Probabilités conditionnelles et indépendance : contrôle de maths 1ère

1 Tableau croisé / 3 pts

Contrôle de 55 minutes, calculatrice autorisée. Total : 20 points.

Une salle de sport compte 240 abonnés : 150 adultes et 90 jeunes. Parmi les adultes, 90 suivent des cours collectifs (événement C) ; parmi les jeunes, 63. On choisit un abonné au hasard. A : « l’abonné est adulte ».

1. Complète le tableau croisé (effectifs).
2. Calcule P(C) et P_A(C).
3. Calcule P_C(A).
4. A et C sont-ils indépendants ? Justifie.

2 Arbre pondéré et probabilités totales / 4 pts

Il pleut un jour donné avec la probabilité 0,3 (événement R). S’il pleut, Léa prend le bus (événement B) avec la probabilité 0,8 ; s’il ne pleut pas, avec la probabilité 0,25.

1. Représente la situation par un arbre pondéré.
2. Calcule la probabilité qu’il pleuve et que Léa prenne le bus.
3. Montre que P(B) = 0,415.
4. Léa prend le bus : quelle est la probabilité qu’il pleuve ? (valeur exacte puis arrondie à 0,001)

3 Indépendance / 3 pts

Pour deux événements A et B : P(A) = 0,2 ; P(B) = 0,45 et P(A ∩ B) = 0,09.

1. Montre que A et B sont indépendants.
2. Calcule P(A ∪ B).
3. Calcule P(Ā ∩ B) de deux façons différentes.

4 Tirage sans remise / 4 pts

Un sac contient 4 jetons jaunes et 6 jetons noirs. On tire deux jetons successivement, sans remise. J₁ (J₂) : « le premier (le second) jeton est jaune ».

1. Calcule P(J₁ ∩ J₂) et la probabilité de tirer deux jetons noirs.
2. Déduis-en la probabilité de tirer deux jetons de la même couleur.
3. Calcule P(J₂), puis P_J₂(J₁).

5 Épreuves indépendantes / 3 pts

Un footballeur réussit chaque penalty avec la probabilité 0,8. Il en tire quatre, les tirs étant indépendants. Calcule la probabilité de : a. quatre réussites ; b. au moins un échec ; c. exactement un échec (calculatrice autorisée, arrondis à 0,0001).

6 Contrôle de qualité / 3 pts

Dans une production, 1 % des pièces sont défectueuses (D). Un contrôle déclenche une alerte (L) pour 98 % des pièces défectueuses et pour 3 % des pièces correctes. Calcule P(L), puis la probabilité qu’une pièce soit défectueuse sachant que l’alerte s’est déclenchée (valeur exacte puis arrondie à 0,001), et commente.