Corrigé des exercices de maths 1ère : Trigonométrie

1 Degrés vers radians ★★★

On multiplie par π180 puis on simplifie.

1. 30 × π180 = π6
2. 45 × π180 = π4
3. 120 × π180 = 2π3
4. 150 × π180 = 5π6
5. 270 × π180 = 3π2
6. 15 × π180 = π12

2 Radians vers degrés ★★★

On remplace π par 180°.

1. π5 rad = 180° ÷ 5 = 36°
2. 3π4 rad = 3 × 45° = 135°
3. 7π6 rad = 7 × 30° = 210°
4. 5π3 rad = 5 × 60° = 300°
5. 2π9 rad = 2 × 20° = 40°
6. 11π12 rad = 11 × 15° = 165°

3 Arcs et secteurs ★★★

1. ℓ = rα = 6 × π3 = 2π ≈ 6,28 cm.
2. ℓ = 4 × 1,5 = 6 cm.
3. α = ℓ ÷ r = 9 ÷ 5 = 1,8 rad. En degrés : 1,8 × 180π ≈ 103,1°.
4. 𝒜 = 12 × 6² × π3 = 6π ≈ 18,85 cm².

4 Mesures principales ★★★

On ajoute ou retranche des multiples de 2π.

1. 7π3 − 2π = π3
2. −11π4 + 2π = −3π4, qui est dans ]−π ; π]
3. 13π6 − 2π = π6
4. 25π4 − 6π = π4 (car 6π = 24π4)
5. −5π + 6π = π
6. 17π3 − 6π = −π3 (car 6π = 18π3)

5 Valeurs remarquables ★★★

1. 12
2. √22
3. √32
4. 1
5. −1
6. 0
7. 12
8. 0

Ces valeurs se lisent dans le tableau du cours ou directement sur le cercle (cos π : abscisse du point (−1 ; 0)).

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. Un cosinus est une abscisse d’un point du cercle de rayon 1 : il est toujours compris entre −1 et 1.
2. Vrai. C’est le théorème de Pythagore dans le triangle OHM.
3. Faux. cos(π − x) = −cos x (symétrie d’axe (OJ)). Contre-exemple : x = π3 donne cos 2π3 = −12 ≠ 12.
4. Vrai. M(x + 2π) = M(x).
5. Faux. Le cosinus est pair : cos(−x) = cos x.
6. Faux. 5π6 convient aussi (et tous les réels x + 2kπ). La seule valeur π6 n’est pas la bonne réponse générale.

7 Sinus ou cosinus déduit ★★★

On utilise cos² x + sin² x = 1 puis le signe.

1. sin² x = 1 − 925 = 1625. Sur [0 ; π], sin x ≥ 0 (M est dans le demi-plan supérieur). Donc sin x = 45.
2. cos² x = 1 − 25169 = 144169. Sur ]−π2 ; 0[, M est dans le quart de plan en bas à droite : cos x > 0. Donc cos x = 1213.
3. sin² x = 1 − 59 = 49. Comme sin x > 0, sin x = 23.

8 Angles associés : calculs ★★★

1. cos(π − π6) = −cos π6 = −√32
2. sin(π + π6) = −sin π6 = −12
3. cos est paire : cos(−π3) = cos π3 = 12
4. sin(π − π3) = sin π3 = √32
5. cos(π + π4) = −cos π4 = −√22
6. sin est impaire : sin(−3π4) = −sin 3π4 = −sin(π − π4) = −√22
7. cos(2π − π6) = cos(−π6) = cos π6 = √32
8. sin(π + π3) = −sin π3 = −√32

9 Simplifier des expressions ★★★

1. A = −cos x − cos x + cos x = −cos x.
2. B = −sin x − sin x − sin x = −3 sin x.
3. D = −sin x + sin x = 0.
4. E = sin² x + cos² x = 1.

10 Équations de base ★★★

1. cos π6 = √32 donc x = ±π6. S = {−π6 ; π6}.
2. cos 2π3 = −12 donc x = ±2π3. S = {−2π3 ; 2π3}.
3. sin(−π4) = −√22 ; l’autre solution est π − (−π4) = 5π4, soit −3π4 une fois ramenée dans l’intervalle. S = {−3π4 ; −π4}.
4. sin π6 = 12 : x = π6 ou x = 5π6. S = {π6 ; 5π6}.
5. cos x = 0 : S = {π2 ; 3π2}.

