Fonction exponentielle : exercices de maths 1ère

1 Simplifier des produits et quotients ★★★

Écris chaque expression sous la forme e^… (un seul exposant).

1. e³ × e⁻⁵
2. (e²)³
3. e⁷ / e⁴
4. 1 / e⁻²
5. e^x × e^2x
6. (e^−x)² × e^x
7. e^x+1 × e^1−x

2 Vrai ou faux ? (justifie) ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

1. e⁰ = 1.
2. Pour tous réels a et b, e^a+b = e^a + e^b.
3. Il existe un réel x tel que e^x = −3.
4. (e^x)² = e^2x pour tout x.
5. La fonction exponentielle est décroissante sur ]−∞ ; 0].
6. e⁻³ < e⁻².
7. Pour tout réel x, e^x ≥ x + 1.

3 Valeurs approchées à la calculatrice ★★★

Donne une valeur approchée à 10⁻³ près de chaque nombre : a) e^1,5 ; b) e^−0,3 ; c) e^2,5 ; d) e^−1,2 ; e) e^0,1. Range ensuite ces cinq nombres dans l’ordre croissant sans nouveau calcul.

4 Équations avec des exponentielles ★★★

Résous dans ℝ : a) e^2x = e⁵ ; b) e^3x−1 = 1 ; c) e^x² = e^4x−3 ; d) e^x = −2 ; e) e^2x+1 = e.

5 Inéquations avec des exponentielles ★★★

Résous dans ℝ : a) e^x < e⁻² ; b) e^−x+1 ≥ e^3x ; c) e^2x−3 > 1 ; d) e^x + 1 > 0.

6 Dériver des fonctions avec e^ax+b ★★★

Calcule la dérivée de chaque fonction sur ℝ.

1. f(x) = e^3x
2. f(x) = e^−2x+1
3. f(x) = 5e^−0,4x
4. f(x) = e^x/2
5. f(x) = 4x − e^2x
6. f(x) = e^x + x²

7 Étudier un signe ★★★

Étudie le signe de chaque expression pour x réel.

1. (x − 3)e^x
2. −4e^−x
3. (2 − x)(e^x + 1)
4. (x² + 1)e^−2x

8 Développer et réduire ★★★

Développe puis réduis : a) (e^x + 1)(e^x − 1) ; b) (e^x + 2)² ; c) e^x(e^−x + e^2x) ; d) (e^2x)² / e^3x.

9 Tangentes à des courbes exponentielles ★★★

Détermine l’équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse indiquée.

1. f(x) = e^2x en x = 0
2. f(x) = e^x en x = 1
3. f(x) = e^2x−1 en x = 12

10 Retrouver les paramètres sur une courbe ★★★

La courbe ci-dessous représente une fonction f définie par f(x) = A e^kx. Elle passe par A(0 ; 3) et par le point B d’abscisse 2 et d’ordonnée 3/e (environ 1,1).

1. Détermine le réel A.
2. Détermine le réel k. La fonction f est-elle croissante ou décroissante ?
3. Donne l’équation de la tangente en A.
4. Calcule f(4) à 10⁻³ près.

11 Étude de f(x) = (x + 1)e^x ★★★

Soit f(x) = (x + 1)e^x sur ℝ.

1. Montre que f ′(x) = (x + 2)e^x.
2. Étudie le signe de f ′ et dresse le tableau de variations de f.
3. Donne le minimum de f (valeur exacte puis arrondie à 10⁻³).
4. Résous f(x) = 0.

12 Étude de f(x) = (2x − 1)e^−x ★★★

Soit f(x) = (2x − 1)e^−x sur ℝ ; sa courbe est tracée ci-dessous.

1. Calcule f ′(x) et montre que f ′(x) = (3 − 2x)e^−x.
2. Dresse le tableau de variations de f.
3. Donne le maximum de f (valeur exacte et arrondie à 10⁻³).
4. Résous f(x) ≥ 0.

13 Équations à factoriser ★★★

Résous dans ℝ : a) (x − 1)e^x = 0 ; b) e^2x − e^x = 0 ; c) x e^x + e^x = 0 ; d) e^2x = e^x+3 ; e) (e^x + 1)(x − 4) = 0.

14 Démontrer des identités ★★★

Démontre que, pour tout réel x :

1. (e^x − e^−x)² + 4 = (e^x + e^−x)² ;
2. e
   / (1+e
   ) = 1 / (1+e
   ) ;
3. (e
   −1) / (e
   +1) = (1−e
   ) / (1+e
   ).

