Corrigé des exercices de maths Terminale : Loi binomiale

1 Bernoulli ou pas ? ★★★

1. Oui : épreuves identiques et indépendantes à deux issues. n = 12, succès « obtenir 6 », p = 16.
2. Non : sans remise, la probabilité d’obtenir un cœur change d’un tirage à l’autre (8/32, puis 7/31 ou 8/31…) : les tirages ne sont pas indépendants.
3. Oui : n = 15, succès « bonne réponse », p = 0,25 (réponses indépendantes au hasard).
4. Non : chaque lancer a six issues, pas deux. On pourrait en faire un schéma de Bernoulli en choisissant un succès (par exemple « obtenir un nombre pair »), mais ce n’est pas l’expérience décrite.

2 Coefficients binomiaux ★★★

C(7 ; 2) = (7 × 6) ÷ (2 × 1) = 42 ÷ 2 = 21.

C(9 ; 3) = (9 × 8 × 7) ÷ (3 × 2 × 1) = 504 ÷ 6 = 84.

C(10 ; 8) = C(10 ; 2) par symétrie = (10 × 9) ÷ 2 = 45.

Pascal : C(7 ; 2) = C(6 ; 1) + C(6 ; 2) = 6 + 15 = 21. On retrouve bien 21.

3 QCM au hasard ★★★

1. Chaque question est une épreuve de Bernoulli : succès « bonne réponse », p = 14 = 0,25. Les 12 réponses sont données au hasard, donc indépendantes. X suit B(12 ; 0,25).
2. P(X = 3) = C(12 ; 3) × 0,25³ × 0,75⁹ = 220 × 0,25³ × 0,75⁹ ≈ 0,258.
3. E(X) = 12 × 0,25 = 3 bonnes réponses en moyenne.

4 Lancers de pièce ★★★

1. X suit B(6 ; 0,5).
2. P(X = 2) = C(6 ; 2) × 0,5⁶ = 15 ÷ 64 = 1564.
3. P(X = 3) = C(6 ; 3) × 0,5⁶ = 20 ÷ 64 = 516.
4. P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 164 = 6364.

5 Espérance, variance, écart type ★★★

B(40 ; 0,25) : E = 10 ; V = 40 × 0,25 × 0,75 = 7,5 ; σ = √7,5 ≈ 2,74.

B(100 ; 0,02) : E = 2 ; V = 100 × 0,02 × 0,98 = 1,96 ; σ = √1,96 = 1,4.

B(50 ; 0,9) : E = 45 ; V = 50 × 0,9 × 0,1 = 4,5 ; σ = √4,5 ≈ 2,12.

6 Lire deux diagrammes ★★★

1. E(X) = 10 × 0,2 = 2 pour la première loi : le diagramme A, concentré à gauche, correspond à B(10 ; 0,2). Le diagramme B (E = 8) correspond à B(10 ; 0,8).
2. Mode : partie entière de 11 × 0,2 = 2,2, soit 2 ; et partie entière de 11 × 0,8 = 8,8, soit 8.
3. Ils sont égaux : C(10 ; k) 0,2^k 0,8^10−k = C(10 ; 10 − k) 0,8^10−k 0,2^k par symétrie des coefficients. Les diagrammes sont symétriques par rapport à k = 5.

7 Au moins un ★★★

X (nombre de réussites) suit B(5 ; 0,1). P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,9⁵ = 1 − 0,59049 ≈ 0,410.

8 Contrôle qualité ★★★

1. X suit B(30 ; 0,02).
2. P(X = 0) = 0,98³⁰ ≈ 0,545. P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0,545 + 0,334 + 0,099 ≈ 0,978 (calculatrice : répartition en 2).
3. P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2) ≈ 0,022.

9 Tir à l’arc ★★★

1. X suit B(10 ; 0,7).
2. P(X ≥ 8) = 1 − P(X ≤ 7) ≈ 1 − 0,617 ≈ 0,383.
3. P(5 ≤ X ≤ 8) = P(X ≤ 8) − P(X ≤ 4) ≈ 0,851 − 0,047 ≈ 0,803.
4. E(X) = 7 ; V(X) = 10 × 0,7 × 0,3 = 2,1 ; σ(X) = √2,1 ≈ 1,45.