11 Équations à ramener ★★★

1. cos x = 12 donc x = ±π3 + 2kπ. Dans [0 ; 2π[ : x = π3 ou x = 2π − π3 = 5π3.
2. sin x = −√32. Les angles 4π3 et 5π3 conviennent (sin(π + π3) = −√32 et sin(−π3) = −√32). S = {4π3 ; 5π3}.
3. cos x = −√22 = cos 3π4, donc x = ±3π4 + 2kπ, soit 3π4 ou 5π4 dans [0 ; 2π[. S = {3π4 ; 5π4}.
4. Un sinus est toujours dans [−1 ; 1] : l’équation n’a aucune solution. S = ∅.

12 Parité ★★★

ℝ est symétrique par rapport à 0. On calcule chaque fois l’image de −x.

1. f(−x) = (−x)(−sin x) = x sin x = f(x) : paire.
2. g(−x) = −sin x − x = −g(x) : impaire.
3. h(−x) = (−sin x) cos x = −h(x) : impaire.
4. k(π2) = 2 et k(−π2) = 0. Comme 0 ≠ 2, k n’est pas paire ; comme 0 ≠ −2, elle n’est pas impaire. Ni l’un ni l’autre.
5. m(−x) = cos x + x² = m(x) : paire.

13 Périodicité pour calculer ★★★

1. 25π3 − 8π = π3 (8π = 24π3), donc cos = 12.
2. −19π6 + 4π = 5π6 (4π = 24π6), donc sin = sin(π − π6) = 12.
3. 2027 est impair : 2027π = 1013 × 2π + π, donc cos(2027π) = cos π = −1.
4. 41π4 − 10π = π4 (10π = 40π4), donc sin = √22.
5. −33π2 + 16π = −π2 (16π = 32π2), donc cos = 0.

14 Une roue de vélo ★★★

1. La distance parcourue est la longueur d’arc : ℓ = rα = 33 × 7π4 = 231π4 ≈ 181,4 cm.
2. Un tour fait 2π × 33 ≈ 207,3 cm. Et 100 m = 10 000 cm. Nombre de tours : 10 000 ÷ (2π × 33) ≈ 48,2. La roue fait environ 48,2 tours.

15 Lecture graphique ★★★

1. La courbe coupe la droite en quatre points, d’abscisses −5π3, −π3, π3, 5π3.
2. cos π3 = 12 donc x = ±π3 + 2kπ. Pour k = 0 : ±π3. Pour k = 1 : 7π3 > 2π (hors intervalle) et −π3 + 2π = 5π3. Pour k = −1 : −5π3 (car π3 − 2π) et −7π3 < −2π. Les quatre solutions sont bien ±π3 et ±5π3.
3. La courbe est au-dessus (ou sur) la droite pour x ∈ [−2π ; −5π3] ∪ [−π3 ; π3] ∪ [5π3 ; 2π].

16 Un triangle équilatéral dans le cercle ★★★

1. M(cos π2 ; sin π2) = (0 ; 1). N(cos 7π6 ; sin 7π6) = (−√32 ; −12). P(cos 11π6 ; sin 11π6) = (√32 ; −12).
2. MN² = (−√32 − 0)² + (−12 − 1)² = 34 + 94 = 3. NP² = (√3)² + 0² = 3. MP² = (√32)² + (−32)² = 34 + 94 = 3. Les trois côtés mesurent √3 : le triangle MNP est équilatéral.
3. Aire d’un triangle équilatéral de côté c : √34 c². Ici : √34 × 3 = 3√34 ≈ 1,30 unité d’aire.

17 L’hexagone régulier ★★★

1. A₀(1 ; 0), A₁(12 ; √32), A₂(−12 ; √32), A₃(−1 ; 0), A₄(−12 ; −√32), A₅(12 ; −√32).
2. A₀A₁² = (1 − 12)² + (0 − √32)² = 14 + 34 = 1, donc A₀A₁ = 1. Par symétrie, les six côtés mesurent 1 : périmètre = 6.
3. La circonférence est 2π ≈ 6,28 > 6. C’est cohérent : un polygone inscrit dans un cercle est plus court que ce cercle.
4. L’hexagone se découpe en six triangles équilatéraux de côté 1, d’aire √34 chacun. Aire = 6 × √34 = 3√32 ≈ 2,60.

