Corrigé des exercices de maths Terminale : Dénombrement

1 Cardinal d’une réunion ★★★

Notons F et H les deux ensembles. |F ∪ H| = |F| + |H| − |F ∩ H| = 25 + 18 − 8 = 35.

Aucun des deux sports : 40 − 35 = 5 élèves (complémentaire).

Réponse : 35 élèves pratiquent au moins un sport et 5 n’en pratiquent aucun.

2 Menu au restaurant ★★★

Trois choix successifs indépendants : principe multiplicatif. 3 × 4 × 2 = 24.

Réponse : 24 menus.

3 Codes de cadenas ★★★

1. Un code est un 4-uplet de {0 ; … ; 9} : 10⁴ = 10 000.
2. Arrangement de 4 chiffres parmi 10 : 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040.

4 Factorielles ★★★

1. 6 ! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.
2. 8 ! / 6 ! = 8 × 7 = 56.
3. 10 ! / (8 ! × 2 !) = (10 × 9) / 2 = 45.

5 Podium ★★★

L’ordre compte et il n’y a pas de répétition : arrangement de 3 parmi 12. 12 × 11 × 10 = 1 320.

Réponse : 1 320 podiums.

6 Calculer des coefficients binomiaux ★★★

C(7, 2) = (7 × 6) / 2 = 21. C(10, 3) = (10 × 9 × 8) / 6 = 120. C(8, 0) = 1 (la seule partie vide). C(9, 9) = 1 (l’ensemble tout entier).

7 Anagrammes d’un mot ★★★

PIANO : 5 lettres distinctes, donc 5 ! = 120 anagrammes.

SOLEIL : 6 lettres dont la lettre L deux fois. 6 ! / 2 ! = 720 / 2 = 360 (on divise par le nombre de façons d’échanger les deux L).

8 Comité ★★★

L’ordre ne compte pas : C(12, 5) = (12 × 11 × 10 × 9 × 8) / 120 = 95 040 / 120 = 792.

Réponse : 792 comités.

9 Comité avec contraintes ★★★

1. On choisit 2 filles parmi 7 puis 3 garçons parmi 5 : C(7, 2) × C(5, 3) = 21 × 10 = 210.
2. Complémentaire : aucun garçon, donc 5 filles parmi 7 : C(7, 5) = 21. Total C(12, 5) = 792. Donc 792 − 21 = 771 comités.

10 Mains de cartes ★★★

1. C(32, 5) = 201 376.
2. 2 rois parmi 4 et 3 cartes parmi les 28 autres : C(4, 2) × C(28, 3) = 6 × 3 276 = 19 656.
3. Complémentaire (aucun roi) : C(28, 5) = 98 280. Donc 201 376 − 98 280 = 103 096.

11 Anagrammes avec répétitions ★★★

11 lettres : M (1), I (4), S (4), P (2). Nombre d’anagrammes : 11 ! / (4 ! × 4 ! × 2 !) = 39 916 800 / (24 × 24 × 2) = 39 916 800 / 1152 = 34 650.

12 Lire le triangle de Pascal ★★★

1. On additionne deux nombres voisins de la ligne 5 (1, 5, 10, 10, 5, 1) : 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
2. C(5, 2) + C(5, 3) = 10 + 10 = 20 = C(6, 3). ✔
3. C(n, 2) = n(n − 1) / 2 = 45 équivaut à n(n − 1) = 90 = 10 × 9. Donc n = 10 (l’autre solution, −9, est rejetée car n est un entier naturel).

13 Plaques d’immatriculation ★★★

Avec répétitions : 26² × 10³ = 676 × 1000 = 676 000.

Sans répétition : 26 × 25 × 10 × 9 × 8 = 650 × 720 = 468 000.

14 Poignées de mains et diagonales ★★★

a. Une poignée de mains est une partie à 2 personnes parmi 15 : C(15, 2) = (15 × 14) / 2 = 105.

b. Un segment joignant deux sommets : C(10, 2) = 45. Parmi eux, 10 sont des côtés. Il y a donc 45 − 10 = 35 diagonales.

15 Une équation binomiale ★★★

C(n, 2) = n(n − 1) / 2 = 78 équivaut à n² − n − 156 = 0. Discriminant Δ = 1 + 624 = 625 = 25². Solutions : n = (1 + 25) / 2 = 13 ou n = (1 − 25) / 2 = −12 (à rejeter).

Vérification : C(13, 2) = 13 × 12 / 2 = 78. Réponse : n = 13.

16 Démontrer une identité ★★★

k × C(n, k) = k × n ! / (k ! (n − k) !) = n ! / ((k − 1) ! (n − k) !) = n × (n − 1) ! / ((k − 1) ! ((n − 1) − (k − 1)) !) = n × C(n − 1, k − 1).

Pour n = 6, k = 2 : 2 × 15 = 30 et 6 × C(5, 1) = 6 × 5 = 30. ✔

Interprétation : choisir un comité de k personnes parmi n puis son président (k choix) revient à choisir d’abord le président (n choix) puis les k − 1 autres membres parmi n − 1.

17 Tirage dans une urne ★★★

Univers : C(12, 4) = 495 tirages équiprobables.

A : 2 rouges parmi 5 et 2 non rouges parmi 7 : C(5, 2) × C(7, 2) = 10 × 21 = 210. P(A) = 210 / 495 = 1433.

B : complémentaire, aucune verte, donc 4 boules parmi les 9 non vertes : C(9, 4) = 126. P(B) = 1 − 126 / 495 = 369 / 495 = 4155.

18 Nombres à quatre chiffres ★★★

Premier chiffre : 9 choix (1 à 9) ; deuxième : 9 choix (0 à 9 sauf le premier) ; troisième : 8 ; quatrième : 7. Total : 9 × 9 × 8 × 7 = 4 536.

Pairs : on sépare selon le dernier chiffre (partition).

• Dernier chiffre 0 : les trois autres sont choisis parmi 9 chiffres non nuls restants, ordonnés : 9 × 8 × 7 = 504.
• Dernier chiffre 2, 4, 6 ou 8 (4 choix) : le premier chiffre a 8 choix (non nul, différent du dernier), le deuxième 8 choix (le 0 est permis, deux chiffres déjà pris), le troisième 7 : 4 × 8 × 8 × 7 = 1 792.

Total : 504 + 1 792 = 2 296 nombres pairs.

19 Rangements avec contrainte ★★★

Total : 6 ! = 720.

Côte à côte : on traite Ali-Bea comme un bloc. Il y a 5 objets à ranger (5 ! = 120 façons) et 2 ordres internes (Ali-Bea ou Bea-Ali) : 2 × 120 = 240.

Non côte à côte : 720 − 240 = 480 (complémentaire).

20 Chemins sur un quadrillage ★★★

1. Un chemin comporte 5 pas D et 3 pas H : position des 3 pas H parmi 8 : C(8, 3) = 56.
2. De A à M : 2 D et 1 H, soit C(3, 1) = 3 chemins. De M à B : 3 D et 2 H, soit C(5, 2) = 10 chemins. Principe multiplicatif : 3 × 10 = 30.
3. P = 30 / 56 = 1528.

21 Probabilité d’un carré au poker ★★★

On choisit la hauteur du carré (8 façons), puis la cinquième carte parmi les 28 autres : 8 × 28 = 224 mains. Une main ne peut contenir deux carrés (cela ferait 8 cartes). Total : C(32, 5) = 201 376.

P = 224 / 201 376 = 1899 (car 224 × 899 = 201 376).