Corrigé du contrôle de maths Terminale : Loi binomiale

1 Reconnaître une loi binomiale / 3 pts

1. (1 pt) Oui : tirages avec remise, identiques et indépendants, succès « blanche » de probabilité 0,25. X suit B(8 ; 0,25).
2. (1 pt) Non : sans remise, la composition de l’urne change, les tirages ne sont pas indépendants.
3. (1 pt) Oui : 40 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, p = 120 = 0,05. X suit B(40 ; 0,05).

2 Contrôle de fabrication / 5 pts

Calculatrice autorisée.

1. (1 pt) Chaque ampoule est une épreuve de Bernoulli (succès « défectueuse », p = 0,04), les 25 prélèvements sont identiques et indépendants : X suit B(25 ; 0,04).
2. (1 pt) P(X = 0) = 0,96²⁵ ≈ 0,360 ; P(X = 1) = 25 × 0,04 × 0,96²⁴ ≈ 0,375.
3. (1,5 pt) P(X ≤ 2) ≈ 0,924 ; P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2) ≈ 0,076.
4. (1,5 pt) E(X) = 25 × 0,04 = 1 ; V(X) = 25 × 0,04 × 0,96 = 0,96 ; σ(X) = √0,96 ≈ 0,98.

3 Une loi complète / 3 pts

1. (1,5 pt)

   k	0	1	2	3	4
   P(X = k)	0,0256	0,1536	0,3456	0,3456	0,1296

   par exemple P(X = 2) = 6 × 0,6² × 0,4² = 0,3456.

2. (0,5 pt) 0,0256 + 0,1536 + 0,3456 + 0,3456 + 0,1296 = 1.
3. (1 pt) E(X) = 0 × 0,0256 + 1 × 0,1536 + 2 × 0,3456 + 3 × 0,3456 + 4 × 0,1296 = 2,4, ce qui est bien 4 × 0,6 = 2,4.

4 Au moins un succès / 4 pts

Calculatrice autorisée.

1. (1 pt) X suit B(n ; 0,08) et P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,92ⁿ.
2. (2 pts) 1 − 0,92ⁿ ≥ 0,98 ⇔ 0,92ⁿ ≤ 0,02 ⇔ n ln(0,92) ≤ ln(0,02) ⇔ n ≥ ln(0,02) ÷ ln(0,92) ≈ 46,92 (ln(0,92) < 0 : le sens change). Il faut 47 appels.
3. (1 pt) La condition de la boucle est 1 - (1 - p)**n < cible : on continue tant que l’objectif n’est pas atteint.

5 Concentration / 3 pts

1. (1 pt) E(X) = 300 × 0,5 = 150 ; V(X) = 300 × 0,5 × 0,5 = 75.
2. (2 pts) P(|X − 150| ≥ 30) ≤ 75 ÷ 900 = 112. L’événement 120 < X < 180 est le contraire de |X − 150| ≥ 30, donc P(120 < X < 180) ≥ 1 − 112 = 1112 ≈ 0,917.

6 Gain d’un jeu / 2 pts

1. (1 pt) X suit B(3 ; 0,4) : E(X) = 1,2 ; E(G) = 5 × 1,2 − 4 = 2 €.
2. (1 pt) G > 0 ⇔ 5X > 4 ⇔ X ≥ 1. P(X ≥ 1) = 1 − 0,6³ = 1 − 0,216 = 0,784.