Corrigé du contrôle de maths 1ère : Algorithmique et programmation Python

1 Lire un programme / 3 pts

1. (2 pts) Pour n = 10, seuls les k = 3, 6, 9 vérifient k % 3 == 0 : s = 3 + 6 + 9 = 18. Pour n = 12, on ajoute 12 : s = 30. Vérification par exécution : 18 30 (1 pt pour chaque valeur).
2. (1 pt) Elle renvoie la somme des multiples de 3 compris entre 1 et n.

Total : 3 points.

2 Fonctions et listes / 3 pts

a), b) (1,5 pt)

def negatifs(L):
    k = 0
    for x in L:
        if x < 0:
            k = k + 1
    return k

def positifs(L):
    R = []
    for x in L:
        if x > 0:
            R.append(x)
    return R

Barème : compteur initialisé (0,5), test strict (0,5), bonne valeur renvoyée en dehors de la boucle (0,5) pour a) ; liste initialisée vide et append pour b) comptent dans les 1,5 pt de l’ensemble.

c) (1,5 pt) negatifs renvoie 2 (les éléments −2 et −7), positifs renvoie [3, 5] (0 n’est ni positif ni négatif au sens strict). Sortie :

2
[3, 5]

3 Suite et seuil (calculatrice autorisée) / 4 pts

1. (1 pt) u₁ = 0,9×200 + 30 = 210 ; u₂ = 0,9×210 + 30 = 219.
2. (1,5 pt)

   def seuil(S):
       n = 0
       u = 200
       while u <= S:
           u = 0.9 * u + 30
           n = n + 1
       return n

   Barème : initialisation (0,5), condition du while correcte u ≤ S (0,5), mise à jour et compteur (0,5).

3. (1,5 pt) Le programme renvoie 7. Vérification : u₆ ≈ 246,86 ≤ 250 et u₇ ≈ 252,17 > 250.

4 Dichotomie / 4 pts

1. (1 pt) f(1) = −2 < 0, f(2) = 5 > 0, f est continue et strictement croissante sur [1 ; 2] : elle s’annule une seule fois (théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement monotone).
2. (2 pts)

   Étape	Milieu m	f(m)	Nouvel intervalle
   1	1,5	0,3750	[1 ; 1,5]
   2	1,25	-1,0469	[1,25 ; 1,5]
   3	1,375	-0,4004	[1,375 ; 1,5]

   Donc 1,375 ≤ α ≤ 1,5, d’amplitude 0,125.

3. (1 pt) Il faut 1/2ⁿ ≤ 0,01, c’est-à-dire 2ⁿ ≥ 100 : 2⁶ = 64 < 100 et 2⁷ = 128 ≥ 100, donc 7 étapes. Le programme dichotomie(f, 1, 2, 0.01) donne : (1.4375, 1.4453125).

5 Simulation / 3 pts

1. (1 pt) essai renvoie True dès qu’un 6 est tiré : voir le programme ci-dessous.
2. (1 pt) frequence compte les essais réussis et divise par N.

from random import randint

def essai():
    for i in range(4):
        if randint(1, 6) == 6:
            return True
    return False

def frequence(N):
    c = 0
    for i in range(N):
        if essai():
            c = c + 1
    return c / N

print(frequence(10000))

c) (1 pt) Le contraire de A est « aucun 6 en 4 lancers » de probabilité (5/6)⁴ = 625/1296. Donc P(A) = 1 − 625/1296 = 671/1296 ≈ 0,518. Avec N = 10000, on attend une fréquence proche de 0,518 (par exemple entre 0,50 et 0,54), différente à chaque exécution.

6 Tri par sélection / 3 pts

1. (2 pts) Tour 0 : le minimum est 1, échangé avec 6 : [1, 2, 8, 3, 6]. Tour 1 : le minimum de 2, 8, 3, 6 est 2, déjà en place : [1, 2, 8, 3, 6]. Tour 2 : le minimum de 8, 3, 6 est 3, échangé avec 8 : [1, 2, 3, 8, 6]. Tour 3 : le minimum de 8, 6 est 6, échangé avec 8 : [1, 2, 3, 6, 8].
2. (1 pt) n(n − 1)/2 avec n = 5 : 5×4/2 = 10 comparaisons (4 + 3 + 2 + 1).