18 Équations qui se ramènent à des équations de base ★★★

1. L’équation équivaut à cos² x = 12, soit cos x = √22 ou cos x = −√22. Dans [0 ; 2π[ : π4 et 7π4 pour le premier cas ; 3π4 et 5π4 pour le second. S = {π4 ; 3π4 ; 5π4 ; 7π4}.
2. On pose X = sin x : 2X² − X − 1 = 0. Δ = 1 + 8 = 9, donc X = (1 − 3) ÷ 4 = −12 ou X = (1 + 3) ÷ 4 = 1. Pour sin x = 1 : x = π2. Pour sin x = −12 : x = 7π6 ou x = 11π6. S = {π2 ; 7π6 ; 11π6}.

19 Équations avec deux angles ★★★

1. x = ±π5 + 2kπ ; dans ]−π ; π] : S = {−π5 ; π5}.
2. x = 2π7 + 2kπ ou x = π − 2π7 + 2kπ = 5π7 + 2kπ. S = {2π7 ; 5π7}.
3. cos x = cos(π2 − x) ⇔ x = π2 − x + 2kπ ou x = −π2 + x + 2kπ. La seconde égalité donne 0 = −π2 + 2kπ, impossible pour k entier. La première donne 2x = π2 + 2kπ, soit x = π4 + kπ. Dans [0 ; 2π[ : S = {π4 ; 5π4}. Vérification : sin 5π4 = cos 5π4 = −√22.

20 Inéquations ★★★

1. cos x = 12 pour x = ±π3. Les points du cercle d’abscisse supérieure à 12 forment l’arc centré en I. S = [−π3 ; π3].
2. sin x = −√22 pour x = −π4 et x = −3π4. Les points d’ordonnée strictement inférieure à −√22 forment l’arc du bas, bornes exclues. S = ]−3π4 ; −π4[.
3. cos x = −√32 pour x = 5π6 et x = 7π6. Les points d’abscisse inférieure ou égale à −√32 forment l’arc centré en (−1 ; 0). S = [5π6 ; 7π6].

21 Étude d’une fonction ★★★

1. f(0) = 2 − 1 = 1 ; f(π3) = 2 × 12 − 1 = 0 ; f(π2) = −1 ; f(π) = −2 − 1 = −3.
2. f(−x) = 2cos(−x) − 1 = 2cos x − 1 = f(x) : paire. f(x + 2π) = 2cos(x + 2π) − 1 = f(x).
3. Le cosinus décroît sur [0 ; π] donc 2cos x − 1 aussi (on multiplie par 2 > 0 puis on retranche 1).

   x	0	π3	π
   f(x)	1	↘ 0	↘ −3

4. Comme −1 ≤ cos x ≤ 1, on a −3 ≤ f(x) ≤ 1. Le maximum est 1 (atteint pour x = 2kπ) et le minimum est −3 (atteint pour x = π + 2kπ).
5. f(x) = 0 ⇔ cos x = 12 ⇔ x = ±π3 sur [−π ; π]. f(x) > 0 ⇔ cos x > 12 ⇔ x ∈ ]−π3 ; π3[.

22 La grande roue ★★★

1. H(0) = 22 m ; H(π2) = 22 + 20 = 42 m ; H(7π6) = 22 + 20 × (−12) = 12 m.
2. Le minimum de sin θ est −1, donc H ≥ 22 − 20 = 2 m. Il est atteint pour θ = 3π2 (la nacelle est alors tout en bas).
3. H(θ) = 32 ⇔ 20 sin θ = 10 ⇔ sin θ = 12 ⇔ θ = π6 ou θ = 5π6.
4. H(θ) > 32 ⇔ sin θ > 12 ⇔ θ ∈ ]π6 ; 5π6[. L’arc a pour amplitude 5π6 − π6 = 2π3 rad, soit 2π3 ÷ 2π = 13 de tour. Durée : 13 × 9 = 3 minutes.

23 Identités à démontrer ★★★

1. (cos x + sin x)² = cos² x + 2 sin x cos x + sin² x = 1 + 2 sin x cos x, car cos² x + sin² x = 1.
2. On développe : (cos² x − 2 sin x cos x + sin² x) + (cos² x + 2 sin x cos x + sin² x) = 2(cos² x + sin² x) = 2.
3. D’après a., 14 = 1 + 2 sin x cos x, donc 2 sin x cos x = 14 − 1 = −34, d’où sin x cos x = −38.