Corrigé des exercices de maths 1ère : Équations de droites et de cercles

1 Lire une équation ★★★

1. Les coefficients de x et y donnent n(3 ; 4). Un vecteur directeur est u(−4 ; 3) (vérification : 3 × (−4) + 4 × 3 = 0).
2. A : 0 + 12 − 12 = 0, donc A ∈ d. B : 6 + 4 − 12 = −2 ≠ 0, donc B ∉ d. C : 12 + 0 − 12 = 0, donc C ∈ d.
3. Avec x = 0 : 4y = 12, y = 3, point (0 ; 3). Avec y = 0 : 3x = 12, x = 4, point (4 ; 0). La droite coupe l’axe des ordonnées en (0 ; 3) et l’axe des abscisses en (4 ; 0).

2 Point et vecteur normal ★★★

1. Pour M(x ; y), AM(x − 2 ; y + 1). Alors AM·n = 0 donne 3(x − 2) + 2(y + 1) = 0, soit 3x + 2y − 4 = 0. Vérification avec A : 6 − 2 − 4 = 0 ✔.
2. BM(x + 1 ; y − 4). On obtient 1(x + 1) − 5(y − 4) = 0, soit x − 5y + 21 = 0. Vérification avec B : −1 − 20 + 21 = 0 ✔.

3 Droite par deux points ★★★

1. AB(3 ; 6), colinéaire à (1 ; 2). Un vecteur normal est (2 ; −1). Équation : 2x − y + c = 0 ; avec A : 2 − 2 + c = 0, donc c = 0. La droite (AB) a pour équation 2x − y = 0. Vérification avec B : 8 − 8 = 0 ✔.
2. AB(3 ; −4), donc un vecteur normal est (4 ; 3). Équation : 4x + 3y + c = 0 ; avec A : −8 + 9 + c = 0, donc c = −1. La droite (AB) a pour équation 4x + 3y − 1 = 0. Vérification avec B : 4 − 3 − 1 = 0 ✔.

4 Changer de forme ★★★

a. • 2x − 3y + 6 = 0 ⇔ 3y = 2x + 6 ⇔ y = 23x + 2.
• −4x + 2y − 10 = 0 ⇔ 2y = 4x + 10 ⇔ y = 2x + 5.
• 5x − 15 = 0 ⇔ x = 3 : droite verticale, elle n’a pas d’équation réduite.

b. y = −12x + 3 ⇔ 2y = −x + 6 ⇔ x + 2y − 6 = 0.

5 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : les coefficients de x et y sont 2 et 1.
2. Faux : un vecteur normal est (2 ; 3). Or (3 ; −2) est orthogonal à (2 ; 3) puisque 2 × 3 + 3 × (−2) = 0 : c’est un vecteur directeur.
3. Vrai : 4 × (−3) − 2 × (−6) = −12 + 12 = 0, donc les vecteurs normaux sont colinéaires. Les constantes ne sont pas proportionnelles (la seconde équation multipliée par 2 donne 4x − 6y + 10 = 0), les droites sont parallèles et distinctes.
4. Vrai : avec x = 0 et y = 0, 3 × 0 + 0 = 0.
5. Vrai : 1 × 2 + (−2) × 1 = 0, les vecteurs normaux (1 ; −2) et (2 ; 1) sont orthogonaux.

6 Lire une équation de cercle ★★★

1. Centre Ω(3 ; −2), rayon √25 = 5.
2. Centre O(0 ; 0), rayon √7 ≈ 2,65.
3. Centre Ω(−1 ; 4), rayon √12 = 2√3 ≈ 3,46.

Pour A(6 ; 2) et le premier cercle : (6 − 3)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25 ✔, donc A appartient au cercle.

7 Écrire une équation de cercle ★★★

a. (x + 2)² + (y − 5)² = 16.

b. Le rayon est ΩA = √((4 − 1)² + (5 − 1)²) = √(9 + 16) = √25 = 5. L’équation est (x − 1)² + (y − 1)² = 25.

