudie le signe de f ′(x).
3. Dresse le tableau de variations de f.
4. f admet-elle un extremum ? Lequel ?

3 Du signe de la dérivée aux variations ★★★

Soit f une fonction dérivable sur [−3 ; 6] dont la dérivée est f ′(x) = (x − 4)(x + 1).

1. Dresse le tableau de signes de f ′(x).
2. Déduis-en les variations de f sur [−3 ; 6].
3. Compare, sans les calculer, f(0) et f(2) ; puis f(5) et f(6) ; puis f(−3) et f(−2).

4 Un polynôme de degré 3 ★★★

Soit f(x) = x³ − 12x sur ℝ.

1. Montre que f ′(x) = 3(x − 2)(x + 2).
2. Dresse le tableau de variations de f.
3. Donne les extremums locaux de f.
4. f admet-elle un maximum global sur ℝ ? (Calcule f(10).)

5 Tangentes horizontales ★★★

Soit g(x) = x³ − 3x² sur ℝ.

1. Détermine les points de la courbe de g où la tangente est horizontale.
2. Étudie le signe de g ′(x) et précise la nature de chacun de ces points (maximum local, minimum local ?).

6 Une fonction homographique ★★★

Soit k(x) = 2x + 1x − 3 sur ]3 ; +∞[.

1. Montre que k ′(x) = −7(x − 3)².
2. Déduis-en le sens de variation de k.
3. Range dans l’ordre croissant k(4), k(5) et k(13) sans les calculer, puis vérifie en les calculant.

7 Vrai ou faux ? Justifie. ★★★

Dans chaque cas, f est une fonction dérivable. Dis si l’affirmation est vraie ou fausse et justifie.

1. « Si f ′(a) = 0, alors f admet un extremum local en a. »
2. « Si f est croissante sur un intervalle I, alors f ′(x) ≥ 0 pour tout x de I. »
3. « Si f ′ est positive sur [0 ; 1[ et négative sur ]1 ; 2] (f dérivable sur [0 ; 2]), alors f admet un maximum local en 1. »
4. « Si f admet un maximum sur [0 ; 1], alors sa dérivée s’annule en ce point. »
5. « Si f admet un minimum local en 2 (à l’intérieur de son intervalle de définition), la courbe de f a une tangente horizontale au point d’abscisse 2. »

8 Maximum et minimum sur un intervalle ★★★

Soit f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 1 sur [0 ; 3].

1. Montre que f ′(x) = 6(x − 1)(x − 2).
2. Dresse le tableau de variations de f.
3. Donne les extremums locaux de f, puis son maximum et son minimum sur [0 ; 3] en précisant où ils sont atteints.

9 Un polynôme de degré 4 ★★★

Soit f(x) = x⁴ − 2x² + 3 sur ℝ.

1. Montre que f ′(x) = 4x(x − 1)(x + 1).
2. Dresse le tableau de signes de f ′(x) puis le tableau de variations de f.
3. Montre que, pour tout réel x, f(x) − 2 = (x² − 1)². Déduis-en le minimum de f sur ℝ.

10 Un quotient avec un carré ★★★

Soit f(x) = xx² + 1 sur [−3 ; 3].

1. Montre que f ′(x) = 1 − x²(x² + 1)².
2. Étudie le signe de f ′(x), puis dresse le tableau de variations de f.
3. Quels sont le maximum et le minimum de f sur [−3 ; 3] ?

11 Le rectangle de périmètre minimal ★★★

On cherche, parmi tous les rectangles d’aire 25 m², celui de plus petit périmètre. On note x (en m) la longueur d’un côté, avec x > 0.

1. Exprime l’autre côté en fonction de x, puis montre que le périmètre est P(x) = 2x + 50x.
2. Montre que P ′(x) = 2(x − 5)(x + 5)x².
3. Dresse le tableau de variations de P sur ]0 ; +∞[.
4. Conclus : quelles sont les dimensions du rectangle de périmètre minimal et quel est ce périmètre ?

12 Retrouver une parabole ★★★

Soit f(x) = ax² + bx + c. On sait que la courbe de f passe par le point A(0 ; 1) et admet au point S d’abscisse 2 une tangente horizontale, avec f(2) = 5.

1. Écris trois équations traduisant ces informations (utilise f ′(2) = 0).
2. Détermine a, b et c.
3. Dresse le tableau de variations de f sur ℝ et vérifie que f(2) = 5 est bien un maximum.

13 Retrouver les coefficients d’un polynôme ★★★

Soit f(x) = x³ + ax² + bx + 1, où a et b sont deux réels. La courbe de f admet une tangente horizontale aux points d’abscisses −1 et 3.

