1 Réunion et complémentaire / 3 pts
(1,5 pt) |A ∪ B| = 34 + 29 − 11 = 52. (1,5 pt) Aucune langue : 60 − 52 = 8.
2 Codes / 3 pts
(1,5 pt) Avec répétitions : 62 × 103 = 36 000. (1,5 pt) Sans répétition : 6 × 5 × 10 × 9 × 8 = 30 × 720 = 21 600.
3 Délégation / 4 pts
a. (1 pt) C(28, 4) = 20 475.
b. (1,5 pt) C(16, 2) × C(12, 2) = 120 × 66 = 7 920.
c. (1,5 pt) Complémentaire : aucun garçon, soit C(16, 4) = 1 820. Donc 20 475 − 1 820 = 18 655.
4 Anagrammes / 4 pts
a. (1,5 pt) 11 lettres : S ×2, T ×3, I ×2, A, Q, U, E une fois chacune. 11 ! / (2 ! × 3 ! × 2 !) = 39 916 800 / 24 = 1 663 200.
b. (1 pt) BANANE : B, A ×2, N ×2, E. 6 ! / (2 ! × 2 !) = 720 / 4 = 180. (1,5 pt) Commençant par B : il reste A, A, N, N, E à placer : 5 ! / (2 ! × 2 !) = 30. P = 30 / 180 = 16.
5 Coefficients binomiaux / 3 pts
a. (1,5 pt) Relation de Pascal avec n = 11 et k = 4 : C(11, 4) = C(10, 3) + C(10, 4) = 120 + 210 = 330 (et C(11, 4) = 11 × 10 × 9 × 8 / 24 = 330).
b. (1,5 pt) n(n − 1) = 72 = 9 × 8, donc n = 9 (l’autre racine −8 est rejetée).
6 Python / 3 pts
a. (1 pt) 20, 20 puis 1 + 15 + 15 + 1 = 32.
b. (1 pt) Le nombre de parties à 3 éléments de {0 ; … ; 5}, c’est-à-dire C(6, 3) = 20.
c. (1 pt) Le nombre de parties de taille paire d’un ensemble à 6 éléments : 26−1 = 32 (parties de taille paire et impaire sont aussi nombreuses, et 26 = 64 parties au total).