8 Parallèle et perpendiculaire ★★★

Parallèle : même vecteur normal (2 ; −5), donc 2x − 5y + c = 0. Avec A : 6 + 10 + c = 0, donc c = −16. Équation : 2x − 5y − 16 = 0.

Perpendiculaire : le vecteur (2 ; −5) est normal à d, un vecteur directeur de d est (5 ; 2). C’est un vecteur normal de la perpendiculaire : 5x + 2y + c = 0. Avec A : 15 − 4 + c = 0, donc c = −11. Équation : 5x + 2y − 11 = 0. Vérification : 2 × 5 + (−5) × 2 = 0 ✔ (les droites sont bien perpendiculaires).

9 Hauteurs d’un triangle ★★★

1. La hauteur issue de A est perpendiculaire à (BC) : BC(−3 ; 3) est un vecteur normal, donc −3x + 3y + c = 0 ; avec A : −3 + 3 + c = 0, c = 0. On simplifie : x − y = 0.
   La hauteur issue de B est perpendiculaire à (AC) : AC(1 ; 5) est normal, donc x + 5y + c = 0 ; avec B : 5 + 15 + c = 0, c = −20. Équation : x + 5y − 20 = 0.
2. On résout : y = x, donc x + 5x = 20, x = 103 et y = 103. Donc H(103 ; 103).
3. AB(4 ; 2) est normal à la hauteur issue de C : 4x + 2y + c = 0, avec C : 8 + 12 + c = 0, c = −20, soit 2x + y − 10 = 0. Pour H : 2 × 103 + 103 − 10 = 10 − 10 = 0 ✔. Les trois hauteurs sont concourantes en H, l’orthocentre.

10 Médiatrice d’un segment ★★★

Le milieu de [AB] est I(2 ; 3). Le vecteur AB(6 ; 2) est normal à la médiatrice, ainsi que (3 ; 1). Équation : 3x + y + c = 0 ; avec I : 6 + 3 + c = 0, c = −9. La médiatrice a pour équation 3x + y − 9 = 0.

M(0 ; 9) : 0 + 9 − 9 = 0, donc M est sur la médiatrice. Vérifions : MA² = (−1)² + (2 − 9)² = 1 + 49 = 50 et MB² = 5² + (4 − 9)² = 25 + 25 = 50. Donc MA = MB = √50 ✔.

11 Intersection de droites ★★★

a. De la seconde équation, y = 4x − 7. On remplace dans la première : 2x + 3(4x − 7) − 7 = 0, soit 14x − 28 = 0, donc x = 2 et y = 1. Le point d’intersection est (2 ; 1). Vérification : 4 + 3 − 7 = 0 et 8 − 1 − 7 = 0 ✔.

b. Vecteurs normaux (3 ; −6) et (1 ; −2) : 3 × (−2) − 1 × (−6) = −6 + 6 = 0, ils sont colinéaires, donc les droites sont parallèles. Le point (5 ; 0) est sur la seconde mais 15 + 2 ≠ 0 : il n’est pas sur la première. Les droites sont strictement parallèles, elles ne sont pas sécantes.

12 Un paramètre ★★★

Vecteurs normaux : (m ; 2) pour d, (3 ; 1) pour d′.

a. (1) Parallèles ⇔ m × 1 − 3 × 2 = 0 ⇔ m = 6.

(2) Perpendiculaires ⇔ 3m + 2 × 1 = 0 ⇔ m = −23.

b. 3 × 8 + (−4) × 6 = 24 − 24 = 0, donc les vecteurs normaux (3 ; −4) et (8 ; 6) sont orthogonaux : les droites sont perpendiculaires.

13 Cercle de diamètre [AB] ★★★

Première méthode. Le centre est le milieu Ω(3 ; 0). Le rayon vérifie r² = ΩA² = (1 − 3)² + (2 − 0)² = 8. Équation : (x − 3)² + y² = 8. On vérifie pour B : 4 + 4 = 8 ✔.