1. Calcule f ′(x) en fonction de a et b. Écris les équations f ′(−1) = 0 et f ′(3) = 0.
2. Résous le système et détermine a et b.
3. Dresse le tableau de variations de f sur [−3 ; 5] avec les valeurs aux bornes.

14 Lire la courbe de la dérivée ★★★

La courbe ci-dessous est celle de la dérivée f ′ d’une fonction f dérivable sur [−3 ; 4] (et non celle de f).

1. Lis les valeurs de x pour lesquelles f ′(x) = 0, puis dresse le tableau de signes de f ′.
2. Déduis-en le tableau de variations de f (sans valeurs numériques).
3. f admet-elle des extremums locaux ? Où ?
4. Compare f(0) et f(1), puis f(3) et f(4).

15 Une inégalité classique ★★★

Soit g(x) = x + 1x sur ]0 ; +∞[.

1. Calcule g ′(x) et montre que g ′(x) = (x − 1)(x + 1)x².
2. Dresse le tableau de variations de g.
3. Déduis-en que, pour tout réel x > 0, x + 1x ≥ 2.
4. Application : un nombre positif et son inverse ont une somme d’au moins 2. Pour quel nombre la somme vaut-elle exactement 2 ?

16 Combien de solutions ? ★★★

Soit f(x) = x³ − 3x + 1 sur [−2 ; 2].

1. Dresse le tableau de variations de f.
2. Déduis-en le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0 dans [−2 ; 2] et situe-les chacune entre deux entiers consécutifs.
3. À la calculatrice, encadre la solution α comprise entre 0 et 1 à 0,1 près.
4. Combien de solutions l’équation f(x) = 3 admet-elle ? Donne-les en résolvant x³ − 3x − 2 = 0 (remarque que −1 est solution).

17 La boîte de volume maximal ★★★

On dispose d’une plaque carrée de 24 cm de côté. On découpe dans chaque coin un carré de côté x cm et on replie les bords pour obtenir une boîte sans couvercle.

1. Entre quelles valeurs x peut-il varier ?
2. Montre que le volume est V(x) = x(24 − 2x)².
3. Montre que V ′(x) = 12(12 − x)(4 − x) puis dresse le tableau de variations de V.
4. Quel x donne le volume maximal ? Donne alors les dimensions de la boîte et son volume.

18 La canette économique ★★★

Une entreprise fabrique des canettes cylindriques de volume 500 cm³. On note r (en cm) le rayon de la base, avec r > 0, et h la hauteur. On rappelle que le volume est πr²h et que l’aire totale est 2πr² + 2πrh.

1. Exprime h en fonction de r, puis montre que l’aire totale de métal est S(r) = 2πr² + 1000r.
2. Montre que S ′(r) = 4πr³ − 1000r².
3. Résous 4πr³ − 1 000 > 0 et déduis-en le tableau de variations de S sur ]0 ; +∞[.
4. Pour quelle valeur de r la quantité de métal est-elle minimale ? Donne r, h et S (à 0,01 près) et compare h à 2r.

19 Étude complète d’une fonction rationnelle ★★★

Soit f(x) = x²x − 2 définie sur ℝ ∖ {2}.

1. Montre que f ′(x) = x(x − 4)(x − 2)².
2. Dresse le tableau de signes de f ′ puis le tableau de variations de f (avec une double barre en 2).
3. Détermine les extremums locaux de f. Surprise : le maximum local est plus petit que le minimum local. Explique pourquoi ce n’est pas contradictoire.

20 Problème de bénéfice ★★★

Une entreprise fabrique x centaines d’objets par jour, avec x ∈ [0 ; 10]. Son bénéfice quotidien, en centaines d’euros, est B(x) = −2x³ + 21x² − 36x.

1. Montre que B ′(x) = −6(x − 1)(x − 6).
2. Dresse le tableau de variations de B sur [0 ; 10].
3. Combien d’objets faut-il fabriquer pour que le bénéfice soit maximal ? Quel est ce bénéfice ?
4. Montre que B(x) = x(−2x² + 21x − 36) et résous B(x) > 0 (arrondis à 0,01 près, calculatrice autorisée). Interprète.

21 Le rectangle sous la parabole ★★★

Dans un repère orthonormé, on considère la parabole P d’équation y = 9 − x². Pour un réel x de [0 ; 3], on place le point M(x ; 9 − x²) sur P et on construit le rectangle dont les sommets sont M, son symétrique M′ par rapport à l’axe des ordonnées, et leurs projetés sur l’axe des abscisses.

1. Montre que l’aire du rectangle est A(x) = 18x − 2x³.
2. Étudie les variations de A sur [0 ; 3].
3. Pour quelle valeur de x l’aire est-elle maximale ? Donne la valeur exacte de ce maximum puis une valeur approchée à 0,01 près.