Contrôle de maths 1ère : Suites numériques

1 Calculer des termes / 3 pts

1. Soit u_n = 2n² − 5n. Calcule u₀, u₁, u₂, u₃.
2. Soit v₀ = 2 et v_n+1 = v_n² − 1. Calcule v₁, v₂, v₃.

2 Une suite arithmétique / 4 pts

Calculatrice autorisée. (u_n) est une suite arithmétique telle que u₄ = 18 et u₁₀ = −6.

1. Détermine la raison et u₀. Écris u_n en fonction de n. (1,5 pt)
2. Quel est le sens de variation de (u_n) ? Justifie. (0,5 pt)
3. À partir de quel rang les termes sont-ils strictement négatifs ? (1 pt)
4. Calcule u₀ + u₁ + … + u₂₀. (1 pt)

3 Un lac de poissons / 4 pts

Calculatrice autorisée. Un lac contient 2 400 poissons ; sa population diminue de 6 % par an. On note P_n la population après n années.

1. Quelle est la nature de (P_n) ? Précise sa raison et écris P_n. (1,5 pt)
2. Quel est son sens de variation ? Justifie. (0,5 pt)
3. Calcule P₅ (à l’unité). (1 pt)
4. Complète un programme Python qui renvoie le premier rang pour lequel P_n < 1 200 et donne cette valeur. (1 pt)

4 Sommes de termes / 3 pts

1. Calcule 1 + 3 + 9 + … + 3⁷. (1,5 pt)
2. (w_n) est géométrique de premier terme w₀ = 5 et de raison −2. Calcule w₀ + w₁ + … + w₆. (1,5 pt)

5 Sens de variation / 4 pts

1. Soit u_n = 3nn+2. Montre que u_n+1 − u_n = 6(n+2)(n+3) et conclus. (2 pt)
2. Soit w_n = n² − 7n. Calcule w_n+1 − w_n, déduis-en le sens de variation de (w_n) (la suite est-elle monotone ?) puis donne son plus petit terme. (2 pt)

6 Lire un programme / 2 pts

On donne le programme suivant.

def f():
    u = 3
    for k in range(4):
        u = 2 * u + 1
    return u

1. Quelle valeur renvoie f() ? (1 pt)
2. Quel terme de quelle suite récurrente calcule-t-il ? (1 pt)