Corrigé du contrôle de maths 1ère : Variables aléatoires et loi binomiale

1 Loi d’une variable aléatoire / 5 pts

Calculatrice autorisée.

1. (1 pt) La somme vaut 1 : a = 1 − (0,4 + 0,3 + 0,2) = 0,1.
2. (1 pt) E(X) = (−4) × 0,4 + 1 × 0,3 + 3 × 0,2 + 10 × 0,1 = −1,6 + 0,3 + 0,6 + 1 = 0,3.
3. (2 pts) E(X²) = 16 × 0,4 + 0,3 + 9 × 0,2 + 100 × 0,1 = 6,4 + 0,3 + 1,8 + 10 = 18,5 (1 pt) ; V(X) = 18,5 − 0,3² = 18,41 ; σ(X) = √18,41 ≈ 4,29 (1 pt).
4. (1 pt) E(Y) = 2 × 0,3 + 1 = 1,6 ; V(Y) = 2² × 18,41 = 73,64.

2 Reconnaître une loi binomiale / 3 pts

1. (1 pt) Oui : tirages identiques et indépendants, succès « bleue » de probabilité 0,4. X suit B(15 ; 0,4).
2. (1 pt) Non : sans remise, les tirages ne sont pas indépendants.
3. (1 pt) Oui : 12 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, p = 0,7. X suit B(12 ; 0,7).

3 Coefficients binomiaux / 2 pts

1. (1 pt) C(8 ; 3) = 8! ÷ (3! × 5!) = (8 × 7 × 6) ÷ (3 × 2 × 1) = 336 ÷ 6 = 56.
2. (1 pt) Pascal : C(9 ; 4) = C(8 ; 3) + C(8 ; 4) = 56 + 70 = 126. Par symétrie, C(9 ; 5) = C(9 ; 4) = 126.

4 Ampoules défectueuses / 5 pts

Calculatrice autorisée.

1. (1 pt) Chaque ampoule est une épreuve de Bernoulli (succès « défectueuse », p = 0,1) ; les 12 prélèvements sont identiques et indépendants : X suit B(12 ; 0,1).
2. (1,5 pt) P(X = 0) = 0,9¹² ≈ 0,282 ; P(X = 2) = C(12 ; 2) × 0,1² × 0,9¹⁰ = 66 × 0,01 × 0,3487 ≈ 0,230.
3. (1 pt) P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,9¹² ≈ 0,718.
4. (1,5 pt) E(X) = 12 × 0,1 = 1,2 ; V(X) = 12 × 0,1 × 0,9 = 1,08 ; σ(X) = √1,08 ≈ 1,04.

5 Un jeu de dé / 3 pts

1. (1 pt) Les lancers sont identiques et indépendants, succès « 6 » avec p = 16 : X suit B(4 ; 16) et E(X) = 4 × 16 = 23.
2. (1 pt) G = 6X − 3, donc E(G) = 6 × 23 − 3 = 4 − 3 = 1 €.
3. (1 pt) E(G) = 1 > 0 : le jeu est favorable ; en jouant un très grand nombre de parties, le joueur gagne en moyenne 1 € par partie.

6 Simulation en Python / 2 pts

1. (1 pt) Elle simule une variable X de loi B(20 ; 0,3) (nombre de succès sur 20 épreuves). En moyenne : E(X) = 20 × 0,3 = 6.
2. (1 pt) On compte les fois où le résultat est supérieur ou égal à 1 (≥ 1) ; on divise par N. Le résultat est proche de 1 − 0,7²⁰ ≈ 0,9992.