Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice interdite.
1 Calculs en coordonnées / 4 pts
(1,5 pt) u⃗ · v⃗ = 4 × 2 + (−3) × 5 = 8 − 15 = −7 (0,5 pt) ; ‖u⃗‖ = √(16 + 9) = 5 (0,5 pt) ; ‖v⃗‖ = √(4 + 25) = √29 (0,5 pt).
(1 pt) cos θ = −7 / (5√29) ≈ −0,26 (0,5 pt), donc θ ≈ 105,1° (0,5 pt).
(0,75 pt) w⃗ · u⃗ = 4m − 18 = 0 (0,5 pt), donc m = 9 2
(0,75 pt) (u⃗ + v⃗) · (u⃗ − v⃗) = ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖² = 25 − 29 = −4 . Contrôle : (6 ; 2) · (2 ; −8) = 12 − 16 = −4 ✔.
2 Un triangle dans un repère / 4 pts
(1,5 pt) AB⃗(6 ; 2) : AB² = 40 ; AC⃗(2 ; 6) : AC² = 40 ; BC⃗(−4 ; 4) : BC² = 32 (1 pt). AB = AC = 2√10 : le triangle est isocèle en A (0,5 pt). Il n’est pas équilatéral (BC = 4√2 ≠ 2√10) ni rectangle (40 + 32 ≠ 40).
(0,5 pt) 6 × 2 + 2 × 6 = 24 .
(1 pt) cos  = 24 40 53,1° (0,5 pt).
(1 pt) Le triangle est isocèle en A, donc B̂ = Ĉ (0,5 pt) et B̂ = (180 − Â) / 2 ≈ 63,4° (0,5 pt). Contrôle direct : BA⃗ · BC⃗ = 24 − 8 = 16, cos B̂ = 16 / (√40 × √32) ≈ 0,447, B̂ ≈ 63,4° ✔.
3 Al-Kashi et médiane / 4 pts
(1,5 pt) cos  = (AB² + AC² − BC²) / (2 × AB × AC) = (64 + 25 − 49) / 80 = 40 80 1 2  = 60° (0,5 pt).
(1 pt) Aire = 1 2 √3 2 10√3 ≈ 17,32 unités d’aire.
(1,5 pt) AB² + AC² = 2 AI² + BC² 2 √32,25 ≈ 5,68 (0,5 pt).
4 Droites et vecteurs normaux / 4 pts
(1 pt) n⃗(1 ; 2) est normal à d (0,5 pt). 5 + 0 − 4 = 1 ≠ 0 : P ∉ d (0,5 pt).
(1 pt) n⃗ dirige Δ, donc (2 ; −1), orthogonal à n⃗, est normal à Δ : 2x − y + c = 0 (0,5 pt). Avec P : 10 + c = 0, d’où 2x − y − 10 = 0 (0,5 pt).
(1,25 pt) H est sur d et sur Δ : y = 2x − 10, puis x + 2(2x − 10) − 4 = 0, soit 5x = 24, x = 24 5 48 5 2 5 H(4,8 ; −0,4) (0,25 pt). Contrôle : 4,8 − 0,8 − 4 = 0 ✔.
(0,75 pt) PH⃗(−0,2 ; −0,4), PH² = 0,04 + 0,16 = 0,2 (0,5 pt), PH = √0,2 = √5 5 0,45 (0,25 pt).
5 Un cercle et sa tangente / 4 pts
(1,5 pt) (x + 2)² + (y − 1)² = 25 (0,5 pt). Pour A : (2 + 2)² + (4 − 1)² = 16 + 9 = 25 ✔ (1 pt).
(1,5 pt) ΩA⃗(4 ; 3) est normal à (T) (0,5 pt). 4(x − 2) + 3(y − 4) = 0 (0,5 pt), soit 4x + 3y − 20 = 0 (0,5 pt).
(1 pt) Pour x = −2 : (y − 1)² = 25, donc y = 6 ou y = −4. Points (−2 ; 6) et (−2 ; −4) .
