Contrôle de maths 1ère : Équations de droites et de cercles

1 Équations de droites / 4 pts

Durée du contrôle : 55 minutes, calculatrice non autorisée.

A(−1 ; 4), B(3 ; −2) et C(2 ; 3) dans un repère orthonormé.

1. Détermine une équation cartésienne de la droite (AB). (2 pts)
2. Détermine une équation de la parallèle à (AB) passant par C. (1 pt)
3. Détermine une équation de la perpendiculaire à (AB) passant par C. (1 pt)

2 Cercle circonscrit / 5 pts

Dans un repère orthonormé, A(1 ; −1), B(5 ; 1) et C(3 ; 5).

1. Détermine une équation de la médiatrice de [AB]. (1,5 pt)
2. Détermine une équation de la médiatrice de [BC]. (1,5 pt)
3. Calcule les coordonnées de leur point d’intersection Ω. (1 pt)
4. Montre que ΩA = ΩB = ΩC et écris l’équation du cercle circonscrit à ABC. (1 pt)

3 Cercle et tangente / 4 pts

On considère l’ensemble C des points M(x ; y) tels que x² + y² − 2x + 4y − 15 = 0.

1. Montre que C est un cercle dont tu donneras le centre et le rayon. (2 pts)
2. Montre que A(5 ; 0) appartient à C. (0,5 pt)
3. Détermine une équation de la tangente à C en A. (1,5 pt)

4 Droites et cercle / 4 pts

Le cercle C a pour équation (x − 1)² + (y + 2)² = 20.

1. Détermine les points d’intersection de C avec la droite d : 2x − y − 4 = 0. (2 pts)
2. Pour quelles valeurs de m la droite y = 2x + m est-elle tangente à C ? (2 pts)

5 Vrai ou faux ? / 3 pts

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie. (1 pt chacune)

1. Les droites 2x − 3y + 1 = 0 et 6x + 4y − 5 = 0 sont perpendiculaires.
2. L’ensemble des points M(x ; y) tels que x² + y² + 4x − 2y + 6 = 0 est un cercle.
3. La droite x = 3 est tangente au cercle d’équation (x − 1)² + y² = 4.