15 Une suite géométrique en disguise ★★★

On définit u_n = 3e^−0,2n pour tout entier n ≥ 0.

1. Montre que (u_n) est géométrique. Donne sa raison (arrondie à 10⁻³) et son premier terme.
2. Quel est son sens de variation ?
3. Calcule u₅ à 10⁻³ près.
4. À l’aide de la calculatrice, trouve le plus petit entier n tel que u_n < 0,1.

16 Culture de bactéries ★★★

Le nombre de bactéries dans une culture est modélisé par N(t) = 500e^0,3t, où t est le temps en heures depuis le début de l’expérience.

1. Quel est le nombre initial de bactéries ?
2. Calcule N(3) à l’unité près.
3. Calcule N ′(t) et interprète N ′(0).
4. Au bout de combien d’heures entières le nombre de bactéries dépasse-t-il 10 000 ?

17 Désintégration d’un échantillon ★★★

La masse (en g) d’un échantillon radioactif, au bout de t jours, est m(t) = 80e^−0,05t.

1. Donne la masse initiale puis le sens de variation de m.
2. Calcule m(10) à 10⁻² g près.
3. La « demi-vie » est le temps au bout duquel la masse est divisée par 2. Détermine, à la calculatrice, le premier nombre entier de jours t pour lequel m(t) < 40.

18 Déterminer f(x) = A e^kx avec deux conditions ★★★

Une fonction f est de la forme f(x) = A e^kx. On sait que f(0) = 5 et que le nombre dérivé f ′(0) = −2.

1. Détermine A puis k.
2. Donne l’équation de la tangente à la courbe en x = 0.
3. Calcule f(5) à 10⁻³ près.

19 Conséquences de l’inégalité e^x ≥ x + 1 ★★★

On admet que pour tout réel x, e^x ≥ x + 1.

1. Montre que e^−x ≥ 1 − x pour tout x.
2. En déduire que pour tout x < 1, e^x ≤ 11−x.
3. Soit n un entier non nul. En appliquant l’inégalité à x = 1/n, montre que (1 + 1n)ⁿ ≤ e. Vérifie avec n = 10.
4. Pour n ≥ 2, montre de même que (1 − 1n)ⁿ ≤ e⁻¹. Vérifie avec n = 10.

20 Les solutions de f ′ = f ★★★

Soit f une fonction dérivable sur ℝ telle que f ′ = f. On pose φ(x) = f(x) e^−x.

1. Calcule φ ′(x) et montre que φ est constante.
2. En déduire que f(x) = f(0) e^x pour tout x.
3. Trouve la fonction f telle que f ′ = f et f(0) = −2.
4. Trouve la fonction g telle que g ′ = g et g(1) = e².

21 Une fonction avec un quotient ★★★

Soit f(x) = (e
−2) / (e
+1) sur ℝ.

1. Montre que f ′(x) = 3e
   / ((e
   +1)²).
2. Dresse le tableau de variations de f (sans valeurs aux bornes infinies).
3. Montre que f(x) = 1 − 3 / (e
   +1).
4. Écris l’équation de la tangente en x = 0.

22 Fonction « sinus hyperbolique » ★★★

Soit f(x) = (e
−e
) / 2 pour x réel.

1. Montre que f(−x) = −f(x) pour tout x. Que dire de la courbe ?
2. Calcule f ′(x) et déduis le sens de variation de f.
3. Résous f(x) = 0, puis étudie le signe de f(x).
4. Montre que e^x + e^−x ≥ 2 pour tout x (indice : développe (e^x/2 − e^−x/2)²).

23 Étude de f(x) = (x² + x)e^−x ★★★

Soit f(x) = (x² + x)e^−x sur ℝ.

1. Montre que f ′(x) = (−x² + x + 1)e^−x.
2. Résous −x² + x + 1 = 0 et étudie le signe de f ′.
3. Dresse le tableau de variations de f et donne ses extremums locaux (arrondis à 10⁻³).

24 Refroidissement d’une boisson ★★★

Une boisson est servie à 80 °C dans une pièce à 20 °C. Sa température (en °C) au bout de t minutes est T(t) = 20 + 60e^−0,1t.

1. Calcule T(0) et T(10) (à 10⁻¹ près).
2. Calcule T ′(t). Que peut-on dire des variations de T ? Quelle est la vitesse de refroidissement à t = 0 ?
3. Justifie que T(t) > 20 pour tout t.
4. Au bout de combien de minutes entières la boisson est-elle sous 30 °C ?