1 Reconnaître une loi binomiale / 3 pts
Dans chaque cas, dis si X suit une loi binomiale. Si oui, donne ses paramètres ; sinon justifie.
- Une urne contient 5 boules blanches et 15 noires. On tire 8 boules avec remise ; X est le nombre de boules blanches.
- Même urne ; on tire 8 boules sans remise ; X est le nombre de boules blanches.
- Un site reçoit chaque jour un visiteur sur 20 qui s’abonne ; sur 40 visiteurs indépendants, X est le nombre d’abonnements.
2 Contrôle de fabrication / 5 pts
Calculatrice autorisée.
Une usine produit des ampoules dont 4 % sont défectueuses. On prélève 25 ampoules, ce qui est assimilé à un tirage avec remise. X est le nombre d’ampoules défectueuses.
- Justifie que X suit B(25 ; 0,04).
- Calcule P(X = 0) et P(X = 1) (au millième).
- Calcule P(X ≤ 2) puis P(X ≥ 3).
- Calcule E(X) et σ(X) (au centième).
3 Une loi complète / 3 pts
X suit B(4 ; 0,6).
- Détermine la loi de X sous forme d’un tableau (valeurs exactes avec décimaux).
- Vérifie que la somme des probabilités vaut 1.
- Calcule E(X) à partir du tableau et compare avec np.
4 Au moins un succès / 4 pts
Calculatrice autorisée.
Un vendeur conclut une vente avec la probabilité 0,08 à chaque appel, indépendamment.
- Pour n appels, donne en fonction de n la probabilité de conclure au moins une vente.
- Détermine le plus petit nombre d’appels pour que cette probabilité soit supérieure ou égale à 0,98.
- Complète la fonction Python
seuil(p, cible)qui renvoie ce nombre d’appels.
def seuil(p, cible):
n = 1
while ........ :
n = n + 1
return n
5 Concentration / 3 pts
X suit B(300 ; 0,5).
- Calcule E(X) et V(X).
- Avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et δ = 30, minore P(120 < X < 180).
6 Gain d’un jeu / 2 pts
Un jeu coûte 4 € et consiste à lancer 3 fois une pièce truquée qui donne « pile » avec la probabilité 0,4. Chaque « pile » rapporte 5 €. X est le nombre de « pile » et G = 5X − 4 le gain algébrique.
- Calcule E(G).
- Calcule la probabilité d’avoir un gain strictement positif.
