Corrigé du contrôle de maths 1ère : Fonction exponentielle

1 Calcul sur les exponentielles / 4 pts

Contrôle de 55 minutes. Calculatrice autorisée pour les exercices 4 et 5 seulement.

Barème : 1) 2 pts ; 2) 1 pt ; 3) 1 pt.

1. (1 pt) A = e^4x−x / e^3x−2 = e^3x / e^3x−2 = e^{3x−(3x−2)} = e². (1 pt) (e^x + e^−x)² = e^2x + 2 + e^−2x et (e^x − e^−x)² = e^2x − 2 + e^−2x. La différence vaut B = 4.
2. (1 pt) x² − 2x = 3 ⇔ x² − 2x − 3 = 0. Δ = 4 + 12 = 16, x = 2−42 = −1 ou x = 2+42 = 3. S = {−1 ; 3}.
3. (1 pt) Exponentielle strictement croissante : 1 − 2x < x + 4 ⇔ −3 < 3x ⇔ x > −1. S = ]−1 ; +∞[.

2 Étude d’une fonction produit / 5 pts

Barème : a) 1,5 pt ; b) 1,5 pt ; c) 1 pt ; d) 1 pt.

1. (1,5 pt) g = uv, u(x) = 3 − x, u ′ = −1, v(x) = e^x/2, v ′(x) = 12e^x/2. g ′(x) = −e^x/2 + (3 − x) × 12e^x/2 = e^x/2(−1 + 3−x2) = e^x/2 × 1−x2. ✓
2. (1,5 pt) e^x/2 > 0 donc g ′(x) a le signe de 1 − x : positif sur ]−∞ ; 1[, négatif sur ]1 ; +∞[.

   x	−∞		1		+∞
   f ′(x)		+	0	−
   f(x)		↗	2e0,5	↘

   Maximum : g(1) = 2e^1/2 ≈ 3,297.

3. (1 pt) g(0) = 3 ; g ′(0) = 12e⁰ = 12. Tangente : y = 12x + 3.
4. (1 pt) e^x/2 ≠ 0, donc g(x) = 0 ⇔ 3 − x = 0 ⇔ x = 3. Comme e^x/2 > 0, g(x) > 0 pour x < 3 et g(x) < 0 pour x > 3.

3 Une propriété qui caractérise l’exponentielle / 3 pts

Barème : a) 2 pts ; b) 1 pt.

1. (1 pt) φ ′(x) = f ′(x)e^−2x + f(x)(−2e^−2x) = (f ′(x) − 2f(x))e^−2x = 0. (1 pt) φ est dérivable de dérivée nulle sur ℝ, donc constante, égale à φ(0) = f(0)e⁰ = 3.
2. (0,5 pt) f(x)e^−2x = 3 donc f(x) = 3e^2x. (0,5 pt) f(0,5) = 3e¹ = 3e ≈ 8,155.

4 Concentration d’un médicament / 4 pts

Barème : a) 1 pt ; b) 1 pt ; c) 2 pts.

1. (1 pt) C(0) = 12 mg/L ; C(3) = 12e^−0,6 ≈ 6,586 mg/L.
2. (1 pt) C ′(t) = 12 × (−0,2)e^−0,2t = −2,4e^−0,2t < 0 : C est strictement décroissante. À t = 0 : C ′(0) = −2,4 mg/L par heure.
3. (2 pts) C est strictement décroissante. C(10) = 12e⁻² ≈ 1,624 > 1,5 et C(11) = 12e^−2,2 ≈ 1,330 < 1,5. Il faut renouveler le traitement au bout de 11 heures.

5 Capital à intérêts continus / 4 pts

Barème : a) 1 pt ; b) 1 pt ; c) 1,5 pt ; d) 0,5 pt.

1. (1 pt) u_n+1 = 200e^0,05n+0,05 = e^0,05u_n : géométrique de raison e^0,05 ≈ 1,051, avec u₀ = 200.
2. (1 pt) u₁₀ = 200e^0,5 ≈ 329,74 €.
3. (1,5 pt) La suite est strictement croissante. u₁₃ = 200e^0,65 ≈ 383,11 < 400 et u₁₄ = 200e^0,7 ≈ 402,75 ≥ 400. Donc n = 14.
4. (0,5 pt) Avec x = 0,05 : e^0,05 ≥ 1,05. La raison e^0,05 est au moins égale à 1,05 : ce placement rapporte au moins autant qu’un taux annuel de 5 % (augmenter de 5 % revient à multiplier par 1,05).