Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice interdite.
1 Équations de droites / 4 pts
(2 pts) AB (4 ; −6), colinéaire à (2 ; −3) : (1 pt) un vecteur normal est (3 ; 2). Équation 3x + 2y + c = 0, et avec A : −3 + 8 + c = 0, c = −5 : 3x + 2y − 5 = 0 (0,5 pt) ; contrôle avec B : 9 − 4 − 5 = 0 ✔ (0,5 pt).
(1 pt) Même vecteur normal (3 ; 2) : 3x + 2y + c = 0 avec C : 6 + 6 + c = 0, donc 3x + 2y − 12 = 0 .
(1 pt) Un vecteur normal est (2 ; −3) (orthogonal à (3 ; 2)) : 2x − 3y + c = 0 avec C : 4 − 9 + c = 0, donc 2x − 3y + 5 = 0 .
2 Cercle circonscrit / 5 pts
(1,5 pt) Milieu de [AB] : (3 ; 0). AB (4 ; 2), normal (2 ; 1). Équation 2x + y + c = 0 ; avec le milieu : 6 + c = 0, donc 2x + y − 6 = 0 .
(1,5 pt) Milieu de [BC] : (4 ; 3). BC (−2 ; 4), normal (1 ; −2). Équation x − 2y + c = 0 ; avec le milieu : 4 − 6 + c = 0, donc x − 2y + 2 = 0 .
(1 pt) y = 6 − 2x ; alors x − 12 + 4x + 2 = 0, 5x = 10, x = 2, y = 2. Ω(2 ; 2) .
(1 pt) ΩA² = 1 + 9 = 10, ΩB² = 9 + 1 = 10, ΩC² = 1 + 9 = 10. Les trois distances valent √10 (0,5 pt). Équation du cercle circonscrit : (x − 2)² + (y − 2)² = 10 (0,5 pt).
−2 −1 1 2 3 4 5 6 −2 −1 1 2 3 4 5 6 0 A B C Ω
3 Cercle et tangente / 4 pts
(2 pts) x ² − 2x = (x − 1)² − 1 et y ² + 4y = (y + 2)² − 4. L’équation devient (x − 1)² + (y + 2)² − 1 − 4 − 15 = 0, soit (x − 1)² + (y + 2)² = 20 (1,5 pt). C’est le cercle de centre Ω(1 ; −2) et de rayon √20 = 2√5 (0,5 pt).
(0,5 pt) (5 − 1)² + (0 + 2)² = 16 + 4 = 20 ✔.
(1,5 pt) ΩA (4 ; 2) est normal à la tangente (0,5 pt) : 4(x − 5) + 2(y − 0) = 0, soit 2x + y − 10 = 0 (0,5 pt). Contrôle avec A : 10 − 10 = 0 ✔ (0,5 pt).
4 Droites et cercle / 4 pts
(2 pts) De d : y = 2x − 4. On remplace : (x − 1)² + (2x − 2)² = 20 ⇔ 5(x − 1)² = 20 ⇔ (x − 1)² = 4 (1 pt) ⇔ x = 3 ou x = −1 (0,5 pt). Les points d’intersection sont (3 ; 2) et (−1 ; −6) (0,5 pt).
(2 pts) On remplace y = 2x + m : (x − 1)² + (2x + m + 2)² = 20, soit 5x ² + (4m + 6)x + (m + 2)² − 19 = 0 (0,5 pt). Δ = (4m + 6)² − 20((m + 2)² − 19) = −4m ² − 32m + 336 (0,5 pt). Tangente ⇔ Δ = 0 ⇔ m ² + 8m − 84 = 0 (0,5 pt), de discriminant 64 + 336 = 400 : m = (−8 − 20)/2 = −14 ou m = (−8 + 20)/2 = 6. Il y a deux tangentes : m = 6 et m = −14 (0,5 pt).
5 Vrai ou faux ? / 3 pts
Vrai (1 pt) : les vecteurs normaux (2 ; −3) et (6 ; 4) vérifient 2 × 6 + (−3) × 4 = 12 − 12 = 0.Faux (1 pt) : (x + 2)² − 4 + (y − 1)² − 1 + 6 = 0 donne (x + 2)² + (y − 1)² = −1, impossible : l’ensemble est vide.Vrai (1 pt) : pour x = 3, l’équation du cercle donne 4 + y ² = 4, soit y = 0 : un seul point commun (3 ; 0). (On peut aussi remarquer que la distance du centre (1 ; 0) à la droite vaut 2, le rayon.)