10 Vrai ou faux ★★★

1. Vrai : 20 × 0,4 = 8.
2. Faux : P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4). L’événement « X ≤ 5 » contient encore la valeur 5.
3. Vrai : X prend des valeurs entières, donc X < 3 équivaut à X ≤ 2.
4. Vrai : 20 × 0,4 × 0,6 = 4,8.
5. Vrai : C(20 ; 20) = 1, donc P(X = 20) = 1 × 0,4²⁰ × 0,6⁰ = 0,4²⁰.

11 Sondage dans une grande ville ★★★

1. Chaque personne interrogée est un succès (« possède un vélo ») avec la probabilité 0,3 ; l’échantillon est petit devant la population, donc les 20 interrogations sont assimilées à des épreuves identiques et indépendantes. X suit B(20 ; 0,3).
2. P(X = 6) = C(20 ; 6) × 0,3⁶ × 0,7¹⁴ ≈ 0,192.
3. P(X ≥ 10) = 1 − P(X ≤ 9) ≈ 1 − 0,952 ≈ 0,048.
4. E(X) = 20 × 0,3 = 6 cyclistes.

12 Un jeu de dé ★★★

1. X suit B(5 ; 16) et E(X) = 5 × 16 = 56.
2. G = 6X − 4, donc E(G) = 6 × 56 − 4 = 5 − 4 = 1 €.
3. E(G) = 1 > 0 : en moyenne le joueur gagne 1 € par partie, le jeu lui est favorable.
4. P(X = 0) = (56)⁵ = 31257776 ≈ 0,402.

13 Valeur la plus probable ★★★

1. P(X = k + 1) ÷ P(X = k) = [C(20 ; k+1) ÷ C(20 ; k)] × 0,3 ÷ 0,7, et C(20 ; k+1) ÷ C(20 ; k) = (20 − k) ÷ (k + 1). On obtient (20 − k) × 0,3 ÷ ((k + 1) × 0,7).
2. Rapport ≥ 1 ⇔ 0,3(20 − k) ≥ 0,7(k + 1) ⇔ 6 − 0,3k ≥ 0,7k + 0,7 ⇔ 5,3 ≥ k. Donc pour k ≤ 5, P(X = k + 1) ≥ P(X = k).
3. Les probabilités croissent jusqu’à k + 1 = 6, puis décroissent : le mode est 6 (= partie entière de 21 × 0,3 = 6,3). Calculatrice : P(X = 5) ≈ 0,1789 ; P(X = 6) ≈ 0,1916 ; P(X = 7) ≈ 0,1643.

14 Combien de tentatives ? ★★★

Soit n le nombre d’essais et X le nombre de réussites : X suit B(n ; 0,12). P(X ≥ 1) = 1 − 0,88ⁿ. On veut 1 − 0,88ⁿ ≥ 0,99, soit 0,88ⁿ ≤ 0,01.

Par croissance de ln : n ln(0,88) ≤ ln(0,01). Comme ln(0,88) < 0, on divise en changeant le sens : n ≥ ln(0,01) ÷ ln(0,88) ≈ 36,02.

Il faut donc 37 essais au minimum. Contrôle : 1 − 0,88³⁶ ≈ 0,9900 < 0,99 et 1 − 0,88³⁷ ≈ 0,9912 ≥ 0,99.

15 Lire un programme ★★★

1. f calcule P(X = k) et g calcule P(X ≤ k), pour X suivant B(n ; p).
2. Première ligne : P(X = 2) = 6 × 0,5⁴ = 0,375. Seconde : 1 − P(X ≤ 1) = P(X ≥ 2) = 1 − (0,0625 + 0,25) = 0,6875.
3. P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2) : on écrit print(1 - g(4, 0.5, 2)), ce qui affiche 0,3125.

16 Deux seuils ★★★

1. 1 − 0,85ⁿ ≥ 0,99 ⇔ 0,85ⁿ ≤ 0,01 ⇔ n ≥ ln(0,01) ÷ ln(0,85) ≈ 28,34. Il faut 29 échantillons.
2. On cherche le plus petit n tel que 1 − 0,9ⁿ − n × 0,1 × 0,9ⁿ⁻¹ ≥ 0,9. Un tableau de valeurs donne : pour n = 37, P(X ≥ 2) ≈ 0,8964 ; pour n = 38, P(X ≥ 2) ≈ 0,9047. Il faut 38 échantillons.

17 Somme des probabilités ★★★

1. P(X = 0) = q³ ; P(X = 1) = 3pq² ; P(X = 2) = 3p²q ; P(X = 3) = p³.
2. La somme est q³ + 3pq² + 3p²q + p³ = (p + q)³ (développement du cube d’une somme) = 1³ = 1.
3. E(X) = 0 + 3pq² + 2 × 3p²q + 3p³ = 3p(q² + 2pq + p²) = 3p(p + q)² = 3p. On retrouve np avec n = 3.