Seconde méthode. MA·MB = (1 − x)(5 − x) + (2 − y)(−2 − y) = x² − 6x + 5 + y² − 4 = x² + y² − 6x + 1.

Comparaison. (x − 3)² + y² − 8 = x² − 6x + 9 + y² − 8 = x² + y² − 6x + 1 : les deux équations sont équivalentes.

14 Reconnaître un ensemble ★★★

1. (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 − 3 = 0, soit (x − 2)² + (y + 3)² = 16 : cercle de centre (2 ; −3) et de rayon 4.
2. (x + 1)² − 1 + (y − 4)² − 16 + 20 = 0, soit (x + 1)² + (y − 4)² = −3. Une somme de carrés ne peut pas être négative : aucun point, l’ensemble est vide.
3. (x − 1)² − 1 + (y + 2)² − 4 + 5 = 0, soit (x − 1)² + (y + 2)² = 0. Cela impose x = 1 et y = −2 : l’ensemble est le point (1 ; −2).

15 Tangente en un point ★★★

(1 + 1)² + (7 − 3)² = 4 + 16 = 20 ✔, A ∈ C. Le centre est Ω(−1 ; 3) et ΩA(2 ; 4), colinéaire à (1 ; 2). La tangente en A est perpendiculaire à (ΩA) : (x − 1) + 2(y − 7) = 0, soit x + 2y − 15 = 0. Vérification avec A : 1 + 14 − 15 = 0 ✔.

16 Droite et cercle sécants ★★★

On remplace : x² + (x + 1)² = 25, soit 2x² + 2x − 24 = 0, ou x² + x − 12 = 0. Δ = 1 + 48 = 49, donc x = (−1 − 7)/2 = −4 ou x = (−1 + 7)/2 = 3. Avec y = x + 1 : les points sont (−4 ; −3) et (3 ; 4). Vérification : 16 + 9 = 25 et 9 + 16 = 25 ✔.

17 Trois droites, un cercle ★★★

d₁ : y = 17 − 3x. (x − 2)² + (16 − 3x)² = 10 ⇔ x² − 4x + 4 + 9x² − 96x + 256 − 10 = 0 ⇔ 10x² − 100x + 250 = 0 ⇔ 10(x − 5)² = 0. Une seule solution x = 5, y = 2 : d₁ est tangente en (5 ; 2).

d₂ : (x − 2)² + x² = 10 ⇔ 2x² − 4x − 6 = 0 ⇔ x² − 2x − 3 = 0. Δ = 4 + 12 = 16, x = −1 ou x = 3 : deux points, (−1 ; 0) et (3 ; 4).

d₃ : y = 30 − 3x. (x − 2)² + (29 − 3x)² = 10 ⇔ 10x² − 178x + 835 = 0. Δ = 178² − 4 × 10 × 835 = 31 684 − 33 400 = −1 716 < 0 : aucun point.

18 Tangentes issues d’un point ★★★

1. La droite (PT) est tangente en T si et seulement si elle est perpendiculaire au rayon (OT), c’est-à-dire si OT·PT = 0, avec T sur le cercle (x² + y² = 5).
2. OT(x ; y) et PT(x − 5 ; y) : x(x − 5) + y² = 0 ⇔ x² + y² − 5x = 0. Comme x² + y² = 5, on obtient 5 − 5x = 0, donc x = 1. Puis y² = 5 − 1 = 4 : y = 2 ou y = −2. Les points de contact sont T(1 ; 2) et T′(1 ; −2).
3. En T : normal OT(1 ; 2), tangente x + 2y − 5 = 0 (car 1 + 4 = 5). En T′ : x − 2y − 5 = 0. Les deux passent bien par P(5 ; 0) : 5 − 5 = 0 ✔.

19 Cercle passant par trois points ★★★

Le centre est sur la médiatrice de chaque côté.