18 Intervalle de fluctuation ★★★

1. P(X ≤ 21) ≈ 0,0137 ≤ 0,025 et P(X ≤ 22) ≈ 0,0259 > 0,025 : a = 22.
2. P(X ≤ 37) ≈ 0,9741 < 0,975 et P(X ≤ 38) ≈ 0,9863 ≥ 0,975 : b = 38.
3. Intervalle [22 ; 38], et P(22 ≤ X ≤ 38) = P(X ≤ 38) − P(X ≤ 21) ≈ 0,9727 ≥ 0,95.
4. 42 n’appartient pas à [22 ; 38] : si la pièce était équilibrée, un tel résultat aurait moins de 5 % de chances de se produire. Au seuil de 95 %, on met en doute l’équilibre de la pièce.

19 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev ★★★

1. E(X) = 200 × 0,5 = 100 ; V(X) = 200 × 0,5 × 0,5 = 50.
2. P(|X − 100| ≥ 20) ≤ 50 ÷ 20² = 50 ÷ 400 = 0,125.
3. L’événement 80 < X < 120 est le contraire de |X − 100| ≥ 20 : sa probabilité est ≥ 1 − 0,125 = 0,875.
4. P(81 ≤ X ≤ 119) = P(X ≤ 119) − P(X ≤ 80) ≈ 0,9943. Le minorant 0,875 est correct mais très en dessous de la valeur exacte : l’inégalité est une garantie, pas une estimation précise.

20 Surréservation ★★★

1. Chaque billet est une épreuve de Bernoulli (succès : « le passager se présente », p = 0,93) et les présences sont supposées indépendantes : X suit B(125 ; 0,93). E(X) = 125 × 0,93 = 116,25 ; V(X) = 125 × 0,93 × 0,07 = 8,1375 ; σ ≈ 2,85.
2. P(X > 120) = P(X ≥ 121) = 1 − P(X ≤ 120) ≈ 1 − 0,9424 ≈ 0,0576.
3. 0,0576 > 0,05 : la condition n’est pas respectée.

21 Un test à choix multiples ★★★

1. X suit B(20 ; 0,25) ; E(X) = 5 ; V(X) = 20 × 0,25 × 0,75 = 3,75 ; σ ≈ 1,94.
2. P(X ≥ 10) = 1 − P(X ≤ 9) ≈ 1 − 0,9861 ≈ 0,0139.
3. Y suit B(14 ; 0,25). Il lui faut au moins 4 bonnes réponses sur les 14 pour atteindre 10 au total : P(Y ≥ 4) = 1 − P(Y ≤ 3) ≈ 1 − 0,5213 ≈ 0,4787. Savoir 6 réponses fait passer la probabilité de moins de 1 % à plus de 50 %.

22 Dispersion et valeur de p ★★★

1. σ(0,1) = √(50 × 0,1 × 0,9) = √4,5 ≈ 2,12 ; σ(0,5) = √12,5 ≈ 3,54 ; σ(0,9) = √4,5 ≈ 2,12.
2. 14 − p(1 − p) = p² − p + 14 = (p − 12)² ≥ 0. Donc p(1 − p) ≤ 14, avec égalité exactement quand p = 12.
3. V(X) = np(1 − p) ≤ n ÷ 4, donc σ(X) ≤ √n ÷ 2. Pour n = 50 : √50 ÷ 2 ≈ 3,54, valeur atteinte pour p = 0,5 (cf. a.).

23 Pièce équilibrée et triangle de Pascal ★★★

1. X suit B(10 ; 0,5). P(X = k) = C(10 ; k) × 0,5^k × 0,5^10−k = C(10 ; k) × 0,5¹⁰ = C(10 ; k) ÷ 1024.
2. P(X = 5) = 252 ÷ 1024 = 63256 ≈ 0,246. Par symétrie C(10 ; 7) = 120 et C(10 ; 6) = 210, d’où P(3 ≤ X ≤ 7) = (120 + 210 + 252 + 210 + 120) ÷ 1024 = 912 ÷ 1024 = 5764 ≈ 0,891.
3. Les événements {X = k} forment une partition de l’univers, donc la somme des probabilités vaut 1 : (somme des C(10 ; k)) ÷ 1024 = 1.