[AC] : A et C ont la même ordonnée 1, le milieu est (2 ; 1), AC(−6 ; 0) est normal à la médiatrice : c’est la droite x = 2.

[AB] : milieu (3,5 ; 2,5), AB(−3 ; 3) normal, donc (−1 ; 1) aussi : −x + y + c = 0, et −3,5 + 2,5 + c = 0 donne c = 1. Médiatrice : y = x − 1.

Intersection : x = 2 et y = 1. Le centre est Ω(2 ; 1). Rayon : ΩA = 3 ; contrôle : ΩB = √(0 + 9) = 3 et ΩC = 3 ✔. Le cercle a pour équation (x − 2)² + (y − 1)² = 9.

20 Valeurs de m pour une tangente ★★★

On remplace : x² + (x + m)² = 8 ⇔ 2x² + 2mx + m² − 8 = 0. La droite est tangente si et seulement si Δ = 0 : Δ = (2m)² − 4 × 2 × (m² − 8) = 4m² − 8m² + 64 = 64 − 4m². Δ = 0 ⇔ m² = 16 ⇔ m = 4 ou m = −4.

Pour m = 4 : 2x² + 8x + 8 = 2(x + 2)² = 0, x = −2, y = 2 : contact en (−2 ; 2). Pour m = −4 : 2(x − 2)² = 0, contact en (2 ; −2). Contrôle : 4 + 4 = 8 ✔.

21 Cercle tangent à une droite ★★★

Le point de contact H est le pied de la perpendiculaire à d passant par Ω. Un vecteur normal de d est (3 ; −4), directeur de cette perpendiculaire, dont un vecteur normal est (4 ; 3) : 4x + 3y + c = 0, avec Ω : 4 + 6 + c = 0, donc 4x + 3y − 10 = 0.

H vérifie 3x − 4y = 10 et 4x + 3y = 10. En multipliant la première par 3 et la seconde par 4 : 9x − 12y = 30 et 16x + 12y = 40. On additionne : 25x = 70, x = 145, puis y = (10 − 4 × 145)/3 = −25. H(145 ; −25).

Rayon : ΩH² = (95)² + (125)² = 8125 + 14425 = 9, donc r = 3. Le cercle a pour équation (x − 1)² + (y − 2)² = 9.

22 Intersection de deux cercles ★★★

On développe C₂ : x² + y² − 10x − 10y + 25 = 0. En retranchant l’équation de C₁ (x² + y² = 25), il reste −10x − 10y + 50 = 0, soit x + y = 5 : un point commun appartient à cette droite. On substitue y = 5 − x dans C₁ : x² + (5 − x)² = 25 ⇔ 2x² − 10x = 0 ⇔ 2x(x − 5) = 0. Donc x = 0 (et y = 5) ou x = 5 (et y = 0). Les cercles se coupent en (0 ; 5) et (5 ; 0) (vérification : 25 = 25 et 0 + 25 = 25 pour C₂ ✔).

23 Problème : l’arroseur ★★★

1. MN(4 ; −2), colinéaire à (2 ; −1), donc un vecteur normal est (1 ; 2) : x + 2y + c = 0, et avec M : 3 + 14 + c = 0, c = −17. Allée : x + 2y − 17 = 0 (contrôle avec N : 7 + 10 − 17 = 0 ✔).
2. (x − 3)² + (y − 2)² = 25.
3. On pose x = 17 − 2y : (14 − 2y)² + (y − 2)² = 25 ⇔ 196 − 56y + 4y² + y² − 4y + 4 − 25 = 0 ⇔ 5y² − 60y + 175 = 0 ⇔ y² − 12y + 35 = 0 ⇔ (y − 5)(y − 7) = 0. On retrouve M(3 ; 7) et N(7 ; 5), qui sont donc les points d’intersection. La longueur mouillée est MN = √(4² + (−2)²) = √20 = 2√5 ≈ 4,5 m. L’eau tombe sur environ 4,5 m d’allée.